2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
2.5.Nguyên lý cực đại yếu
Giả sử Ω là một miền bị chặn, liên thông của Rn với biên ∂Ω. Định nghĩa 2.7. Cho u ∈ H1(Ω) và E ⊂Ω. Hàm u là không âm trong
E theo nghĩa của H1(Ω), hoặc ngắn gọn u ≥ 0 trên E trong H1(Ω), nếu tồn tại một dãy {un} ∈ H1,∞(Ω) sao cho
un(x) ≥0 với x ∈ E;un →u trong H1(Ω). (2.15) Nếu −u ≥ 0 trên E trong H1(Ω) thì u là không dương trên E
trong H1(Ω) hay u ≤ 0 trên E trong H1(Ω).
Nếu u ≥0 trên E trong H1(Ω) và u ≤ 0trên E trong H1(Ω) chúng ta nói rằng u = 0 trên E trong H1(Ω).
Tương tự như vậy, chúng ta nói rằng u ≤ v trên E trong H1(Ω)
nếu v−u ≥ 0 trên E trong H1(Ω) với 2 phần tử u, v ∈ H1(Ω). Đặc biệt,
v có thể là hằng số, điều này dẫn tới định nghĩa
sup
E
Chúng ta so sánh 2 khái niệm “≥” trongH1(Ω)và “≥” trongH1(Ω). Mệnh đề 2.1. Cho Ω ⊂Rn bị chặn, E ⊂∂Ω và u∈ H1(Ω).
(i) Nếu u ≥ 0 trên E trong H1(Ω) thì u ≥0 trên E h.k.n.
(ii) Nếu u ≥0 trên E trong Ω h.k.n thì u ≥ 0 trên Ω trong H1(Ω). (iii) Nếu u ∈ H1
0(Ω) và u ≥ 0 trên Ω h.k.n thì tồn tại một dãy un ∈
H10,∞(Ω), sao cho an ≥0 trong Ω và un → u trong H10(Ω).
(iv) Nếu E là mở trong Ω và u ≥ 0 h.k.n trên E, thì u ≥ 0 trên K theo nghĩa của H1(Ω) với bất kỳ tập compact K ⊂E.
Chứng minh. (i) Đây là một hệ quả của sự hội tụ h.k.n tới u của một dãy con của một dãy tùy ý u hội tụ tới u trong L2(Ω).
(ii) Cho vn ⊂ H1,∞(Ω) thỏa mãn vn → u trong H1(Ω) và trong
Ω h.k.n theo từng điểm, thì max(vn,0) ≥ 0 và u = max(u,0) trong Ω
h.k.n, do đó
kmax(vn,0)−ukL2(Ω) = kmax(vn,0)−max(u,0)kL2(Ω)
≤kvn−ukL2(Ω) → 0 khi n → ∞. Từ Z Ω max (vn,0)2xdx ≤ Z Ω vnx2 dx ≤ C,
dãy max(vn,0) chứa một dãy con hội tụ yếu trong H1(Ω) tới phần tử u
đã nói ở trên. Theo nhận xét của mệnh đề trước, u ≥ 0 trên Ω trong H1(Ω).
(iii) Chứng minh tương tự (ii). Bắt đầu với vn ∈ H10,∞(Ω). (iv) Cho K compact trong E, lấy ζ ∈ C0∞(Rn) thỏa mãn
ζ = 1 trên {x : dist(x, K) ≤ 1
2dist(R
n−E, K)}, ζ = 0 trên Rn−E,
và 0 ≤ ζ ≤ 1. Cho, ϕε(x) là một họ với cách làm giảm đi với giá ϕε ⊂ P ε(0) và đặt ωn(x) = u∗ϕεn(x) = Z P εn(0) u(y)ϕεn(x−y)dy,
trong đó εn → 0 đơn điệu và ε0 < 12dist(K,Rn −E). Do đó ωn ≤ 0 trên
K. Cho vn ∈ H1,∞(Ω) thỏa mãn vn → u trong H1(Ω), thì (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
un = ζωn+ (1−ζ)vn
là dãy cần tìm.
Mệnh đề 2.2. Cho u ∈ H1(Ω) và giả sử rằng
sup
∂Ω
u = M = inf{m ∈ R: u ≤m trên ∂Ω trong H1(Ω)}< +∞.
Khi đó, với bất kỳ k ≥ M, max(u−k,0) ∈ H1
0(Ω) và max(u−k,0) ≥ 0
trong Ω trên H1(Ω).
Chứng minh. Để chứng minh max(u − k,0) ∈ H1
0(Ω) ta chứng minh điều kiện tương đương. Có nghĩa là, ta chứng minh tồn tại một dãy
vn ∈ H10,∞(Ω) mà
vn −−→yếu max(u−k,0) trong H1(Ω).
Theo giả thuyết, thì với bất kỳ ε ≥ 0, chúng ta có thể tìm được một dãy uεn ∈ C1(Ω) sao cho
k−uεn+ε > 0 trên ∂Ω
và
k −uεn +ε →k −u+ε trong H1(Ω) khi n→ ∞.
Từ đó, ta chọn ε = 1/n, uεn = un, ta có
và
un → u trong H1(Ω).
Do đó, hàm Lipschitz vn = max(un−(1/n)−k,0) có giá compact trong Ω. Hơn nữa
vn −−→yếu max(u−k,0) trong H1(Ω).
Do đó, max(u−k,0) ∈ H1 0(Ω).
Chú ý rằngmax(u−k,0) ≥0h.k.n trongΩ, do đómax(u−k,0) ≥0
trên Ω trong H1(Ω) (theo Mệnh đề 2.1(ii)).
Nguyên lý cực đại của chúng ta nói về các dạng phương trình với các hệ số đo được, bị chặn. Cho aij(x) ∈ L∞(Ω) thỏa mãn
(1/Λ)ξ2 ≤aij(x)ξiξj ≤Λξ2 với ξ ∈ Rn h.k.n x∈ Ω, (2.16) với Λ≥ 1 nào đó và định nghĩa
a(u, v) =
Z
Ω (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
aij(x)uxj(x)vxj(x)dx, u, v ∈ H1(Ω).
Điều này xác định toán tử
L : H10(Ω) →H−1(Ω)
cho bởi
hLu, vi = a(u, v), u, v ∈ H10(Ω).
Ta có thể viết lại
Lu = −(∂/∂xi)(aijuxj) ∈ H−1(Ω),
Định lý 2.4. Cho Lu = −(∂/∂(xi))(aijuxj) với aij thỏa mãn 2.16, thì với mỗi ϕ ∈ H−1(Ω) có duy nhất một nghiệm của bài toán
u ∈ H1(Ω) : Lu = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω.
Chúng ta quay trở lại với nguyên lý cực đại Định lý 2.5. Cho u ∈ H1(Ω) là một nghiệm của bài toán
Lu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω.
trong đó, Lu = −(∂/∂xi)(aijuxj) với aij thỏa mãn 2.16 và ϕ ∈ H1(Ω). Khi đó, ta có kukL∞(Ω) ≤ sup ∂Ω |ϕ|. Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh rằng u ≤sup ∂Ω ϕ trong H1(Ω).
Vì −u là một nghiệm của phương trình với các giá trị biên −ϕ, từ đó suy ra
−u ≤sup
∂Ω
−ϕ trong H1(Ω).
Các kết luận của định lý được suy ra từ Mệnh đề 2.1(i). Theo Mệnh đề 2.2, ζ = max(u−M,0) ∈ H10(Ω), vì vậy
0 = a(u, ζ) =
Z
Ω
aijuxjζxidx. (2.17)
Chúng ta chia Ω thành 2 tập, 2 tập này được xác định trong một tập có độ đo không: {x : ζ(x) > 0} và {x : ζ(x) = 0}. Ta có
ζxi = 0 h.k.n trong {x : ζ(x)} = 0, ζxi = uxi h.k.n trong {x :ζ(x)}> 0.
Suy ra uxj(x)ζxi(x) =ζxj(x)ζxi(x) h.k.n trong Ω. Thay vào (2.17), chúng ta có 0 = a(u, ζ) = Z Ω aijuxjζxjdx = a(ζ, ζ) ≥ (1/Λ) Z Ω ζxi2 dx= (1/Λ)kζk2 H10(Ω).
KẾT LUẬN
Do thời gian nghiên cứu và năng lực còn hạn chế nên khóa luận mới chỉ đạt được một số kết quả nhất định. Em rất mong các thầy cô, các bạn góp ý và nhận xét để khóa luận này được đầy đủ và hoàn thiện hơn.
Trước khi kết thúc khóa luận này, một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy cô giáo trong trường, đặc biệt là Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[1] .K. Chi, D.H. Chương và N.H. Linh, Bất đẳng thức biến phân và ứng dụng vào bài toán mạng giao thông, Đề tài NCKH cấp trường Đại học KHTN, Đại học Quốc Gia Tp.HCM, 2004.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[2] .X. Hải and P.Q. Khánh, Existence of Solutions to General Quasi- Equilibrium Problems and Applications, (In Press), 2004.
[3] .Q. Khánh and L.M. Lưu, On The Existence of Solution to Vector Quasi Variational Inequalities and Quasi Complementtarity Prob- lems with Application to Traffic Network Equilibria, Journal of Op- timization and Its Applications, Vol. 123, 533-548, 2004.
[4] .Q. Khánh and L.M. Lưu, Some Existence Results for Vector Quasi- variational Inequalities Involving Multifunction and Application to Traffic Equilibrium Problems, Journal of Global Optimization, Vol. 32, 551-568, 2005.
[5] .Q. Khánh and L.M. Lưu, UpperSemi continuos of The Solution Set to Parametric Vector Quasivariational Inequalities Journal of Global Optimization, Vol. 32, 569-580, 2005.
[6] . Daniele, A. Maugeri and W. Oettli, Timedependent Traffic Equi- libria, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 103, 543-555, 1999.
[7] .J. Smith, The Existence, Uniqueness and Stability of Traffic Equi- librium, Transportation, Vol. 13B, 295-304, 1979.
[8] .Q. Yang and C.J. Goh, On Vector Variational Inequalities Appli- cation to Vector Equilibria, Euro Journal of Operational Research, Vol. 116, 615-628, 1999.
[9] .S. Kum and G.M. Lee, Remarks on Implicit Vector Variational In- equalities, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol. 6, 369-382, 2002.
[10] .S. Kum and G.M. Lee, On Implicit Vector Variational Inequaliries, Journal of Optimization Theory and Application, Vol. 104, 409-425, 2000.
[11] .D. Yen, Lipschitz Continuity of Solution of Variational Inequalities with a Parametric Polyhedral Constraint, Mathematics of Opera- tions Research, Vol.20, 695-708, 1995.
[12] .M. Lee, D.S. Kum, B.S. Lee va N.D. Yen, Vector variational In- equality as a tool for studying vector optimization problems, Nonlin- ear Analysis, Vol. 34, 745-765, 1998.
[13] . Wardrop, Some theoretical aspects of Road Traffic Reseach, Pro- ceedings of the Institute of Civil Engineers, Vol. 1, 325-378, 1952. [14] .N. Iusem and W. Sosa,New Existence Results for Equilibrium Prob-
[15] .J. Li, G.L Chen and K.L. Teo,On the Stability of Generalized Vector Quasi Variational Inequalities Problems, Journal of Mathematical Analysis and Application, Vol. 113, 283-295, 2002.
[16] V. Konov, On Quasimonotone Variational Inequalities. Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 99, 165-181, 1998.
[17] . Tarafdar, A Fixed point theorem Equivalent to the Fan-Knaster - Kuratowski-Mazurkiewicz theorem, Journal of Mathematical Analy- sis and Applications, Vol. 128, 475-479, 1987.
[18] . Asseul and N. Hadjisavvas, On Quasimonotone Variational In- equalities, Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 125, 445-450, 2004.
[19] .H. Ansari, Y.C. Lin and J.C.Yao, General KKM theorem with Ap- plications to Minimax and Variational Inequalities, Journal of Op- timization Theory and Applications, Vol. 184, 41-57, 2000.
[20] . Bianchi and S. Schaible, Equilibrium Problems under generalized convexity and generalized monotonicity, Journal of Global Optimiza- tion, Vol. 30, 121 - 134, 2004.
[21] . Ricceri, Basic Existence Theorems for Generalized Variational and Quasivariational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equilibrium Problems, Edited by F. Giannessi and A. Maugeri, Plenum Press, NewYork, 251-255, 1995.
[22] . De Luca, Generalizd Quasi-variational Inequalities and Traffic Equilibrium Problem, Variational Inequalities and Network Equi- librium Problems, Edited by F. Giannessi and A. Maugeri, Plenum Press, NewYork, 45-54, 1995.
[23] . Jahn, Introduction to The Theory of Nonlinear Optimization, Springer-Verlag, 1994.
[24] . Kinderlehrer and G. Stampacchia,An Induction to Variational In- equalities and Their Applications, Academic Press, NewYork, 1980.
[25] . Aubin and H. Franowska,Set- Valued Analysis, Birkhauser, Berlin, 1990.
[26] . Giannessi, On the Theory of Vecotr Optimization and Variational Inequalities. Image Space Analysis and Separation, Vector Varia- tional Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F. Giannessi, Kluwer Academic, Dordrecht, 153-216, 2000.
[27] . Giannessi, Separation of nets and gap Function for Quasi- variational Inequalities, Variational Inequalities and Network Equi- librium Problems, Edited by F. Giannessi and A. Maugeri, Plenum Press, NewYork, 101-122, 1995.
[28] .H. Ansari, Vector Equilibrium Problems and Vector Variational Inequalities, Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria, Edited by F. Giannessi, Kluwer Academic, Netherlands, 2000. [29] . Berge, Topological Spaces, MacMillan, NewYork, 1968.
[30] .1. Bensoussan and J.1.1ions, Impulse Control and Qusivariational Inequalities, Gautheiers Villars, Bordar, Paris, France, 1984.
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});