3co s5 t-360 3cos 3t 90 3cost-27= - Phƣơng phỏp- 123docz.net

V. Phƣơng phỏp lƣợng giỏc húa

288 3co s5 t-360 3cos 3t 90 3cost-27=

 216 cos 5 t 20 cos 3 t 5cos t 3 0

 cos5t=cos

Từ phương trỡnh trờn ta suy ra phương trỡnh cú 5 nghiệm là

 2 3cos  2 3cos 

Nhận xột: Phộp đặt này chỉ thực hiện được khi x  2 3 .

Bài số 43: Giải phương trỡnh

Điều kiện 1 - x2 01 x1.

Ta thấy x=0 khụng phải là nghiệm của phương trỡnh. Ta xột x 0 . Khi đú

Đặt x cost, t0;. Khi đú, phương trỡnh trở thành:

Với t 



 k2 t

2 x cos

2 0 (loại)

38 8

 k3 t 1318  x cos 1318 .  k4 t 1718  x cos 1718 . Với t 10 k 2 5 , t 0; k2;1  k2 t 710  x cos 710 .  k1 t 310  x cos 310 .

Vậy phương trỡnh (1) cú 6 nghiệm.

Bài số 44: Giải phương trỡnh

1 1 x2 Giải 1 x 0  Điều kiện1 x 0 1 x 1.  1 x2 0

Đặt x cost, t0;. Khi đú, phương trỡnh trở thành:







Suy ra x

39 9

Bài số 45: Giải phương trỡnh 2 x 1 x2 Giải Điều kiện: x1. Đặt x tan t , t -Với sin t 0 t 0 x 0. -Với sin t 2

Vậy, phương trỡnh cú hai nghiệm x 0; x

Bài số 46: Giải phương trỡnh

Điều kiện:1 x1.

Từ đú suy ra 1 x 2cost; 1 x 2 sin t ; x 2cos 2 t1.

Khi đú

40 0

(1) ( 2 cos t1)( 2 sin t1) 2(2 cos 2 t1)

 ( 2 cos t1)( 2 sin t 2 2 cos t1) 0

  2 cos t1

 2 sin t 2 2 cos t1 0 +)Với 2cost=1 cost= 22 x 0.

+)Với 2 sin t 2 2cost -1=0 2 sin t 2 2cost+1 (Do 0 t

2 cost 0;sin t 0 )

 2(1 cos 2 t)1 8 cos 2 t 4 2 cos t

 10 cos 2 t 4 2 cos t1 0 cos t 102

 21 cos 2

t 1 4 2cost+8cos2t

 10 cos 2 t 4

Vậy phương trỡnh (1) cú hai nghiệm x 0; x

Bài số 47: Giải hệ phương trỡnhy ( y 2 z ) 1 ( x , y , z

*/ Từ (3) biến đổi được

41 1

*/ Giải phương trỡnh

 

  k

14 7

x 3 3x 2 y y

Bài số 48: Giải hệ phương trỡnh

y 3 3y 2

z z

z 3 3z 2 x x Rừ ràng nếu xyz 0 thỡ hệ cú nghiệm0;0;0. Xột khi xyz 0 . 3 2 x  3x  1 Khi x 2 y 1 , 2cos3 Nờn cos 27 cos 27 k 2

Bài số 49: Giải hệ phương trỡnh y 2    z 2 4 2

Giải x 3 x 2  Ta cú:I y  z 3  2x 2y 3 2y 2z 2z 2x 3 1 Trong đú ft t 3 t 2 2t và gt 2t31 . Ta thấy g(t), f(t) là hàm đồng biến trờn R vỡ: f't 3t 2 2t 2 0, g't 6t 2 0,tR.

Từ đú suy ra hệ (I) tương đương với hệ: x y z

Trong đú ht

 2   0, h 

phõn biệt đều nằm trong khoảng2; 2. Đặt x 2cosu,

x y z 2cosu, u



8cos3 u 4cos2u

Hay x y z 2cosu, u0;



 sin4u sin3u

Giải hệ (III) ta được

Bài số 50: Giải hệ phương trỡnh

Giải

Đặt x tan 2 , y tan 2 , z tan 2 ( 0 <,, <, + + =), ta được 4 3

sin 3  sin 4  sin 5 .

Từ định lý hàm số sin bõy giờ suy ra,, là cỏc gúc của tam giỏc cú độ dài cỏc cạnh tương ứng là 3, 4, 5.

Do tam giỏc vuụng nờn ta cú :

2 ,sin 53

,sin 54

. Vỡ vậy tan

Vậy hệ phương trỡnh đĩ cho cú nghiệm là:

Bài số 51: Giải hệ phương trỡnh

Giải

x 4 y 3 3y

Ta viết lại hệ dưới dạng

y 4z 3 3z 

z 4x3 3x

Ta chứng minh rằng tất cả cỏc số x, y, z theo trị tuyệt đối khụng vượt quỏ

1. Thật vậy, giả sử x là số lớn nhất trong cỏc số này và x > 1 thỡ ta cú z = 4x3 – 3x > x. Ta đi đến mõu thuẫn.

Nếu giả sử x là số nhỏ nhất và x < - 1 thỡ ta cũng cú z = 4x3 – 3x < x, cũng mõu thuẫn.

Như vậy -1 x, y, z 1 và ta cú thể thực hiện đặt x = cos (0). Khi đú z = cos3, y = cos9, x = cos27. Bõy giờ rừ ràng rằng số nghiệm của hệ phương trỡnh ban đầu bằng số nghiệm của phương trỡnh cos = cos27 trờn [0 ;].

44 4