Toán tử compact và phổ của toán tử com pact

pact

Bài tập 3.1. Cho X = X₁ ⊕ X₂, A ∈ L(H) sao cho A(X₁) ⊂ X₂ và

A(X2) ⊂ X1. Chứng minh nếu λ là giá trị riêng của A thì −λ cũng là giá trị riêng của A.

Chứng minh. Vìλlà giá trị riêng củaAnên tồn tại x 6= 0sao choAx= λx. Khi đó, x = x1 + x2, trong đó x1 ∈ X1, x2 ∈ X2. Ta có A(x1 + x2) =

λ(x₁ +x₂), hay Ax₁ −λx₂ = Ax₂ −λx₁. Theo giả thiết thì Ax₁ −λx₂ =

Ax₂ −λx₁ = 0 ∈ X₁ ∩X₂.

Đặt y = x₁ −x₂¹⁸. Ta có y 6= 0, vì nếu ngược lại thì x₁ = x₂ = 0, tức là

x = 0, vô lý. Lúc đó, A(y) = A(x₁ −x₂) = −λy, và do đó −λ cũng là giá trị riêng của A.

Bài tập 3.2. Cho H là không gian Hilbert , A ∈ L(H), A= A^∗, λ ∈ _C. 1. Nếu H 6= R(A_λ) thì λ là giá trị riêng của A.

2. Nếu H = R(A_λ) và H 6= R(A_λ) thì λ ∈ σ(A) nhưng không phải là giá trị riêng của A.

3. Nếu H = R(A_λ) thì λ là giá trị chính quy của A. Chứng minh. Ta có H = N(A_λ^∗)⊕R(A_λ).

1. Nếu H 6= R(A_λ) thì A_λ không là toàn ánh, do đó không song ánh. Suy ra λ ∈ σ(A).

Vì A = A^∗ nên λ ∈ _R. Ta có (A− λI)^∗ = A^∗ −λI^∗ = A −λI. Từ

H 6= R(A_λ) ta có N(A_λ) =N(A^∗_λ) 6= {0}. Vậy λ là giá trị riêng. 2. Vì H 6= R(A_λ) nên A_λ không khả nghịch nên λ ∈ σ(A), và kết hợp

với A = A^∗ ta có λ ∈ _R.

H = R(A_λ) nên N(A^∗_λ) ={0}= N(A_λ). Vậy λ ∈ σ(A) nhưng không là giá trị riêng của A.

3. A = A^∗ nên σ(A) ⊂ _R. Do đó, nếu λ ∈ _C\_R thì λ là giá trị chính quy. Xét λ ∈ _R. Vì H = R(A_λ) nên A_λ là toàn ánh. Mặt khác,

N(A^∗_λ) = {0} = N(A_λ) nên A_λ là đơn ánh. Vậy A_λ là song ánh, tức là λ là giá trị chính quy.