dị với một nhân Cauchy
Định lý 2.1. Một tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = a(t).P++b(t).P− : Lp(Γ) →Lp(Γ),1 < p < ∞. (2.1) Trong đó a(t), b(t) ∈ C(Γ) và Γ là một chu tuyến đóng, là một tốn tử Noether khi và chỉ khi:
inf
Γ |a(t)b(t)| > 0 (2.2) Chứng minh. Trước tiên chúng ta đi chứng minh điều kiện đủ (2.2). Do điều kiện (2.2) toán tử
Ta−1,b−1Ta,b ' I;Ta,bTa−1b−1 ' I.
Nghĩa là toán tử Ta,be = Ta−1b−1 là một chính quy của Ta,b và theo định lý Atkinson 2, Ta,b là một toán tử Noether.
Chứng minh điều kiện (2.2) là điều kiện cần.
Cho toán tử Noether Ta,b nhưng giả sử rằng tồn tại một điểm t0 ∈ Γ trong đó a(t0) = 0. Thì với mọi ε > 0, tồn tại một cung γε ∈ Γ chứa t0 và một hàm aε(t) ∈ C(Γ), sao cho
sup
Γ
|a(t)−aε(t)| < ε, aε(t) = a(t),
với t∈ Γγε và aε(t) ≡ 0 trên một cung eγε chứa hồn tồn trong γε. Theo Định lý Dieudone, có một số ε > 0 đủ nhỏ: tính chất Noether
của TA,B bảo đảm tính chất Noether của tốn tử TAε,B gần với tốn tử TA,B trong tơpơ đều. Do đó, tồn tại một chính quy TAe ε,B của tốn tử. Ta có thể viết:
P+ ' Teaε,bTaε,bP+ = Teaε,baε(t)P+ ' Teaε,bP+aε(t)I
Theo đó, từ việc chọn hàm aε(t), tốn tử aε(t)I có một nhân vơ hạn chiều ϕε(t) = 0 trênΓeγε η(t) trênγeε. (2.3)
Trong đó η(t) là hàm bất kỳ từ Lp(eγε),1 < p < ∞. Sau khi nhân hai vế của (2.3) với vế phải của hàm đặc trưng χ
e
γε(t) của cung eγε, chúng ta được P+ |Lp(
e
γε)' 0. Điều này là khơng thể, do tốn tử hạn chế P+ |Lp( e
γε) không là tốn tử compact trong khơng gian Lp(eγε).
2.1.2 Tiêu chuẩn Noether cho tốn tử cặp đơi
Cho L(X) là một đại số của các tốn tử tuyến tính bị chặn tác động trong không gian Banach X và cho Ne là một tập con của L(X). Cho P± là các toán tử chiếu và bị chặn. Chúng ta kí hiệu T(Ne) là tập tất cả các tốn tử có dạng: TA,B = AP+ + BP−, trong đó A, B ∈ N .e Các tốn tử như vậy được gọi là tốn tử cặp đơi.
Chú ý: NếuAlà một tốn tử bất kỳ thuộc đại sốL(X), vìP++P− = I, tốn tử A có thể biểu diễn dưới dạng tốn tử cặp đơi: A = AP++AP− =
TA,A.
Một ví dụ về tốn tử cặp đơi là SIO với một nhân Cauchy đã xét ở trên. Trong trường hợp này: Ne = a(t)I, a(t) ∈ C(Γ) là tập các toán tử nhân bởi một hàm liên tục.
Một SIFO cũng là một tốn tử cặp đơi với
e
là tập tất cả các toán tử hàm cấp một với hệ số liên tục trên Γ.
Nhận xét:
1, Nếu a, b ∈ C(Γ)và các toán tử aI và bI có nghịch đảo liên tục thì tốn tử Ta,b là Noether.
2, Nếu a, b ∈ C(Γ) và các toán tử aI và bI khơng có nghịch đảo liên tục thì tốn tử Ta,b khơng là tốn tử Noether.
3, Nếu a ∈ C(Γ) thì tốn tử aI có nghịch đảo liên tục khi và chỉ khi
inf
Γ |a(t)| > 0.
Từ nhận xét đó giúp ta tổng quát một tiêu chuẩn Noether cho một toán tử SIO và mở rộng cho chứng minh tốn tử cặp đơi dạng tổng qt
TA,B = AP++ BP−, A, B ∈ N .e
Từ chứng minh điều kiện đủ trong định lý 1, chúng ta được:
Bổ đề 2.1. Nếu A, B ∈ Ne(S) và A, B là tốn tử Noether thì tốn tử cặp đơi:
TA,B = AP++BP− là tốn tử Noether.
Ta giới thiệu định nghĩa:
Định nghĩa 2.1. Ta nói rằng tốn tử A ∈ Ne có một nhân cốt yếu (hoặc đối nhân cốt yếu) đối với toán tử S hoăc toán tử P±, nếu mỗi toán tử
Π ∈ L(X), toán tử AΠ,(ΠA) là một toán tử compact nhưng toán tử P+Π
và P−Π (hoặc ΠP+ và ΠP−) khơng là tốn tử compact.
Chúng ta ký hiệu Mf0(S) là tập tất cả các toán tử A∈ L(X) sao cho mọi ε > 0 tập
chứa một toán tử Aε ∈ Ne(S) có một nhân cốt yếu hoặc đối nhân cốt yếu với toán tử S.
Bổ đề 2.2. Nếu A, B ∈ Mf0(S) thì TA,B = AP++BP− khơng là tốn tử Noether.
Chứng minh. Cho A ∈ Mf0(S) và TA,B là một toán tử Noether với mọi ε > 0, tồn tại một toán tử Aε ∈ Ne(S) sao cho: |A−Aε| < ε và Aε có một nhân cốt yếu. Nghĩa là ta tìm được một tốn tử Πε mà: AεΠε ' 0 nhưng P±Πε 6' 0. Theo định lý ổn định Dieudone, tồn tại một số ε > 0 đủ nhỏ sao cho TAε,B là một tốn tử Noether. Do đó, tồn tại chính quy TAe ε,B. Vì vậy, chúng ta có thể viết
P+ ' TeAε,BTA,B ' TeAε,BP+AεI. (2.4)
Nhân cùng vào hai vế của (2.4) vào bên phải bởi toán tử Πε ta được AεΠε ' 0 nên ta có P+Πε ' 0 điều này mâu thuẫn với định nghĩa của nhân cốt yếu. Suy ra, toán tử TA,B khơng là tốn tử Noether.
Từ đó ta có: A ∈ Mf(S) nếu toán tử A ∈ L(X) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
1, A là tốn tử có nghịch đảo liên tục và A ∈ Ne(S).
2, A khơng là tốn tử có nghịch đảo liên tục và A ∈ Mf0(S).
Tập Ne = {A= a(t)I, a(t) ∈ C(Γ)} là một ví dụ của tập Mf(S).
Ta được định lý sau:
Định lý 2.2. Nếu A, B ∈ Mf(S) thì tốn tử TA,B = AP++ BP− là một toán tử Noether khi và chỉ khi A và B là các tốn tử có nghịch đảo liên tục.
Vì vậy, bài tốn tìm điều kiện Noether cho một SIO với hệ số liên tục và dịch chuyển α(t) với đạo hàmα0(t) thỏa mãn điều kiện Holder trên chu
tuyến đóng Lyapunov thu hẹp về bài tốn kiểm tra các tốn tử hàm A, B thuộc tập Mf(S) và tìm điều kiện đủ để có nghịch đảo liên tục cho tốn tử hàm A, B.
2.1.3 Tiêu chuẩn Noether cho SIFO cấp một trong trường hợp dịch chuyển Carleman bảo toàn hướng
Xét một tốn tử tích phân kỳ dị cấp một tác động lên Lp(Γ), p ∈
(1;∞)
K = TA,B = AP++BP− (2.5) với
A = a(t)I +b(t)U, B = c(t)I +d(t)U,
(U ϕ)(t) = |α0(t)|1pϕ(α(t)), a, b, c, d ∈ C(Γ), P+ = 1 2(I +S), P− = 1 2(I −S), α0 ∈ Hµ(Γ), µ ∈ (0; 1], α0(t) 6= 0,∀t ∈ Γ.
Ở đây ta giả sử α(t) là một dịch chuyển Carleman bảo tồn hướng cấp k(k ≥ 2). Ta có: α0k(t) = k Y j=1 α0(αj−1(t)) = 1 và Uk = I.
như đã biết để tìm một tiêu chuẩn Noether cho toán tử K, ta kiểm tra A, B ∈ Mf(S) và tìm một tiêu chuẩn cho tốn tử A và B.
Ta có tốn tử A có một nghịch đảo liên tục A−1 khi và chỉ khi hệ k phương trình đại số tuyến tính sau:
(Aj−1ϕ)(t) =a(αj−1(t))(Uj−1ϕ)(t) + b(αj−1(t))(Ujϕ)(t) = (Ugj−1),
j = 1,2, . . . , k. (2.6) có nghiệm duy nhất và khơng cần điều kiện giải được. Tính định thức của hệ (2.2), ta được : det[(Aj−1ϕ)(t)] = vα(a, b) = k−1 Y j=0 a(αj(t)) + (−1)k−1 k−1 Y j=o b(αj(t)). (2.7) Vì vậy tiêu chuẩn khả nghịch cho tốn tử A được cho bởi
vα(a, b) 6= 0 (2.8) tại mọi điểm trênΓ. Nếu điều kiện (2.3) đúng, ta được tốn tửA−1 có dạng:
vα(a, b)−1( k−1 Y j=1 a(αj(t))I−b(t) k−1 Y j=2 a(αj(t))U+b(t)b(α(t)) k−1 Y j=3 a(αj(t))U2+. . . +(−1)k−1 k−2 Y j=0 b(αj(t))Uk−1) (2.9) Trong trường hợp k = 2 chúng ta có vα(a, b) =a(t)a(α(t))−b(t)b(α(t)) 6= 0 A−1 = vα−1(a, b)(a(α(t))I −b(t)U)
Bây giờ ta kiểm tra lại rằng A ∈ Mf(S). Chúng ta sẽ bắt đầu với việc
Bổ đề 2.3. Nếu α0(t) ∈ Hµ(Γ)(µ ∈ (0; 1]), α0(t) 6= 0 và a(t), b(t) ∈ C(Γ) thì tốn tử A ∈ Ne(S).
Thật vậy, theo điều kiện của bổ đề trên giao hoán tử [aI, S] và [U, S]
là các toán tử compact trong Lp(Γ). Do đó giao hốn tử [A, S] cũng com- pact trong Lp(Γ).
Chú ý rằng: Bổ đề trên khơng cần sử dụng đến tính chất của dịch chuyển Carleman mà nó đúng với mọi dịch chuyển bảo tồn hướng trên Γ
và điều kiện Holder: α0(t) 6= 0.
Từ điều kiện vα(a, b) 6= 0 và bổ đề (2.1) suy ra A ∈ Mf(S).
Ngược lại, nếu (2.8) khơng thỏa mãn thì mệnh đề sau đúng
Bổ đề 2.4. Nếu a(t), b(t) ∈ C(Γ) và inf
Γ |vα(a, b)| = 0 thì tốn tử A =
a(t)I +b(t)U ∈ Mf0(S) và khơng có nghịch đảo liên tục trong Lp(Γ).
Chứng minh. ta đã biết Akhơng có nghịch đảo liên tục nếu điều kiện (2.8) không thỏa mãn. Ta kiểm tra rằng A ∈ M0f(S).
Ta chỉ ra rằng trong lân cận bất kỳ của toán tử A tồn tại một tốn tử Aε = aε(t)I + bε(t)U có một nhân cốt yếu hoặc đối nhân cốt yếu. Vì
inf
Γ |vα(a, b)| = 0 và a(t), b(t) ∈ C(Γ) nên tồn tại một điểmt0 ∈ Γ sao cho: vα(a(t0), b(t0)) = 0
thì với bất kỳ ε > 0 chúng ta có thể tìm hàm: aε(t), bε(t) ∈ C(Γ) và một cung γeε sao cho:
|a(t)−aε(t)| < ε |b(t)−bε(t)| < ε k−1 \ j=0 αj(γeε) = ∅.
aε(t) = a(t0), bε(t) = b(αj(t0)),∀t∈ αj(γε). Ta có: vα(aε, bε) = k−1 Y j=0 aε(αj(t))+(−1)k−1. k−1 Y j=0 bε(αj(t)) ≡ 0,∀t∈ γε = k−1 [ j=0 αj(γeε). (2.10) Chúng ta lấy một hàm bất kỳ ϕ ∈ Lp(γε) , bởi vì điều kiện (2.10), hàm ϕ(t) có thể thác triển trên chu tuyến Γ thành hàm mở rộng ϕe∈ Lp(Γ) là nghiệm khơng tầm thường của phương trình thuần nhất:
(Aεϕ)(t) = 0.
Suy ra, tốn tử Aε có một nhân cốt yếu Πε = χγε(t)ϕ(t),e Πε ∈ Lp(γε).
trong đó χγε(t) là hàm đặc trưng của γε
Mặt khác, theo bổ đề 3, toán tử Aε ∈ Ne(S) (Aε gần với A). Do đó, tốn tử A khơng có nghịch đảo liên tục trong Lp(Γ) và A∈ Mf(S).
Do đó ta có, tiêu chuẩn Noether cho toán tử SIFO cấp 1 với dịch chuyển Carleman cấp k là:
Định lý 2.3. Γ là một chu tuyến Lyapunov đóng a, b, c, d ∈ C(Γ), α0(t) 6=
0, α0 ∈ Hµ(Γ),0< µ ≤ 1. Tốn tử
TA,B = AP++BP−
trong đó A = a(t)I + b(t)U;B = c(t)I + d(t)U và Uk = I với k ≥ 2, là
toán tử Noether khi và chỉ khi hàm vα(a, b) và vα(c, d) được cho bởi công thức (2.8) thỏa mãn bất đẳng thức:
inf
Γ |vα(a, b)| > 0, inf
2.1.4 Chỉ số của tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Chúng ta xét một tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = aP++bP−,
ta giả sử rằng Ta,b là tốn tử Noether. Ta có a(t) 6= 0, b(t) 6= 0 tại mọi điểm trên chu tuyến Γ. Do đó, tốn tử Ta,b có thể biểu diễn dưới dạng
Ta,b = a(P++ a−1bP−) = aT1,a−1b
Cho c(t) =a−1(t)b(t). Thì c ∈ C(Γ) và c(t) 6= o trên Γ ta được ind(aI) = 0.
Suy ra, tính chỉ số của tốn tử Noether Ta,b được thu hẹp về tính chỉ số của tốn tử
T1,c = P++ cP−.
Sử dụng đồng luân của toán tử và hàm, chúng ta đơn giản việc tính chỉ số của tốn tử T1,c bằng việc tính chỉ số của tốn tử tích phân kỳ dị
Km = T1,tm = P++ tmP−.
Trong đó m là số nguyên không âm. Thật vậy, điều kiện c ∈ C(Γ) và c(t) 6= 0 trên Γ. Chỉ số Cauchy của hàm c(t) là
k = 1
2π{argc(t)}Γ
tồn tại hàm liên tục duy nhất h(t) =ln(t−kc(t)) nghĩa là
Họ các hàm số
c(t, µ) = tkeµh(t), t ∈ Γ,0 ≤ µ≤ 1
thực hiện đồng luân c(t) ' tk. Thật vậy, hàm của hai biến c(t, µ) liên tục và khơng triệt tiêu tại t ∈ Γ, µ ∈ [0; 1] ta có c(t, µ)|µ=1 = c(t) và c(t, µ)|µ=0 = tk.
Họ của tốn tử tích phân kỳ dị với một nhân Cauchy
T1,c(t,µ) = P++ c(t, µ)P− thực hiện đồng ln tốn tử T1,c = Kk.
Vì vậy, ta trở về tính ind(P++ tkP−), trong đó k là một số nguyên. Cho k = m ≥0, ta có đẳng thức
(P++tmP−)(P++t−mP−) = I, (2.11) do đó tốn tửKm có nghịch đảo phải là tốn tửK−m.Do đó, khik = m ≥0
phương trình (P++tmP−)ϕ = f giải được với mọi f ∈ Lp(Γ). Suy ra, khi k ≥ 0, Coker(P+ + tkP−) = ∅, dimCoker(P+ + tm.P−) = 0. Theo điều kiện chỉ số của tốn tử Noether, ta có
ind(P+ +tkP−) = dim Ker(P++tkP−).
Để nghiên cứu tính giải được của tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy T1,c = P+ + c(t)P−. Có thể thu hẹp về nghiên cứu bài toán biên Riemann thuần nhất tìm một hàm{ϕ+(z), ϕ−(z)}giải tích từng khúc trên
Γ, triệt tiêu tại vô cùng và thỏa mãn điều kiện
ϕ+(t) = c(t)ϕ−(t),∀t ∈ Γ (2.12) Nghiệm của phương trình T1,cϕ = 0 có được từ việc giải bài tốn biên (2.12) nhờ công thức Sokhotski-plemelij ϕ(t) = ϕ+(t) − ϕ−(t). Do
đó, ta có nghiệm của bài toán giá trị biên Riemann thuần nhất với hệ số c(t) = tm, m ≥ 0. Áp dụng điều kiện biên cho hàm liên tục giải tích và định lý Liouville, ta được các nghiệm
ϕ+(z) =Pm−1(z), ϕ−(z) = z−mPm−1(z)
trong đó Pm−1(z) là một đa thức với bậc nhỏ hơn hoặc bằng m −1 với các hệ số phức bất kỳ c0, c1, c2, . . . , cm−1. Sử dụng công thức Sokhotzki ta được nhân của toán tử Km = P++tmP−, m ≤ 0 có dạng
KerKm = {tk(1−t−m)}, k = 0,1, . . . , m−1.
Vì dim KerKm = m. Suy ra, từ điều kiện k = m ≥ 0, ta có indKk = k. Cho k < 0, đẳng thức (2.12) có thể biểu diễn dưới dạng
(P++t−kP−)(P++ tkP−) = I. (2.13) Từ (2.13) và cơng thức chỉ số của tích của các tốn tử Noether ta có
ind(P++t−kP−) +ind(P++tkP−) =ind(P++t−kP−)(P++tkP−) = 0,
(2.14) vì chỉ số của tốn tử đồng nhất bằng khơng. Vì −k = m >0, theo chứng
minh trên chúng ta có
ind(P++t−kP−) = −k. (2.15) Từ (2.14) và (2.15), trong trường hợp k < 0 ta cũng được
ind(P++tkP−) = 0.
Sử dụng đồng luân T1,c(t) ' Kk, ta được
ind(P++a−1bP−) =ind(P+ +tkP−) = k = 1
2π{argb(t) a(t)}Γ.
Ta thu được cơng thức tính chỉ số của tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Định lý 2.4. Chỉ số của tốn tử tích phân kỳ dị với nhân Cauchy
Ta,b = aP++bP−
với các hệ số a, b ∈ C(Γ) được xác định bởi công thức indTa,b = 1
2π{argb(t) a(t)}Γ.
2.1.5 Chỉ số của SIFO Kveselava-Vekua
Giả sử dịch chuyển bảo toàn hướng α(t) : Γ → Γ chỉ thỏa mãn hai điều kiện α0(t) 6= 0,∀t∈ Γ vàα0 ∈ Hµ(Γ),0 < µ ≤ 1. Giả sử, tập M(α, k)
các điểm bất động hoặc tuần hoàn của α(t) có thể là tập rỗng. Tốn tử
W P++aP− (2.16)
trong đó (W ϕ)(t) = ϕ(α(t)) được gọi là tốn tử hàm tích phân kỳ dị Kveselava -Vekua. Nếu tốn tử (2.16) tác động vào khơng gianLp(Γ),(1< p < ∞) thì nó có tốn tử liên kết U P+ + aP− trong đó (U ϕ)(t) =
|α0(t)|1pϕ(α(t)) là một tốn tử dịch chuyển đẳng cự. Trong trường hợp M(α, k) 6= 0 với k ≥ 1, và a(t) 6= 0 trên Γ.
Tính Noether của tốn tử (2.16) có được nhờ tính Noether của tốn tử tích phân kỳ dị cấp một tổng quát với tập M(α, k) khác rỗng.
Ta xét tính Noether và chỉ số cho tốn tử trong khơng gianHµ(Γ),(0 < µ≤ 1) và Lp(Γ),(1 < p < ∞). Ta có
W P+ +aP− '(W P++P−)(P++ aP−). (2.17) Ta dễ dàng tính được chỉ số của tốn tử (P+ +aP−). Bây giờ ta tính chỉ số cho tốn tử
Vì tốn tử W khả nghịch trong Hµ(Lp) nên ta được tốn tử Wf−1P++P− là một chính quy hai phía của tốn tử K. Do đó, tốn tử K là tốn tử Noether trong Hµ(Γ) cũng như trong Lp(Γ). Mặt khác, từ hệ thức
KKe = I, e KK = I, ta được indK = −indK,e (2.18) ta xét toán tử compact (F ϕ)(t) = ϕ(t) ta đã biết F S = −SF, F2 = I, suy ra, ta có F KF ' W P−+P+. (2.19) Vì tốn tử F khả nghịch trong Hµ(Lp) nên indF = 0 và từ (2.19) ta được indK = ind(W P−+P+). (2.20) Mặt khác
W P−+P+ = W(P−+ W−1P+) = WKe (2.21) Do indW = 0 nên từ (2.20) và (2.21) ta được
indK = indKe (2.22)
do đó, từ (2.18) và (2.22) suy ra indK = indKe = 0
Định lý 2.5. Tốn tử hàm tích phân kỳ dị Kveselava-Vekua là tốn tủ Noether trong Hµ(Γ)(Lp(Γ)) khi và chỉ khi a(t) 6= 0 trên Γ. Chỉ số của
tốn tử đó được xác định bởi cơng thức
ind(W P++aP−) = 1
Nhận xét: trong không gian Lp(Γ), chúng ta có
U P++P− = |α0(t)|1pW P++P− ' (|α0(t)|1pP+ +P−)(W P++P−),
với α0(t) 6= 0 trên Γ và {arg|α0(t)|1p}Γ = 0, suy ra
indLp(U P++ P−) = indLp(W P++P−) = 0,
Do đó, tốn tử Kveselava - Vekua
U P++aP− : Lp(Γ)→ Lp(Γ),
cũng đúng với định lý (2.5) và có chỉ số
indLp(U P++aP−) = 1
2π{arga(t)}Γ
Định lý 2.6. (Kveselava 1) Toán tửK = W P++P−,(W ϕ)(t) =ϕ(α(t)), có nghịch đảo liên tục trên khơng gian Hµ(Γ)với điều kiện α0(t) 6= 0, α0 ∈ Hµ(Γ).
Chứng minh. Tốn tử K liên hết với bài tốn giá trị biên tìm hàm giải tích từng khúc ϕ(z) ={ϕ+(z), ϕ−(z)} trên mặt phẳng phức cho bởi
ϕ+(α(t)) = ϕ−(t), ϕ−(∞) = 0,∀t ∈ Γ, (2.23) cho {ϕ+, ϕ−} là một nghiệm của bài tốn giá trị biên (2.23). Theo tính chất của tốn tử chiếu P+ và P−, ta có
(1 2(I −S)ϕ+)(t) = 0, (2.24) (1 2(I +S)ϕ −)(t) = 0. (2.25) Từ (2.24) ta có 1 2(I −W SW−1W)ϕ+ = 0. (2.26)
Từ (2.23) và (2.26) ta được
1
2(I −W SW−1)ϕ− = 0. (2.27) Cộng theo từng vế của (2.25) và (2.27) ta được
ϕ−+ 1
2(S −W SW−1)ϕ− = 0. (2.28) Phương trình (2.28) là phương trình Fredholm chính tắc nên nó có hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính. Mặt khác, mọi nghiệm của bài tốn giá trị biên (2.23) đều là nghiệm của phương trình (2.28) nên bài tốn (2.23) cũng có hữu hạn nghiệm độc lập tuyến tính. Dễ thấy hàm hằng là một nghiệm của bài toán (2.23) nhưng từ điều kiện ϕ−(∞) = 0 ta suy ra hằng số đó phải bằng khơng. Cho {ϕ+(z), ϕ−(z)} là một nghiệm khác hằng số của bài toán giá trị biên (2.23). Nâng lên lũy thừa m(m = 2,3, . . .) đồng nhất thức
ϕ+(α(t)) ≡ ϕ−(t)
ta được
[ϕ+(α(t))]m ≡[ϕ−(t)]m, m = 1,2, . . .
Do đó, hàm giải tích từng khúc {(ϕ+(z))m,(ϕ−(z))m}, với m = 2,3, . . .