n 5 α 5π 1, và α(k 0)
2.3 Sự tồn tại nghiƯm súng chạy
Định nghĩa 2.1. Một hàm số được gọi là nghiệm súng chạy với tốc độ c và nhận giỏ trị trờn đoạn[0;π1] của phương trỡnh
un+1 = Q[un], n = 1,2, ...(1)
được định nghĩa là một hàm liờn tục khụng tăngW(s) sao cho
lim
s→−∞W(s) = π1, lim
s→+∞W(s) = 0,
và dãy un(x) = W(xãξ −nc) thỏa mÃn phương trỡnh (1). Định lý 2.3. Giả sử cú toỏn tửQ sao cho
Q[α] > α, α ∈ (0;π1), Q[0] = 0, Q[π1] = π1, π1 < ∞,
và Q là toỏn tử compact thỏa mÃn: Mọi dãy hàm vn trong B với vn 5 π1 có một dãy con vnk sao cho dãyQ[vnk] hội tụ đều trờn mọi tập bị chặn trongH. Khi đó, nếu c = c∗(ξ) thỡ tồn tại một hàm khụng tăngW(s) được định nghĩa cho mọi s có dạng x ãξ −nc, trong đó x ∈ H và n là số nguyờn dương, sao cho dÃy un(x) = W(x ã ξ − nc) thỏa mÃn phương trỡnh un+1 = Q[un], và
W(−∞) =π1 và W(+∞) = 0.
Chứng minh. Chọn một hàmϕ có tính chất như (1.4.1), với mỗi số dươngk ta định nghĩa dãy an(c, ξ, k;s) bới công thức
a0(c, ξ, k;s) = k−1ϕ(s).
Dễ dàng kiểm tra đượcan(c, ξ, k;s) là dÃy khụng tăng theoc, k và s, và là dãy khụng giảm theon.
Cho n → ∞ thì an(c, ξ, k;s) sẽ hội tụ đến hàm a(c, ξ, k;s) khụng tăng theo c, k và s. Từ bỉ đỊ 1.2 suy ra lim s→−∞a(c, ξ, k;s) =π1, lim s→+∞a(c, ξ, k;s) = 0, với c = c∗(ξ). (2.3.2) Sử dụng tính chất (1.2.5) thấy rằng mọi dãyQ[vn]vớivn 5 π1 trớch được một dãy conQ[vnk] hội tụ đều trờn một tập con bị chặn trongH.
Khi đó cho một số thựct có dãy ni sao cho dãy
Q[ani(c, ξ, k;xãξ +t+c)](y)
hội tơ đỊu với trong một tập con bị chặn trongH.
Cho dãyan khụng tăng theo n, và Q là bảo toàn thứ tự, suy ra dãy
Q[an(c, ξ, k;xãξ +t+c)](y)
hội tơ đỊu trờn một tập con bị chặn trongH.
Từ tính chất củaQ, và (2.3.1) thấy rằng với mỗitdãy an(c, ξ, k;yãξ+t)
hội tơ đếna(c, ξ, k;yãξ+t) đều với mỗi y trong một tập con bị chặn trongH. Từ chứng minh phõn trước thỡa(c, ξ, k;yãξ+t) là một hàm liờn tục theo
y trên H.
Từ tính chất (1.2.1v) củaQ và từ (2.3.1) ta có
Chọny0 ∈ H sao cho y0ãξ > 0cho mọi số tự nhiênl vàc = c∗(ξ) ta xỏc định dãy bởi
Kk(l) = 1
2[a(c, ξ, k;ly0 ãξ) +a(c, ξ, k; (l+ 1)y0 ãξ)]. (2.3.4) Thì Kk(l)là một dÃy khụng tăng theol, Kk(−∞) = π1, và Kk(+∞) = 0và a
là một hàm giảm từπ1 đến 0, khi s tăng từ đến +∞.
Kk(l)−Kk(l−1) = 1
2[a(c, ξ, k; (l+ 1)y0ãξ)−a(c, ξ, k; (l−1)y0ãξ)] 5 1
2π1.
Chọn một số tự nhiênlk sao cho
1
4π1 5 Kk(lk) 5 3
4. (2.3.5)
Ta xét dãy a(c, ξ, k;xãξ +lky0 ãξ), k = 1,2, ...
Từ (2.3.3) và tớnh chất (1.2.5) ta cú một dÃy con cỏc số tự nhiênki sao cho a(c, ξ, ki;xãξ +kiy0 ãξ) hội tụ đều với trờn một tập con bị chặn trongH
tới một hàm W(xãξ) xỏc định trongH.
Với mỗi dÃy con trớch được một dãy conk0i sao cho
a(c, ξ, k0i;xãξ +lk0
iy0 ãξ +c)
hội tụ đều trờn một tập con bị chặn trongH tới hàm W(xãξ + c). Chọn một dãy conki(m) khác, sao cho
a(c, ξ, ki(m);xãξ + lk(m)
i
y0 ãξ +mc)
hội tụ đều một tập con bị chặn trong H tới hàm W(x ã ξ + mc) với mọi số dương m.
Chọn một dãyki hội tơ đỊu cho mọim. Vì sự hội tụ đều trờn tập bị chặn trongH, lấy giới hạn trong (2.3.3) vớik = ki và s = yãξ+lkiy0ãξ−(n+ 1)c,
ta tỡm được
Vậy
un = W(xãξ −nc)
là nghiệm súng chạy của phương trình
un+1 = Q[un].
Từ định nghĩa (2.3.4) ta thấy rằng dãyKki(lki) hội tơ đến
1 2[W(0) +W(y0 ãξ)] = W(y0 ãξ). Từ (2.3.5) khi đó W(y0 ãξ) = 3 4π1. Từ kết quả định lý (2.2) suy ra W(−∞) = π1
vàW(s) khụng là hàm hằng. Vìa là một hàm khụng tăng theos, suy ra W(s)
là hàm khụng tăng theo s. W(s) có giới hạn khi s → ∞. Từ (2.3.6) cho
n→ −∞ thì
W(∞) = Q[W(∞)].
Biết rằngW(∞) là một điểm bất động của Qcú giỏ trị nhỏ hơn π1 và lớn hơn
Kết luận Với đề tài
"Sự tồn tại súng chạy trong mụ hỡnh rời rạc của cỏc quần thể sinh học"
luận văn đà làm rừ một số nội dung trong bài bỏo
" Long-time behavior of a class of biological models"
H. Weinberger, SIAM J. Math. Anal.,13 (1982), 353--396.
Trong thời gian tới chỳng tụi mong muốn tiếp tục làm rừ cỏc nội dung của cỏc bài bỏo của H. F. Wenberger.
Một hướng có thể nghiờn cứu sau đú là tỡm hiểu ứng dụng lý thut cđa Wenberger cho các lớp mụ hỡnh trong đú toỏn tử Q[u] cú thể khụng compact. Đõy là lớp mụ hỡnh cú rất nhiều ứng dụng.