45
3.3.2 Mơ hình Plaxis bài tốn:
Để mơ hình cho bài tốn trên bằng phần mềm Plaxis. Sử dụng mơ hình Linear Elastic (đàn hồi tuyến tính) thuộc module Plaxis2D là mơ hình đặc tính đất cơ bản nhất mà ngày nay vẫn được sử dụng trong các ứng dụng liên quan đến địa kỹ thuật, mơ hình này tuân theo định luật Hook về đàn hồi tuyến tính đẳng hướng. Dựa vào các dữ liệu thu thập các thơng số của mơ hình này gồm 2 thông số: module đàn hồi
6 2
/
2 10
E kG cm và hệ số Poison 0.3.
Do mơ hình Linear Elastic thuộc module Plaxis 2D chỉ phục vụ khảo sát trong vùng biên cố định. Để tiến hành khảo sát và so sánh các kết quả với SBFEM, tiến hành chọn một miền cố định để phục vụ khảo sát với kích thước và các thơng số vật liệu như hình 4.16:
Hình 3.16: Mơ hình Linear Elastic bài tốn bằng module Plaxis 2D
Phương thức tính tốn của mơ hình dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn (FEM). Với mơ hình đã được nhập liệu các thơng số cơ bản, tiến hành chia lưới phần tử hữu hạn cho bài toán. Dạng phần tử của mơ hình được mơ tả bằng các phần tử hai chiều bậc nhất ứng với một tam giác thuộc lưới là một phần tử tuyến tính (ELE).
1 P 2m 1m 10m 10m 10m 10m Linear Elastic 6 2 / 2 10 E kG cm 0.3
46
Để chứng minh tính hiệu quả của SBFEM, chọn số phần tử tuyến tính tối đa mà module Plaxis 2D cho phép để phục vụ tính tốn với mơ hình trên. Với 1708 ELE và 3718 nút được thể hiện như hình 3.17:
Hình 3.17: Mơ hình lưới phần tử tuyến tính và vị trí khảo sát chuyển vị uyy
Hình 3.18: Kết quả chuyển vị uyycủa bằng phần mềm Plaxis (0, 0) O (0, 1) A (0, 9.50) B 1 P (0, 0) O 1 P (0, 1) A (0, 9.50) B
47
Khảo sát trên trục Oy chuyển vị uyythuộc đoạn A-B với A(0,1) và B(0,-9.5) gồm các tập điểm khảo sát bao gồm [A, A1…29, B] với kết quả thu được như bảng 4.7: -2.00e-6 -1.50e-6 -1.00e-6 -5.00e-7 -9.5 -9.0 -8.5 -8.0 -7.5 -7.0 -6.5 -6.0 -5.5 -5.0 -4.5 -4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0
Hình 3.19: Biểu đồ chuyển vị uyytrên đoạn khảo sát A-B
3.3.3 Mơ hình SBFEM cho bài tốn:
Từ các tính chất và thơng số đã biết, do tính đối xứng trục, chọn Oy là trục đối xứng và chọn góc phần tư thứ IV của hệ trục Oxy như hình 4.20 để tiến hành mơ tả mơ hình SBFEM. Để mơ tả hình dạng, tâm tỷ lệ được đặt ở tâm O và biên tỷ lệ là các đường thẳng AC, CD và chia lưới với N các phần tử tuyến tính giống nhau lần lượt là 2ELE, 4ELE, 8ELE.
( )
H m
( )
yy
48
Lần lượt khảo sát các điểm [A, A1..A29, B] đã khảo sát bằng phần mềm Plaxis ứng theo hình 3.21 đến hình 3.23.
Hình 3.20: Mơ hình SBFEM cho bài tốn hố đào chịu tải phân bố bề mặt
3(5,6)
2(3,4) 1(1,2) PT1
PT2 P
Hình 3.21: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vô hạn; 2 ELM
(0, 0) O 1 P H Sideface x y (0, 1) A 0 1 H m (0, 9.50) B ( 1, 1) C ( 1, 0) D O x y 0 9.50; H H B 0 1; H H A
49 5(9,10) 3(5,6) 1(1,2) PT2 PT4 P 4(7,8)
Hình 3.22: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vô hạn; 4 ELM
9(17,18) 5(9,10) 1(1,2) PT3 PT8 P 7(7,8) PT5
Hình 3.23: Mơ hình SBFEM hố đào chịu lực phân bố trong miền vô hạn; 8 ELM
O x y 0 9.50; H H B 0 1; H H A O x y 0 9.50; H H B 0 1; H H A
50
Để phân tích sự hiệu quả của SBFEM xét tập điểm thuộc trục khảo sát A-B. Từ 1707 phần tử của lưới tam giác thuộc mơ hình Plaxis chọn ra các nằm trên trục Oy và thuộc đoạn AB để tiến hành khảo sát theo SBFEM theo bảng 3.7:
Bảng 4.7: Vị trí các điểm khảo sát chuyển vị uyy
theo Plaxis và SBFEM
Điểm H/H0 Điểm H/H0 Điểm H/H0 Điểm H/H0
A 1.00 A9 4.34 A18 6.66 A27 8.81
A1 1.23 A10 4.62 A19 6.93 A28 9.05
A2 1.46 A11 4.90 A20 7.16 A29 9.29
A3 1.94 A12 5.19 A21 7.40 B 9.50 A4 2.19 A13 5.45 A22 7.63 A5 2.44 A14 5.71 A23 7.87 A6 2.70 A15 5.97 A24 810 A7 2.96 A16 6.21 A25 8.34 A8 3.50 A17 6.45 A26 8.58
Bảng 3.7: Kết quả chuyển vị uyy tại tập điểm khảo sát theo Plaxis và SBFEM Điểm PLAXIS
(cm)
SBFEM (cm) (%)
2 ELE 4ELE 8ELE 2 ELE 4 ELE 8 ELE A -2.26E-04 -2.12E-04 -2.20E-04 -2.26E-04 6.05 2.60 0.01 A1 -2.03E-04 -1.98E-04 -2.10E-04 -2.15E-04 7.50 1.89 0.59 A2 -1.82E-04 -1.84E-04 -1.97E-04 -2.03E-04 9.12 2.60 0.24 A3 -1.77E-04 -1.59E-04 -1.72E-04 -1.77E-04 9.46 2.27 0.81 A4 -1.71E-04 -1.48E-04 -1.60E-04 -1.65E-04 9.57 2.30 0.74 A5 -1.53E-04 -1.38E-04 -1.49E-04 -1.53E-04 9.61 2.29 0.65 A6 -1.38E-04 -1.28E-04 -1.39E-04 -1.43E-04 9.51 2.02 0.68 A7 -1.32E-04 -1.20E-04 -1.29E-04 -1.33E-04 9.10 1.66 1.08 A8 -1.24E-04 -1.04E-04 -1.12E-04 -1.15E-04 8.26 0.63 1.95 A9 -1.14E-04 -8.32E-05 -9.05E-05 -9.27E-05 8.01 0.05 2.43
51
A10 -1.05E-04 -7.72E-05 -8.42E-05 -8.61E-05 7.51 0.79 3.13 A11 -9.77E-05 -7.16E-05 -7.84E-05 -8.00E-05 7.31 1.37 3.54 A12 -9.01E-05 -6.61E-05 -7.23E-05 -7.40E-05 7.12 1.57 3.85 A13 -8.37E-05 -6.12E-05 -6.72E-05 -6.87E-05 7.27 1.83 4.10 A14 -7.77E-05 -5.66E-05 -6.24E-05 -6.38E-05 6.65 2.83 5.10 A15 -7.13E-05 -5.23E-05 -5.78E-05 -5.90E-05 7.15 2.62 4.88 A16 -6.60E-05 -4.86E-05 -5.37E-05 -5.49E-05 6.14 3.90 6.19 A17 -6.08E-05 -4.47E-05 -4.98E-05 -5.09E-05 6.12 4.48 6.80 A18 -5.46E-05 -4.15E-05 -4.64E-05 -4.74E-05 4.99 6.08 8.46 A19 -5.18E-05 -3.76E-05 -4.22E-05 -4.31E-05 5.89 5.58 7.97 A20 -4.95E-05 -3.43E-05 -3.87E-05 -3.95E-05 5.27 6.73 9.18 A21 -4.37E-05 -3.10E-05 -3.52E-05 -3.59E-05 5.10 7.65 9.94 A22 -3.75E-05 -2.78E-05 -2.83E-05 -3.24E-05 4.68 3.02 11.02 A23 -3.63E-05 -2.48E-05 -2.61E-05 -2.90E-05 4.09 0.58 12.07 A24 -3.51E-05 -2.18E-05 -2.51E-05 -2.57E-05 4.03 10.36 13.14 A25 -2.93E-05 -1.88E-05 -2.18E-05 -2.23E-05 3.55 11.57 14.48 A26 -2.33E-05 -1.60E-05 -1.86E-05 -1.91E-05 2.72 13.23 16.28 A27 -2.27E-05 -1.32E-05 -1.54E-05 -1.59E-05 2.34 14.41 17.60 A28 -2.20E-05 -1.04E-05 -1.23E-05 -1.26E-05 1.80 15.85 19.23 A29 -1.64E-05 -7.70E-06 -9.15E-06 -9.42E-06 1.83 16.66 20.22 B -5.17E-06 -5.15E-06 -6.17E-06 -6.36E-06 0.37 19.27 23.08
52 -8 -6 -4 -2 -0.50 -0.40 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 SBFEM 2ELE SBFEM 4ELE SBFEM 8ELE PLAXIS 1708 ELE
Hình 3.24: Biểu đồ chuyển vị chuẩn hóa uyy / (PH0/ E) theo Plaxis và SBFEM Phân tích kết quả ứng chuyển vị uyy theo SBFEM của tập điểm khảo sát thuộc đoạn AB và so sánh với kết quả từ mơ hình Plaxis. Kết quả được trình bày trong bảng 3.8 cho thấy độ chính xác của SBFEM rất cao. Chỉ với 8 phần tử tuyến tính của
SBFEM đã cho ra kết quả tương đối so với 1708 phần tử lưới tam giác theo mơ hình Plaxis. 0 H H 0 / yy u PH E
53
Chương 4 KẾT LUẬN
Phương trình chủ đạo của phương pháp phần tử biên trung tâm (SBFEM) được thiết lập để phân tích ứng xử nền móng. Các ví dụ số được nghiên cứu để phân tích các bài toán với tải trọng phân bố đều trên cung tròn, tải tập trung trong miền vơ hạn. Trong mơ hình phân tích ứng xử nền móng bằng phương pháp phần tử biên trung tâm có xem xét ảnh hưởng của đường biên khi tiến đến vơ cùng từ đó xác định vùng ảnh hưởng của các ứng xử nền móng tạo tiền đề rút gọn q trình tính tốn và đề xuất các phương án.
Do đó, nghiên cứu đã cung cấp thông tin hiệu quả để lựa chọn mơ hình của phương pháp phần tử biên trung tâm. Các ví dụ số áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm đã được khảo sát. Kết quả được so sánh với phương pháp giải tích. Hàm dạng cung trịn được sử dụng trong việc xấp xỉ đặc trưng hình học, lời giải của phương pháp SBFEM. Kết quả đã chứng tỏ tính hiệu quả, độ hội tụ, tính chính xác của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài tốn phẳng phù hợp với phân tích ứng xử nền móng.
Các ví dụ số đã chứng minh được tính hiệu quả và độ hội tụ rất nhanh của SBFEM. Khi tăng một số phần tử khảo sát đã đạt được hiệu quả nhất định. Trong luận văn, tính hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài tốn phẳng chỉ khảo sát với hàm dạng bậc nhất. Các hướng nghiên cứu tiếp theo: cần nghiên cứu ảnh hưởng của các loại hàm dạng đến kết quả của phương pháp phần tử biên trung tâm, phát triển để phân tích bài tốn hai chiều.
Với những ưu điểm của SBFEM đã trình bài ở trên, với những phương pháp tối ưu đến đâu cũng có một số điểm hạn chế nhất định. Với SBFEM các bước nhập liệu đầu vào và chuyển đổi về phương hệ tọa độ và s với phương trình dang yếu cơ bản. Các bước tính tốn cho mỗi trường hợp khác nhau phải ứng với một phương thức tính tốn phức tạp. Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ và kỹ
54
thuật, mọi vấn đề của SBFEM đã được các tác giả nghiên cứu và phát triển lên mạnh mẽ thông qua một phần nhỏ tài liệu tham khảo đã trích dẫn trong luận văn này Ngoài ra khi phát triển thêm về địa chất, có thể phát triển thêm các yếu tố phân tích trên nền nhiều lớp địa tầng, nền có mực nước ngầm..v.v. Trên thế giới, phương pháp phần tử biên trung tâm đã được phát triển rộng rãi và khá hiệu quả trong các bài tốn kỹ thuật. Ở Việt Nam, cũng có thể nghiên cứu và phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để áp dụng cho các bài toán nứt, bài toán tấm nhiều lớp, bài tốn thấm, bài tốn bán khơng gian.
55
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Chu Quốc Thắng. Phương pháp phần tử hữu hạn. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 1997.
[2] TS. Trần Đức Trung, PGS.TS. Nguyễn Việt Hùng. Phương Pháp Phần Tử
Hữu Hạn Và Các Ví Dụ Thực Hành Trên MTĐT. Nhà xuất bản Khoa học và
Kỹ thuật, 2004.
[3] Nguyễn Văn Chúng. Scaled boundary finite element method with circular defining curve for geo-mechanics applications. Journal of Science and Technology in Civil Engineering, 2019, (STCE) - HUCE, 13(3), 124-134. https://doi.org/10.31814/stce.nuce2019-13(3)-12
[4] Nguyễn Văn Chúng. Scaled boundary finite element method with exact defining curves for geo-machanics applications. Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE, 2019, 13(3):124-134.
[5] Nguyễn Thống Nhất. Vấn đề chọn biên trong tính tốn nền móng cơng trình bằng phương pháp phần tử hữu hạn, LVTS, Trường đại học Tôn Đức Thắng 2015.
[6] Nguyễn Phượng Kiều. Phương pháp kết hợp giữa phần tử biên và phần tử hữu hạn trong phân tích tấm nổi trực hướng chịu tải trọng di động, LVTh.S, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh - Đại học Bách Khoa, 2018.
[7] John P. Wolf . The Scaled Boundary Finite Element Method, John Wiley and Sons, Chichester, 2003.
[8] Jonathan Daniel Jung & Wilfried Becker. Semi-analytical modeling of composite beams using the scaled boundary finite element method. Composite structures 2016; 137: 121-129.
[9] Jun Liu, Peng Chong Zhang, Gao Lin, Wenyuan Wang & Shan Lu. Solutions forthemagneto-electro-elastic plate using the scaled boundary finiteelementmethod. Engineering analysis with boundary elements 2016; 68: 103-114.
56
[10] Denghong Chen & Shangqiu Dai. Dynamic fracture analysis of the soil- structure interaction system using the scaled boundary finite element method. Engineering analysis with boundary elements 2017; 77: 26-35. [11] Marco Schauer & Gustavo Ríos Rodriguez. A coupled FEM-SBFEM
approach for soil-structure-interaction analysis using non-matching meshes at the near-field far-field interface. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 2019; 121:466-476.
[12] Chongmin Song & John P. Wolf . The scaled boundary finite-element method: analytical solution in frequency domain. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1998; 164:249-264.
[13] Chongmin Song & John P. Wolf . The scaled boundary finite-element method-alias consistent infinitesim.al finite-element cell method-for elastodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1997; 147:329-355.
[14] Chongmin Song & John P. Wolf . The scaled boundary finite-element method - a primer: derivations. Computers and Structures 2000; 78:191-210. [15] James P. Doherty and Andrew J. Deeks. Scaled boundary finite-element
analysis of a non-homogeneous elastic half-spac. International Journal for Numerical Methods in Engineering 2003.
[16] Andrew J. Deeks & Professor Charles Augarde. A meshless local Petrov- Galerkin scaled boundary method. Comput Mech 2005; 36:159-170.
[17] Vũ Thu Hằng and Andrew J. Deeks. Use of higher-order shape functions in the scaled boundary finite element method. Int. J. Numer. Meth. Engng 2006; 65:1714–1733.
[18] Li Fengzhi and Tu Qiang. The Scaled boundary finite element analysis of seepage problems in multi-material regions. International Journal of Computational Methods 2012.
57
[19] Ean Tat Ooi, Chongmin Song, Francis Tin-Loi. A Scaled Boundary Polygon Formulation for Elasto-Plastic Analyses. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 2013.
[20] Fabian Krome, and Hauke Gravenkamp. A semi-analytical curved element for linear elasticity based on the scaled boundary finite element method. International journal for numerical method in engineering 2017; 109:790– 808.
[21] Nguyễn Văn Chúng, Jaroon Rungamornratand, Phoonsak Pheinsusomheinsusom. Scaled boundary finite element method for two dimensional linear multi-field media. Frontiers of Structural and Civil Engineering 2019; 13(1): 201–214
[22] Gao Lin, Shan Lu, Jun Liu. Duality system-based derivation of the modified scaled boundary finite element method in the time domain and its application to anisotropic soil. Applied Mathematical Modelling 2016; 40:5230-5255. [23] Gao Lin, Lin Pang, Zhiqiang Hu, Yong Zhang. Improving accuracy and
efficiency of stress analysis using scaled boundary finite elements. Engineering Analysis with Boundary Elements 2016; 67:26-42.
[24] Jun Liu, Gao Lin. A scaled boundary finite element method applied to electrostatic problems. Engineering Analysis with Boundary Elements 2012; 36:1721-1732.
[25] Lin Pang, Gao Lin, Zhiqiang Hu. A refined global-local approach for evaluation of singular stress field based on scaled boundary finite element method. Acta Mechanica Solida Sinica 2017; 30:123-136.
[26] Fabian Krome1, Hauke Gravenkamp. A semi-analytical curved element for linear elasticity based on the scaled boundary finite element method. International Jounal for Numerical methods in engineering 2017; 109:790– 808.
58
[27] Denghong Chena, Shangqiu Dai. Dynamic fracture analysis of the soil- structure interaction system using the scaled boundary finite element method. Engineering Analysis with Boundary Elements 2017; 77:26-35.
[28] Chongmin Song, Ean Tat Ooi, Aladurthi L N Pramod, A novel error indicator and an adaptive refinement technique using the scaled boundary finite element method. Engineering Analysis with Boundary Elements 2018; 94:10-24.
[29] Zhi-yuan Li, Zhi-qiang Hu, Gao Lin, Hong Zhong. A modified scaled boundary finite element method for dynamic response of a discontinuous layered half-space. Applied Mathematical Modelling 2020; 87:77-90.
[30] Junqi Zhang, Sundararajan Natarajan, Ean Tat Ooi, Chongmin Song. Adaptive analysis using scaled boundary finite element method in 3D. Computer methods in applied mechanics and engineering 2020; 372113374. [31] Bo Yu , Pengmin Hu , Albert A. Saputra , Yan Gu. The scaled boundary
finite element method based on the hybrid quadtree mesh for solving transient heat conduction problems. Applied Mathematical Modelling (2020) doi: https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.07.035.
[32] P. R. Lancaster & D. Mitchell Kluwer, Academic Publishers. Advanced Solid Mechanics, 1980.
[33] Karasudhi Pisidhi. Foundation of Solid Mechanics. Kluwer Academic Publishers, 1991.