: ANPH AA ANPHA = ANPH AA +
g x= < tron khoản (1;1.5) nên dãy lặp 3
1 1
n n
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng
(1;1.5) .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm g x( )=3x2+1:
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1)
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 và bấm phím = .
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bằng cách bấm phím 1 = . Khai báo dãy xấp xỉ 3 2
1 ( ) n 1
n n
x+ =g x = x + :
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=1.465571232.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=1.465571232.
Thí dụ 2.Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình ex+ − =x 3 0.
Vì f x( )=ex+ −x 3 có đạo hàm f x'( )=ex+ > ∀1 0 x nên nó đồng biến trên
toàn trục số. Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e 2 0 nên phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm
trong khoảng (0,1).
Phơng trình đã cho tơng đơng với x=ln(3−x).
Đặt g x( ) ln(3= −x) thì '( ) 1 3 g x x = − − nên '( ) 1 ( )0,1 2 g x < ∀ ∈x .
Do đó dãy lặp xn+1=ln(3−xn) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1).
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( ) ln(3= −x): ln ( 3 − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
x =x =x = .
Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2
x = : 1ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo dãy xấp xỉ xn+1=g x( ) ln(3n = −xn): ln ( 3 − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26 =x27 =x28 =0,792059968.
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x=0,792059968
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 bớc lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206.
Nhận xét 2. Nếu ta đa phơng trình ex+ − =x 3 0 về dạng x= −3 ex thì g x( ) 3= −ex có đạo hàm
'( ) x
g x = −e không thỏa mãn điều kiện
( )
'( ) 1 0,1
g x ≤ < ∀ ∈q x
nên ta cha thể nói gì đợc về sự hội tụ của dãy lặp.
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát
0 2
x = ([2], trang 62) thì cần nhiều bớc lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phơng trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3 Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW.
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);
.79205996843067700141839587788
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3.Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x+lnx=0.
Vì f x( )= +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0,+∞). Hơn nữa f(1) 1 0= > và f( )1 1 1 0
e = − <e nên phơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1 phơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1
e .
Phơng trình đã cho tơng đơng với x e= −x =g x( ). Vì g x'( )= −e−x nên '( ) x 1 1 e g x e e − = ≤ < với mọi x ( ,1)1 e ∈ nên dãy lặp 1 n x n x+ =e− hội tụ.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( )=e−x: SHIFT ex ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1 2
x = :
1ab c/ 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: Khai báo giá trị ban đầu 0
12 2 x = : 1ab c/ 2 và bấm phím = . Khai báo 1 ( ) n n x n x+ =g x =e− : SHIFT ex ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x=0,567143290. Vậy nghiệm gần đúng là x=0,567143290.
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x=cos :x =g x( ).
Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f x'( ) 1 sin= + x≥ ∀0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc
22 2
x= − +π kπ nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do f(0)= −1 và ( )
2 2