1. Chu trình Euler
1.1 Định nghĩa
Cho đồ thị vô hướng G = <X,U>. Một chu trình trong đồ thị G được gọi là chu trình Euler nếu nó đi qua tất cả các cạnh của G và đi qua mỗi cạnh đúng một lần.
Định lý 1: Đồ thị vô hướng G = <X,U> có chu trình Euler khi và chỉ khi G là liên thông và bậc của tất cả các đỉnh trong đồ thị G là số chẵn.
Chứng minh
- Điều kiện cần: Giả sử đồ thị G = <X, U> có chu trình Euler. Ta cần chứng minh G là đồ thị liên thông và với mỗi x X có m(x) = 2k với k là một số nguyên dương nào đó.
Thật vậy, giả sử G = <X, U> không liên thông hay G có ít nhất hai thành phần liên thông G1 = <X1, U1> và G2 = <X2, U2>. Trong đó X1 X 2 = X , U1 U 2 = U, giữa các đỉnh trong X1 và trong X2 không có cạnh hoặc đường nối với nhau. Giả sử là 1 chu trình Euler trong G. Theo định nghĩa của chu trình Euler thì là chu trình đi qua tất cả các cạnh trong G, mỗi cạnh đúng 1 lần. Nếu
có đỉnh chung với G
1 = <X1, U1> thì là chu trình nằm gọn trong đồ thị
G1. Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của . Chứng tỏ đồ thị G = <X, U> là liên thông.
Bây giờ ta chứng minh mỗi đỉnh x X trong G đều có bậc chẵn, tức là cần chỉ ra m(x) = 2k, với k {1,2,...}. Trước hết thấy rằng k 0 bởi vì nếu k = 0 thì x là điểm cô lập trong G, tức là G không liên thông, trái với điều đã chỉ ra.
Giả sử ngược lại tồn tại một đỉnh xi X mà m(x i) là một số lẻ, chẳng hạn m(xi) = 3. Đối với xi có 3 cạnh đi vào nó, giả sử đó là các cạnh (xi, xk), (xi, xj) và (xi, x1) U. Chu trình Euler sẽ đi qua 3 cạnh đó. Khi đó một trong 3 cạnh trên có ít nhất một cạnh mà chu trình Euler đi qua 2 lần. Điều đó mâu thuẫn với định nghĩa của chu trình . Vậy m(x) là một số chẵn với mọi x X.
- Điều kiện đủ: Giả sử G = <X, U> là đồ thị liên thông và mỗi đỉnh x X đều có bậc chẵn: m(x) = 2k, k {1, 2,...} ta chứng minh trong đồ thị G tồn tại một chu trình Euler.
Với giả thiết trên, trước hết ta chứng minh rằng tại mỗi đỉnh của G có tồn tại chu trình đơn (tức là chu trình đi qua các cạnh, mỗi cạnh đúng một lần). Đề chứng minh điều đó, ta lưu ý rằng không thể có một đỉnh x mà m(x) = 2. Điều đó đúng bởi vì khi đó tại đỉnh x có khuyên và do đó x cũng là một đỉnh cô lập, trái với giả thiết đồ thị G là liên thông.
Giả sử x X là một đỉnh nào đó. Ta chỉ ra có chu trình đơn P qua x. Do m(x) > 2 suy ra tồn tại các đỉnh x1 sao cho x1 x và x kề với x 1. Do m(x1) > 2 suy ra tồn tại các đỉnh xi sao cho xi x i-1 và xi kề với xi-1. Khi tới bước thứ i thì ta đã có một đường đi tư x đến xi, qua các cạnh, mỗi cạnh đúng một lần. Quá trình trên không thể kéo dài vô hạn do tính hữu hạn của đồ thị G. Giả sử số bước hữu hạn đó là i. Điều này chứng tỏ x và xi kề nhau, tức là có cạnh nối x và xi. Điều đó là đúng vì bước i là bước cuối cùng. Như vậy tại đỉnh x có chu trình đơn P đi qua.
Bây giờ ta chứng minh rằng trong đồ thị G = <X, U> có chu trình Euler. Theo chứng minh trên với đỉnh x X có chu trình đơn đi qua là P 1 và P1 là chu trình trong đồ thị G. Hãy "đánh dấu xoá" các cạnh trong P1. Nếu sau khi "đánh dấu xoá" các cạnh trên đường P1 tạo ra một số đỉnh cô lập mới thì hãy "đánh dấu loại bỏ" các đỉnh cô lập mới đó. Kết quả thu được sẽ là một đồ thị mới G1 = <X1, U1> là đồ thị con của đồ thị G = <X, U> đã cho. Ta chỉ ra đồ thị G1 thoả mãn một số tính chất sau:
- Chu trình P1 trong đồ thị G và G1 có đỉnh chung, bởi vì G là đồ thị liên thông. - Đồ thị G1 gồm các đỉnh x X 1 có bậc chẵn.
Thật vậy, nếu x X 1 mà x không thuộc các đỉnh trong P1 thì m(x1) hiển nhiên là một số chẵn.
Còn nếu x1 X 1 mà x1 là đỉnh thuộc P1 thì sau khi "đánh dấu bỏ " hai cạnh của P1 chứa đỉnh đó thì bậc của đỉnh x1 sẽ giảm đi 2 đơn vị, do đó m(x1) cũng là chẵn.
Tóm lại với mọi x X1 thì m(x) là một số chẵn.
Ta có thể minh hoạ đồ thị với chu trình đơn P1 và đồ thị con G1 như hình vẽ dưới đây:
x1 là đỉnh chung giữa P1 và G1. Đối với G1 = <X1, U1> tại đỉnh x1 X1 có tồn tại chu trình đơn P2 mà cách xây dựng P2 cũng đối với P1.
Trong P2 bỏ tất cả các cạnh, giữ lại các đỉnh có cạnh hoặc đường nối với các đỉnh khác trong G1 ta được đồ thị con G2 = <X2, U2> của G1. Đồ thị cũng có tính chất như G1, là liên thông, mọi x X 2 đều có bậc chẵn và G2 và P2 có điểm chung chẳng hạn x2
Do tính hữu hạn của đồ thịi G, quá trình xây dựng các chu trình đơn sẽ dừng lại ở bước thứ k nào đó. Như vậy, trước khi sang bước thứ k ta đã có k - 1 chu trình đơn P1, P2, ..., Pk-1 và đồ thị Gk-1 = <Xk-1, Uk-1> là đồ thị con của đồ thị Gk-2 = <Xk-2, Uk-2>. Đồ thị Gk-1 là liên thông và mọi đỉnh x Xk-1 có bậc chẵn,đồng thời Gk-1 và Pk-1 có điểm chung là xk. Vì quá trình trên dừng lại sau k bước nên đồ thị Gk-1 là một chu trình đơn qua xk và bao gồm hết các cạnh trong đồ thị Gk-1. Vì nếu không sẽ dẫn tới mâu thuẫn do k là bước cuối cùng.
Ghép các chu trình đơn P1, P2,...,Pk tại các đỉnh chung ta được tập các chu trình Euler trong đồ thị G = <X, U>. Định lý được chứng minh.
Định lý 2: Cho đồ thị có hướng G = <X, U> G có chu trình Euler khi và chỉ khi G là liên thông và mỗi đỉnh đều có bậc vào bằng bậc ra.
1.2 Thuật toán tìm chu trình Euler
Cho đồ thị G = <X, U> xây dựng thuật toán tìm chu trình Euler
Bước 1: Kiểm tra xem G có là đồ thị liên thông hay không. Nếu G là liên thông thì chuyển sang bước 2. Ngược lại thì thuật toán dừng và kết luận rằng đồ thị không có chu trình Euler
Bước 2: Kiểm tra xem tất cả các đỉnh trong G đều có bậc chẵn hay không. Nếu tất cả các đỉnh đều có bậc là chẵn thì chuyển sang bước tiếp theo. Nếu không dừng lại và kết luận đồ thị đã cho không có chu trình Euler.
G1 = <X1, U1>x x1 x x1 G2 = <X2, U2> x x1 x2 x x1 x2 x k-1 P1 P2 Pk-1 xk Gk-1= Pk
Bước 3: Xây dựng các chu trình đơn trong G sao cho tất cả các cạnh của đồ thị đều có các chu trình đơn đi qua và mỗi cạnh chỉ đi qua một lần. Ghép các chu trình đơn như trên tại các đỉnh chung nhau ta được tập các chu trình Euler cần tìm.
2. Đường đi Euler
2.1 Định nghĩa
Đường Euler trong đồ thị G = <X, U> là đường đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh đi qua đúng một lần.
Đinh lý 3: Cho G = <X, U> là đồ thị vô hướng liên thông. Điều kiện cần và đủ để đồ thị có đường Euler là số đỉnh bậc lẻ trong đồ thị là 0 hoặc 2.
Chứng minh: Trường hợp số đỉnh bậc lẻ bằng 0 thì G là đồ thị liên thông và mọi đỉnh đều có bậc chẵn. Theo định lý về chu trình Euler thì trong G có chu trình Euler, tức cũng là đường Euler.
Nếu số đỉnh bậc lẻ là 2, chẳng hạn đó là các đinh x1 và x2. Hãy thêm vào một đỉnh mới x và hai cạnh (x, x1) và (x, x2) vào đồ thị G = <X, U>. Ta có đồ thị mới G' = <X', U'>, ở đây X' = X {x}, U' = U {(x, x1), (x, x2)}. Rõ ràng là G' liên thông và mọi đỉnh đều có bậc chẵn. Theo định lý về chu trình Euler đã nêu ở trên thì trong G' có tồn tại chu trình Euler, cũng là đường Euler.
Định lý 4: Cho đồ thị có hướng G = <X, U>, điều kiện cần và đủ để có đường đi Euler từ x đến y (x, y X) là G liên thông và đỉnh x có bậc ra lớn hơn bậc vào 1 đơn vị, đỉnh y có bậc vào lớn hơn bậc ra 1 đơn vị, còn tất cả các đỉnh khác đều có bậc vào bằng bậc ra.
2.2 Thuật toán tìm đường Euler
Bước 1: Kiểm tra xem đồ thị G có liên thông hay không. Nếu có thì chuyển sang bước 2. Ngược lại, thì dừng thuật toán và khẳng định rằng không có đường Euler.
Bước 2: Kiểm tra xem mọi đỉnh trong G đều có bậc chẵn hay không. Nếu có chuyển sang bước 4. Nếu không chuyển sang bước 3.
Bước 3: Kiểm tra xem số đỉnh bậc lẻ có bằng 2 hay không. Nếu có chuyển sang bước 4. Nếu không thì dừng lại và kết luận không có đường Euler.
Bước 4: Xây dựng đường Euler trong G.