Ví dụ 2.5.1. Cho ϕ là hàm đa điều hịa dưới liên tục Holder trong Cn. Xét miền sau
Ω = {z ∈ Cn : r(z) =|z1|2/α1 +|z2|2/α2 +. . .+|zn|2/αn+ϕ(z)<0}
trong đó αj >0, j = 1,2, . . . , n. Nếu ϕ ≡ −1 thì Ω là một miền Reinhardt mà được nhiều tác giả nghiên cứu. Bây giờ cho p là điểm biên bất kỳ. Khơng mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng pj 6= 0 nếu 1≤ j ≤ l và pj = 0 nếu j > l với số nguyên dương l. Chúng ta lấy một lân cận mở U của psao cho zj khơng triệt tiêu ở đó với 1 ≤j ≤ l. Với mỗi z ∈ Ω∩U ta có
−r(z) +|zj|2/αj > |z1/αj j |2 = |z1/αj j −p1/αj j |2+ 2 Rep1/αj j (z1/αj j −p1/αj j ) +|pj|2/αj với 1≤ j ≤ l. Đặt ρj(z) = ( r(z)− |zj|2/αjRep1/αj j (z1/αj j −p1/αj j ) +|pj|2/αj nếu 1≤ j ≤ l r(z)− |zj|2/αj nếu j > l. Chú ý rằng, r(z)− |zj|2/αj = |z1|2/α1+. . .+|zj−1|2/αj−1+|zj+1|2/αj+1+. . .+|zn|2/αn+ϕ(z). Từ đó, ta suy ra rằng ρj là đa điều hòa dưới trên Ω∩U với mỗij và thỏa mãn
ρj(z)≤ ( −|z1/αj j −p1/αj j |2 nếu 1≤ j ≤ l −|zj|2/αj nếu j > l.
Cho ρ= Pnj=1ρj. Thì ρ là hàm peak đa điều hòa dưới trên Ω∩U tại p và rõ ràng, nó là liên tục Holder trong U. Để có được hàm peak đa điều hịa dưới tồn cục, ta lấy ρ˜ = max{ρ,−δ} với hằng số cố định phù hợp δ > 0, và mở
rộng ρ thành hằng số −δ tại nơi nó khơng được định nghĩa. Như vậy Định lý 2.1.1 có thể áp dụng được.
Ví dụ 2.5.2. Cho Ω được định nghĩa như trên. Hơn nữa, chúng ta giả sử
0< αj ≤ 1 với mọi 1≤ j ≤ n. Cho p là điểm biên bất kỳ. Lưu ý rằng với bất kỳ z ∈ Ω, ta có
(−r(z) +|zj|2/αj)αj >|zj|2 =|zj −pj|2 + 2 Repj(zj −pj) +|pj|2,1≤ j ≤ n. Đặt
ρj,p = |pj|2 + 2 Repj(zj −pj)−(−r(z) +|zj|2/αj)αj.
Rõ ràng rằng hàm ρj,p là đa điều hịa dưới vì 0 < αj ≤ 1, và bất đẳng thức −ρj,p(z)> |zj −pj|2 đúng trên trên Ω. Vậy hàm ρp := Pnj=1ρj,p là hàm peak đa điều hòa dưới thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.3 bởi vìrlà liên tục Holder trong Cn. Định lý 2.1.3 được áp dụng.
Nhận xét 2.5.3. Nếu chúng ta cho ϕ≡ −1 trong ví dụ trên thì Ω lồi và hàm được xác định bởi ˜ r(z) = sup p∈∂Ω (ρp(z) +|z−p|2) ∗
(trong đó * thể hiện phép chính quy hóa nửa liên tục trên) là một hàm đa điều hòa dưới trên Ω với các điều sau đây đúng
(i) −CδΩα(z)≤ ˜r(z)< 0 khi α = min{α1, α2, . . . , αn}; (ii) ∂∂r˜≥ ∂∂|z|2 đúng theo nghĩa phân phối.
Dựa vào kết quả của Sibony, chúng ta có thể chặn dưới metric Kobayashi bởi C|X|/δΩα/2(z). Kết hợp một kết quả nổi tiếng rằng metric Caratheodory trùng
với metric Kobayashi trên các miền lồi cùng với thực tế là metric Bergman luôn luôn nhỏ hơn metric Caratheodory, ngay lập tức ta thu được một ước lượng chặt cho metric Bergman
Ví dụ 2.5.4. Diederich-Ohsawa thu được một ước lượng định lượng khoảng cách Bergman cho các miền giả lồi bị chặn trong Cn, trên đó có tồn tại một hàm trên lớp C∞ bị chặn, vét cạn (exhaustion), đa điều hòa dướiρ trên Ω sao cho 1 c1δ 1/c2 Ω (z)≤ −ρ(z)≤ c1δc2 Ω(z)
đúng với các hằng số thích hợp c1, c2 > 0. Với phương pháp chúng ta sử dụng
để chứng minh Định lý 2.1.1, điều kiện trên có thể bị làm yếu thành chỉ giả sử sự tồn tại của một hàm đa điều hòa dưới, vét cạn, bị chặn mà là liên tục Holder trên Ω.
Kết luận
Luận văn “Về ước lượng metric Bergman” đã giải quyết các vấn đề sau: Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích phức bao gồm các định nghĩa và một số ví dụ về hàm chỉnh hình, hàm song chỉnh hình, hàm điều hịa, hàm đa điều hịa, nhân Bergman, metric Bergman, các tính chất của metric Bergman, hàm peak chỉnh hình, hàm peak đa điều hòa dưới, miền giả lồi, miền lồi chặt.
Chương 2 được giành để trình bày kết quả về dáng điệu ở biên của metric Bergman cùng với kết quả về một số ước lượng L2 cho toán tử ∂.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Cơ sở lý thuyết hàm biến phức, NXB Đại học
quốc gia Hà Nội. Tiếng Anh
[2] Marek Jarnicki and Perter Pflug (1993), Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter.
[3] Piotr Jakóbczak and Marek Jarnicki (2016), Lecture on holomorphic func- tions of several complex variables, Jagiellonian University.
[4] B.-Y. Chen (2002), “Boundary behavior of the Bergman metric”, Nagoya Math. J., Vol. 168, pp. 27–40.
[5] Z. Blocki (2010), The Bergman kernel and metric, PHD course, Jagiel-