C. Bài tập rèn luyện
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Định nghĩa :
Hình biểu diễn của một hình (H) trong không gian là hình chiếu song song của hình (H) trên một mặt phẳng hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó
Người ta chứng minh rằng :Hình chiếu song song của một đường tròn là một đường elip hoặc là đường tròn (đặc biệt có thể là một đoạn thẳng).Vì vậy ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn của đường tròn ,tâm của elip biểu diễn cho tâm của đường tròn
B. Giải toán
Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tam giác ACD.
a) Chứng minh rằng hình chiếu song song G’của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là trọng tâm của tam giác BCD
b) Gọi E,F,H lần lượt là trung điểm của AB,AC,AD.Hình chiếu của tam giác EFH là hình gì?
Giải
a) Gọi M là trung điểm của CD thì G ∈AM và GA = 2GM .Hình chiếu song song của AM theo phương AB trên mp(BCD) là BM .Do đó hình chiếu song song của điểm G trên mp(BCD) theo phương AB là điểm G’ ∈ BM và G’B = 2G’M (tính chất 3)
Vậy G là trọng tâm tam giác BCD
Hình chiếu của điểm E theo phương AB trên mp(BCD) là B .Hình chiếu của trung điểm F của AC theo phương AB trên mp(BCD) là trung điểm K của BC và hình chiếu của trung điểm H của AD là trung điểm N của BD.Vậy hình chiếu của tam giác EFH theo phương AB trên mp(BCD) là tam giác BKN
Ví dụ 2 : Cho đoạn AB song song với mp(P) .Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu song song của A và B
trên mp(P) theo phương của đường thẳng d cho trước .Chứng minh rằng A’B’ = AB.Phần đảo có đúng không?
do đó A’B’ // AB d P D A B A' B' Ta có AA’ // BB’ // d Vậy ABB’A’ là hình bình hành Suy ra A’B’ = AB
Phần đảo sai vì nếu lấy điểm C trên đường thẳng BB’ với AC = AB thì hình chiếu của AC vẫn là A’B’ = AC nhưng AC không song song với mp(P)
C. Bài tập rèn luyện
2.24 Chứng minh rằng hình chiếu song song của hình bình hành trên mp(P) theo một phương d cho trước
thường là hình bình hành
2.25 Cho đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại A .Gọi a’ là hình chiếu song song của a trên mp(P) theo
phương d cho trước. a) Chứng tỏ a’ qua A
b) Lấy hai điểm B và C trên a và gọi B’ , C’ lần lượt là hình chiếu song song của B và C trên mp(P) theo phưong d .Chọn phương d sao cho B’C’ = BC
2.26 Cho tam giác ABC nằm ngoài mặt phẳng (P).Giả sứ BC song song với (P) và AB và AC lần lượt cắt
(P) tại D và E.Hãy chọn phương chiếu d sao cho hình chiếu của tam giác ABC trên (P) theo phương d là một tam giác đều
D.Hướng dẫn giải
2.24 Theo tính chất 2 thì hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu song song của nó trên mặt phẳng chiếu (P) thường là hính bình hành .Nếu phương chiếu d song song với mặt phẳng của hình bình hành thì hình chiếu của hình bình hành là một đoạn
d A E B C B' A' C' a B A C C d d a' P D B B' A' C' A B' C' D' P
2.25 a) Ta có điểm A∈ a và điểm A∈mp(P) ,do đó hình chiếu song song của A trên mp(P) theo phương d nào đó cũng là điểm A.Mà hình chiếu song song của đường trẳng a trên mp(P) là a’ ,Vậy A ∈a’
b) Nếu B’C’ = BC thì tứ giác BCC’B’ là hình thang cân cạnh đáy BB’và CC’.Do đó AB’ = AB .Lấy điểm B’ trên mp(P) sao cho AB’ = AB và chọn phương d song song với BB’
2.26
Ta có BC // mp(P) nên BC //DE // B’C’
Do đó nếu tam giác A’B’C’ là tam giác đều thì tam giác A’DE cũng là tam giác đều.
Vậy trong mặt phẳng (P) ta dựng tam giác đều A’DE biết cạnh DE cho trước. Chọn phương d // AA’