Trong phần này, chúng ta xét mơ hình cân bằng tối ưu, nó có thể được coi là trường hợp mở rộng của mơ hình độc quyền Nash - Cournot trong hệ thống mạng điện. Trong mơ hình cân bằng này, ta giả sử rằng có n cơng ty. Cơng ty thứ i có Ii đơn vị (miy) sản xuất điện. Ký hiệu x là vectơ với các tọa độ là xj là năng lượng sinh ra bởi đơn vị j. Chúng ta giả sử rằng giá điện pi(s) là
hàm affin tăng với s =
N P j=1
xj, trong đó N là tổng các nhà máy sản xuất điện, pi(s) =α−βis. Khi đó, lợi nhuận của cơng ty thứ i được tính theo cơng thức
fi(x) = pi(s)(X
j∈Ii
xj)−X
j∈Ii
cj(xj),
trong đócj(xj)là chi phí để sản xuất raxj của đơn vịj. Giả sử Ki là tập chiến lược của công ty thứ i, tức là điều kiện sau được thỏa mãn với mọi i
X
j∈Ii
xj ∈ Ki.
Khi đó, tập chiến lược của mơ hình là K := K1×K2× · · · ×Kn.
Trên thực tế, mỗi cơng ty tìm cách tối đa hóa lợi nhuận của mình bằng cách chọn mức sản xuất tương ứng theo giả định rằng việc sản xuất của các công ty khác đều là tham số đầu vào. Cách tiếp cận cho mơ hình này là dựa trên khái niệm cân bằng Nash.
Ta nhớ lại rằng điểm x∗ ∈ K = K1×K2 × · · · ×Kn là điểm cân bằng của mơ hình nếu
fi(x∗)≥ fi(x∗[xi]) ∀xi ∈ Ki ∀i= 1,2, . . . , n,
trong đó vectơ x∗[xi] viết tắt cho vectơ đạt được từ x∗ bằng cách thay thế x∗i với xi. Bằng cách đặt f(x, y) := ψ(x, y)−ψ(y, x) với ψ(x, y) := − n X i=1 fi(x[yi]), (2.27) bài tốn tìm điểm cân bằng Nash của mơ hình có thể viết biểu thức như sau
Tìm x∗ ∈K :f(x∗, x)≥ 0 ∀x∈ K. (EP) Ta mở rộng mơ hình cân bằng này bằng cách giả định thêm rằng để sản xuất điện, các đơn vị sản xuất sử dụng m−loại vật liệu. Kí hiệu al,j là số lượng của vật liệu thứ l (l = 1, m) để sản xuất một đơn vị điện bởi đơn vị sản xuất thứ j (j = 1, N). ĐặtA là ma trận với các phần tử là al,j. Khi đó, phần tử thứ
l của vectơ Ax là số lượng vật liệu thứ l để sản xuất x. Sử dụng vật liệu để sản xuất có thể gây ơ nhiễm môi trường mà các công ty phải trả chi phí mơi trường. Giả sử rằng g(Ax) là tổng chi phí mơi trường để sản xuất x. Câu hỏi đặt ra bây giờ là tìm x∗ sao cho đó là điểm cân bằng Nash với tối thiểu hóa chi phí mơi trường. Bài tốn này có thể biểu diễn như bài tốn cân bằng tách như sau
Tìm x∗ ∈ K : f(x∗, x)≥ 0 ∀x ∈K, g(Ax∗)≤ g(Ax) ∀x ∈ K. (SEO) Như thường lệ, ta giả sử rằng với mỗi j, chi phí sản xuất cj và chi phí mơi trườngg là các hàm lồi tăng. Giả thiết lồi ở đây có nghĩa là cả chi phí sản xuất và chi phí mơi trường để sản xuất ra một đơn vị điện năng đều tăng lên khi tăng số lượng điện sản xuất ra.
Với giả thiết lồi, khơng khó để thấy rằng bài tốn EP với f được cho bởi cơng thức (2.27) có thể biểu diễn như sau
Tìm x∗ ∈K :f(x∗, x) := B1x∗−a, x−x∗+ϕ(x)−ϕ(x∗)≥0 ∀x ∈ K, (2.28) trong đó a := (α, α, . . . , α)T, B1 := β1 0 0 . . . 0 0 β2 0 . . . 0 . . . . . . . 0 0 0 . . . βn , B1 := 0 β1 β1 . . . β1 β2 0β2 . . . β2 . . . . . . . βn βn βn . . . 0 , ϕ(x) := xTB1x+ n X j=1 cj(xj).
Chú ý rằng khi cj lồi, khả vi với mỗij thì bài tốn (2.28) là bất đẳng thức biến phân
Tìm x∗ ∈ K : DB1x∗−a+Oϕ(x∗), x−x∗E≥ 0 ∀x ∈K. (2.29) Tiếp theo, ta xét một ví dụ cụ thể. Giả sử có hai cơng ty điện lực. Cơng ty thứ nhất có hai nhà máy sản xuất điện, lần lượt là x1 và x2. Cơng ty thứ hai có một nhà máy sản xuất điện là x3. Hàm chi phí lần lượt là
c2(x2) = x22−x2, c3(x3) = x23,
trong đó x1, x2 ∈ K1 = [0,10], x3 ∈ K2 = [5,15]. Chọn α = 100 và các hệ số giảm giá βj =β = 0.1, j = 1,3. Khi đó, hàm giá được xác định như sau
p(x1, x2, x3) = 100−0.1(x1+x2+x3). Do đó, lợi nhuận của hai cơng ty được tính theo cơng thức
f1(x1, x2, x3) = [100−0.1(x1+x2+x3)](x1+x2)−(2x21+x22−x2), f2(x1, x2, x3) = [100−0.1(x1+x2+x3)]x3 −x23.
Giả sử a1j, j = 1,3 là lượng than để sản xuất một đơn vị điện ở nhà máy thứ j. Đặt
A = ha11 a12 a13
i
.
Khi đó, tổng số lượng than cần dùng để sản xuất ra x1+x2+x3 đơn vị điện được xác định bởi biểu thức
Ax =ha11 a12 a13i
x1 x2 x3 =a11x1+a12x2+a13x3.
Đặt g(u) := τ u2, τ >0 là chi phí mơi trường khi dùng một lượng than là u để sản xuất điện. Do đó, tổng chi phí mơi trường để sản xuất x= x1+x2+x3 được tính như sau
g(Ax) =τ(a11x1+a12x2+a13x3)2.
Bài tốn đặt ra tìm x∗ ∈ K = K1×K2 ×K3 sao cho
Kết luận
Luận văn này đề cập đến những vấn đề sau:
1. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, tập lồi, hàm lồi và tốn tử chiếu trong khơng gian Hilbert.
2. Tìm hiểu về bài tốn cân bằng với lớp các bài toán con và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
3. Trình bày lại chi tiết về thuật tốn và ứng dụng trong thị trường điện của bài toán cân bằng tách.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Việt Anh,Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán chấp nhận tách suy rộng, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội (2018).
[2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học và Kỹ thuật
Hà Nội (2000).
[3] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dững Mưu, Nguyễn Hữu Điển Nhập môn giải tích ứng dụng, NXB Khoa học Tự nhiên và Cơng nghệ (2015).
[4] Hồng Tụy, Lý thuyết tối ưu, Viện Tốn học (2006).
[5] Đặng Xuân Sơn, Một số phương pháp giải bài toán cân bằng tách suy rộng,
Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội (2018).
[6] Yen, L.H., Muu, L.D., Huyen, N.T.T., An algorithm for a class of split feasibility problems: application to a model in electricity production, Math-