2 Bài toán biên cho nửa không gian
2.4Bài toán biên với điều kiện biên không thuần nhất
nhất
Chúng ta xét bài toán
P (D)u(x, t) = f (x, t) t > 0 (2.32) Qj(D)u(x,0) = gj(x) 1 ≤j ≤ r (2.33) Chúng ta giả sử rằng DuxDtkf ∈ L2(Ω) cho mỗi µ và k, và Dxugj ∈ L2(En)
cho mỗi µ,1≤ j ≤ r. Ta có định lý sau đây
Định lý 2.3. Giả sử tồn tại một hàm v(x,t), sao cho DxuDktv ∈ L2(Ω) với
mỗi số µ và k, và
Qj (D)v(x,0) = gj (x) 1≤ j ≤ r (2.34)
Khi đó với các Giả thiết 1 đến 4 của phần 2.2, tồn tại một nghiệm của các bài toán (2.32)), (2.33) mà cũng có tính chất như hàm v(x, t).
Chứng minh Từ Định lý 2.2 tồn tại một nghiệm w(x,t) của phương trình
Qj(D) w (x, t) = 0 1 ≤j ≤ r
(2.36) có các tính chất cần phải chứng minh. Đặt u = w + v. Dễ dàng kiểm tra được rằng u là nghiệm cần tìm.
Hiển nhiên, Định lý 2.3 dẫn chúng ta đến câu hỏi khi nào thì tồn tại một hàm số v(x,t)thỏa mãn đẳng thức (2.34) như mong muốn? Câu trả lời không dễ dàng nhưng ta có thể thấy. Đầu tiên, chúng ta có
Định lý 2.4. Nếu g1(x), ..., gr(x) là các hàm sao cho Duxgj ∈ L2(En) với
mỗi µ và j, thì tồn tại một hàm v(x,t), sao cho
Dj−t 1v (x,0) = gj(x) 1 ≤ j ≤r (2.37)
và DxµDtkv ∈ L2(Ω) với mỗi số µ và k.
Chứng minh Đặt ξ(t) là một hàm trong C0∞(−∞,∞) mà bằng 1 tại lân cận t=0. Đặt v(x, t) = ξ(t) r X k=1 (it)k−1gk(x) (k −1)! (2.38) Khi đó, gần t=0 chúng ta có Djtv (x,0) = r X k=j (it)k−j−1gk(x) (k −j −1)!
Điều này đưa đến đẳng thức (2.37).
Bây giờ chúng ta trở lại toán tử tổng quátQj(D). Giả sử mj là cấp Qj (D). Chúng ta nói rằng Q1(D), ..., Qr(D) là chuẩn tắc (đối với mặt phẳng t=0) nếu cấp mj là đôi một khác nhau, và nếu hệ số của τmj trong Qj(ξ, τ) khác không. Cách nói khác là cấp cuả Qj(ξ, τ) đôi một khác nhau và mặt phẳng t=0 là không đặc trưng đối với chúng.
Định lý 2.5. Nếu cấp các toán tử Q1(D), ..., Qr(D) là chuẩn tắc, thì với mỗi tập g1(x), ..., gr(x) của các hàm thỏa mãn Dµxgj ∈ L2(Rn) với mỗi µ
và j, tồn tại một hàm số v(x,t) sao cho DµxDktv ∈ L2(Ω) với mỗi µ và k, và
đẳng thức (2.34) được thỏa mãn.
Chứng minh
Đặt q số mà sao cho tất cả bậc củaQj(D)có bậc nhỏ hơn q. Đặt(n1, ..., nq−r)
là các số mà khi ghép với (m1, ..., mr) lấp đầy tập (0,1,...,q-1). Nếu chúng ta đặt
Qr+j(D) = Dnj
t 1 ≤j ≤ q −r
thì dễ dàng kiểm tra được tập Q1(D), ..., Qq(D) là chuẩn tắc. Chúng ta sắp xếp lại chúng theo cấp của Qj(D) là j-1. Do đó
Qj(ξ, τ) =
j
X
k=1
Rjk(ξ)τk−1 1 ≤j ≤ q (2.39)
trong đó Rjk(ξ) là đa thức của ξ có bậc ≤ j −k và Rjj(ξ) bằng hằng số khác không.(Điều này được suy ra từ tính chuẩn tắc của hệ tuyến tính). Chúng ta khẳng định rằng những gì chúng ta cần chứng minh là tồn tại các đa thức Skl(ξ) theo ξ, sao cho Skl(ξ) có bậc ≤ k−l, Skk(ξ) bằng hằng số khác không, và
k
X
i=j
Rki(ξ)Sij(ξ) = δjk 1 ≤ j ≤k ≤ q (2.40)
Với giả sử các điều kiện (2.39) và (2.40) thỏa mãn, và giả sử g1, ..., gq thỏa mãn các giả thiết của Định lý. Do đó, từ Định lý 2.4 tồn tại một hàm v(x, t)
với tính chất mong muốn, sao cho
Dk−t 1v(x,0) = k X l=1 Skl(Dx)gl(x) 1 ≤ k ≤ q (2.41) Do đó, từ (2.39) và (2.40) ta có
Qj (D)v(x,0) = j P k=1 Rjk(Dx) k P l=1 Skl(Dx)gl(x)gl(x) = j P l=1 j P k=l Rjk(Dx)Skl(Dx) gl(x) = gj(x) 1 ≤j ≤ q
Do đó, hàm v(x, t) thỏa mãn điều kiện (2.34). Vấn đề còn lại, chỉ cần chứng minh đẳng thức (2.40). Chúng ta chứng minh bằng qui nạp.
Với k=1 thì nó thỏa mãn. Chúng ta lấy S11(ξ) = 1/R11(ξ). Bây giờ giả sử (2.34) thỏa mãn khi k < p≤ q. Ta phải chứng minh nó thỏa mãn khi k=p. Đặt Spp(ξ) = 1 Rpp(ξ) và Spl(ξ) = −Spp(ξ) p−1 X k=1 Rpk(ξ)Skl(ξ) l < p Do đó, với j<p p P i=j Rpi(ξ)Sij(ξ) = Rpp(ξ)Spj(ξ) + p−1 P i=j Rpi(ξ)Sij(ξ) = − p−1 P i=j Rpi(ξ)Sij(ξ) + p−1 P i=j Rpi(ξ)Sij(ξ) = 0
Do đó, điều kiện (2.40) thỏa mãn với k=p, và định lý được chứng minh.
Kết luận
Luận văn "Bài toán biên elliptic mở rộng trong nửa không gian cho phương trình với hệ số hằng" đã trình bày bài toán biên mở rộng cho phương trình elliptic thông thường với hệ số hằng trong đó cấp của phương trình elliptic được xét không nhất thiết phải là số chẵn và số điều kiện trên biên được quyết định bởi số các nghiệm đặc trưng với phần ảo dương.
Trước hết bài toán biên được xét trên nửa đường thẳng đối với phương trình vi phân thường. Sau đó được mở rộng sang phương trình đạo hàm riêng elliptic trong nửa không gian cùng với việc phát biểu và chứng minh Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm. Một số ví dụ cụ thể của các bài toán biên đã được trình bày.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Schechter, 1977, Modern Methods in Partial Differential Equations, An Introduction, McGraw-Hill Inc.