II- CÁC VÍ DỤ
Tỡm hướng chứng minh:
M thuộc đường trũn đường kớnh AB cố định do đú cần chứng minh sđ cung AM khụng đổi thật vậy:
sđ cung AM = 2sđGúc MCA=2sđGúc CHA =2sđGúc CDA = 1200 Lời giải: Ta cú 3 CD CA tgD => Gúc D=600 cú Gúc CHA = Gúc CDA = 600
G/s đường trũn đường kớnh AB cắt CH tại M ta cú Gúc MHA= 600 => sđ cung MA khụng đổi lại cú đường trũn đường kớnh AB cố định vậy: M cố định do đú CH luụn qua M cố định.
Bài 2: Cho đường trũn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường trũn. I là điểm di động trờn (d). Đường trũn đường kớnh OI cắt (O) tại M, N. Chứng minh đường trũn đường kớnh OI luụn đi qua một điểm cố định khỏc O và đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn:
do tớnh chất đối xứng nờn điểm cố định nằm trờn trục đối xứng hay đường thẳng qua O và vuụng gúc với (d)
Giải:
Kẻ OH vuụng gúc với (d) cắt MN tại E.
ta cú H cố định và H thuộc đường trũn đường kớnh OI vậy đường trũn đường kớnh OI luụn đi qua K cố định.
Xột tam giỏc OEF và tam giỏc OIH cú gúc O chung, gúc OFE = gúc OHI = 900
Nờn tam giỏc OEF đồng dạng với tam giỏc OIH do đú: OF/ OE = OH/ OI => OE. OH = OF. OI
Lại cú gúc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn đường kớnh OI ) Xột tam giỏc vuụng OMI cú đường cao ứng với cạnh huyền MF nờn: OF. OI = OM2
57 I M C D A O B P Do đú: OE OM2 OH = hằng số võy E cố định do đú MN đi qua E cố định.
Bài 3: Cho đường trũn (O; R) và dõy AB cố định. C là một điểm chuyển động trờn đường trũn và M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M vuụng gúc với BC luụn đi qua một điểm cố định. Giải:
Vẽ đường kớnh BD => D cố định.
Giả sử đường thẳng qua M và vuụng gúc với BC cắt BC cắt AD tại I.
Dễ thấy gúc BCD = 900 hay MI // CD.
Xột tam giỏc ACD cú MC = MA; MI // CD => I là trung điểm của DA cố định hay đường thẳng qua M vuụng gúc với BC đi qua I cố định.
Bài 4: Cho tam giỏc ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trờn hai tia BA, CA sao cho BM= CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luụn đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn:
Khi M B thỡ N C khi đú đường trung trực của MN là trung trực của BC. Vậy điểm cố định nằm trờn đường trung trực của BC
Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I Dễ thấy tam giỏc IMB = tam giỏc INC (c-c-c) vậy gúc MBI = gúc NCI
Xột tứ giỏc ABCI cú gúc MBI = gúc NCI vậy tứ giỏc ABCI nội tiếp hay I thuộc đường trũn Ngoại tiếp tam giỏc ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định.
Bài 5: Cho đường trũn (O; R) và dõy cung AB = R 3 . Điểm P khỏc A và B. Gọi (C; R1) là đường trũn đi qua P tiếp xỳc với đường trũn (O; R) tại A.Gọi (D; R2) là đường trũn đi qua P tiếp xỳc với đường trũn (O; R) tại B. Cỏc đường trũn (C; R1) và
NI I C B A M
58 I d M O A B C
(D; R2) cắt nhau tại M khỏc P. Chứng minh rằng khi P di động trờn AB thỡ đường thẳng PM luụn đi qua một điểm cố định.
Tỡm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: (O; R), dõy AB
* Yếu tố khụng đổi: DPCO là hỡnh bỡnh hành. Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của (C), Gúc BMA khụng đổi
Dự đoỏn
Khi P A thỡ PM là tiếp tuyến của (O; R) => điểm cố định nằm trờn tiếp tuyến của (O; R)
tại A
Khi P B thỡ PM là tiếp tuyến của (O; R)=> điểm cố định nằm trờn tiếp tuyến của (O; R) tại B
Do tớnh chất đối xứng của hỡnh => Điểm cố định nằm trờn đường thẳng qua O và vuụng gúc với AB
=> Điểm cố định nằm trờn đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB Lời giải:
Vẽ đường trũn ngoại tiếp tam giỏc OAB cắt PM tại I . vỡ AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng
1200
tam giỏc BDP cõn do đú gúc OBA = gúc DPB
tam giỏc OAB cõn do đú gúc OBA = gúc OAB => gúc BDP = gúc BOA => sđcung BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200 . tương tự sđ cung PA của (C) = 1200 . ta cú gúc BMP = 2 1 sđ cung BP của (D) = 600 ta cú gúc AMP = 2 1 sđ cung AP của (C) = 600
Vậy gúc BMA = gúc BMP + gúc AMP = 1200 = gúc BOA
xột tứ giỏc BMOA cú gúc BMA = gúc BOA do đú tứ giỏc BMOA nội tiếp hay M thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BOA.
Vậy 2
1 sđ cung IA = gúc IMA = gúc PMA = 2
1 sđ cung PA của (C) = 1200 .Vậy I thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AOB và sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP đi qua I cố
59 định.
Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trờn AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hỡnh vuụng MADE và MBHG. Hai đường trũn ngoại tiếp hai hỡnh vuụng cắt nhau tại N. Chứng minh đường thẳng MN luụn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trờn AB. Hướng dẫn:
Tương tự bài 1 Giải:
Giả sử MN cắt đường trũn đường kớnh AB tại I
Ta cú Gúc ANM = Gúc ADM = 450( gúc nội tiếp cựng chắn cung AM của đường trũn ngoại tiếp hỡnh vuụng AMDE)
Ta cú Gúc BNM = Gúc BGM = 450( gúc nội tiếp cựng chắn cung BM của đường trũn ngoại tiếp hỡnh vuụng MBGH)
=> gúcANB = Gúc ANM + Gúc BNM = 900 => N thuộc đường trũn đường đường kớnh AB vậy sđ cung AI = 2sđGúc ANI
=2sđGúc ANM = 900
Vậy I thuộc đường trũn đường kớnh AB và số đo cung AI bằng 900 => I cố định hay MN đi qua I cố định
