3 Quá trình Markov
3.2 Sự tồn tại của một bản sao chính tắc
Trong mục này chúng ta cho thấy rằng đối với một hàm chuyển (Pt) và độ đo xác suất ν trên một khơng gian đo được (E,E), chúng ta có thể xây
dựng một q trình Markov chính tắcX cóν như phân phối ban đầu và(Pt)
Một q trình E giá trị có thể được xem như là phần tử ngẫu nhiên của không gian ER+ các hàm E- giá trị trên R+. Nhớ lại rằng một tập hợp con
A ⊆ER+ được gọi là tập trụ nếu nó có dạng
A= {f ∈ ER+ : f(t1) ∈ E1, ..., f(tn) ∈ En}
đối với một số t1, ..., tn ≥ 0 và E1, ..., En ∈ E. σ-đại số tích ER+ trên ER+
được định nghĩa làσ-đại số nhỏ nhất, chứa tất cả các tập trụ. Một cách tương
đương, nó là σ-đại số nhỏ nhất làm cho tất cả các hình chiếu ER+ →R cho bởi f 7→ f (t) là đo được. Bây giờ chúng ta xác định Ω = ER+ và F = ER+
và trên (Ω,F) chúng ta xem xét quá trình X = (Xt)t≥0 định nghĩa bởi
Xt(ω) = ω(t), ω ∈ Ω.
Được xem như một ánh xạ từ Ω → ER+, X chỉ đơn giản là ánh xạ đồng nhất. Đặc biệt, X là một ánh xạ đo được (Ω,F) → ER+,ER+. Khi đó với mọi t ≥ 0, Xt là một ánh xạ đo được (Ω,F) → (E,E). Do đó, X là một q trình ngẫu nhiên E-giá trị trên (Ω,F) theo nghĩa của định nghĩa 1.1.1. Tuy nhiên lưu ý rằng chúng ta chưa xác định được một độ đo xác suất trên
(Ω,F).
Định nghĩa 3.2.1. Quá trình X được gọi là q trình chính tắc trên ER+,ER+. Trong chương 1 chúng tơi trình bày (khơng có chứng minh) định lý nhất quán của Kolmogorov (xem Định lý 1.2.3). Phát biểu là với mọi tập nhất quán của các độ đo xác suất (xem Định nghĩa 1.2.2) tồn tại một không gian xác suất nhất định và một q trình trên khơng gian này có những độ đo xác suất này như fdd của nó. Tại thời điểm này chúng ta cần kết quả sau mạnh
hơn kết quả này.
Định lí 3.2.2. (Định lý nhất quán của Kolmogorov).
Giả sử E là một không gian Polish và E là σ-đại số Borel của nó. Với mọi t1, ..., tn ≥ 0, cho µt1,...,tn là một độ đo xác suất trên (En,En). Nếu các độ đo
µt1,...,tn tạo thành một hệ thống nhất quán, khi đó tồn tại một độ đo xác suất P trên không gian đo được ER+,ER+. Sao cho đối với P, q trình chính tắc X trên ER+,ER+ nhận độ đo µt1,...,tn như fdd của nó.
Từ lúc này, chúng ta giả thiết (E,E) là một không gian Polish, trang bị
σ-đại số Borel. Chúng ta có kết quả về sự tồn tại của quá trình Markov với
một hàm chuyển và phân phối ban đầu cho trước.
Hệ quả 3.2.3. Cho (Pt) là một hàm chuyển trên (E,E) và ν là một độ đo xác suất trên (E,E). Khi đó tồn tại một độ đo xác suất duy nhất Pν trên
(Ω,F) = ER+,ER+ sao cho đối với Pν, q trình chính tắc X là một q trình Markov đối với bộ lọc tự nhiên FX
t của nó, và với phân phối ban đầu ν. Chứng minh. Với mọi 0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn ta định nghĩa độ đo xỏc sut trờn (En+1,En+1) bi
àt0,t1,...,tn(A0 ìA1ì...ìAn) =v1A0Pt1t01A1...Ptntn11An.
Cho tựy ý t1, ..., tn ≥ 0, cho π là một hoán vị của {1, ..., n} sao cho tπ(1) ≤ · · · ≤ t(n) v nh ngha
àt1,...,tn(A1 ì...ìAn) = àt(1),...,t(n) A(1)ì...ìA(n).
Khi ú theo cách dựng, độ đo xác suất µt1,...,tn thỏa mãn điều kiện (i) của Định nghĩa (1.2.2). Theo phương trình Chapman-Kolmogorov chúng ta có
Ps1EPt = Ps+t với mọi s, t ≥ 0. Từ thực tế, khi đó điều kiện (ii) cũng được
thỏa mãn, nên, độ đo µt1,...,tn tạo thành một hệ thống thuần nhất. Do đó, theo định lý nhất quán của Kolmogorov tồn tại một độ đo xác suất Pν trên
(Ω,F) = ER+,ER+. Sao cho đối với Pν, q trình chính tắc X có độ đo
µt1,...,tn như fdd của nó. Đặc biệt, chúng ta có với 0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn và
A0, A1, ..., An ∈ E
Pν(Xt0 ∈ A0, ..., Xtn An) = àt0,t1,...,tn(A0ìA1 ì Ã Ã · ×An) = ν1A0Pt1−t01A1 · · · Ptn−tn−11An.
Theo Bổ đề 3.1.4 suy ra X là Markov đối với bộ lọc tự nhiên của nó.
Xét một hàm chuyển cho trước (Pt) trên (E,E) một lần nữa. Với x ∈ E,
lấy δx là độ đo Dirac tập trung tại điểm x. Theo Hệ quả 1.3.4 có tồn tại một độ đo xác suất Pδx sao cho đối với độ đo này, q trình chính tắc X có δx
như phân phối ban đầu. Trong phần còn lại của ghi chú này, chúng ta chỉ viết đơn giản Px thay vì Pδxvà kỳ vọng tương ứng được ký hiệu là Ex. Từ Px(X0 = x) = 1 ta nói rằng đối với Px, q trình X bắt đầu từ x. Cũng lưu ý rằng với mọi x ∈ E và A∈ E,
Px(Xt ∈ A) = Z
Đặc biệt, ánh xạ x 7→Px(Xt ∈ A) là đo được với mọi A∈ E. Nó được tổng quát hóa trong bổ đề sau đây.
Bổ đề 3.2.4. Cho Z là một biến ngẫu nhiên FX
∞ đo được, khơng âm hoặc bị chặn. Khi đó, ánh xạ x 7→ ExZ là đo được và
EνZ =
Z
ν(dx)ExZ
với mọi phân phối ban đầu ν.
Chứng minh. Có thể dễ dàng thấy rằng lớp
S = {Γ ∈ FX
∞ : x 7→ Ex1Γ là đo được và Eν1Γ =
Z
ν(dx)Eν1Γ}
là một lớp đơn điệu của các tập con của FX
∞. Cho G ∈ FX
∞ là lớp của các hình chữ nhật dạng {Xt1 ∈ A1, ..., Xtn ∈ An}. Sử dụng Bổ đề 3.1.4, dễ thấy
rằng G ⊆ S. Vì G là đóng đối với giao hữu hạn, khi đó :
FX
∞ = σ(G) ⊆S,
theo định lý lớp đơn điệu (xem phụ lục). Vì vậy, đối với mỗi Γ ∈ FX
∞, khẳng định của bổ đề là đúng đối với biến ngẫu nhiên Z = 1Γ. Bởi một lập luận xấp xỉ tiêu chuẩn suy ra khẳng định là đúng cho mọi biến ngẫu nhiênZ không âm hoặc bị chặn FX
∞- đo được.
Đối với t ≥0ta định nghĩa toán tử chuyển θt :ER+ → ER+ bởiθtf (s) =
f (t+s).Vì vậy, θt chỉ cắt một phần của quỹ đạo của f trước thời điểm t và thay đổi phần còn lại về gốc. Rõ ràng, θt ◦ θs = θt+s và mỗi θt là ER+- đo được. Sử dụng các tốn tử chuyển, chúng ta có thể xây dựng các tính chất Markov như sau.
Định lí 3.2.5. Cho Z là một biến ngẫu nhiên FX
∞ - đo được, khơng âm hoặc bị chặn. Khi đó với mọi t > 0 và ν là phân phối ban đầu,
Eν(Z ◦θt|FX
t ) =EXtZ Pν −h.c.c
Trước khi chúng ta chuyển sang các chứng minh, ta nhận xét rằng vế phải của biểu thức nên được coi là đánh giá tại điểm (ngẫu nhiên) Xt của hàm
Chứng minh. Chúng ta phải chứng minh rằng A ∈ FX t Z A Z ◦θtdPv = Z A EXtZdPv.
Theo các lập luận xấp xỉ thông thường chỉ cần chứng minh rằng đẳng thức của A có dạng A= {Xt0 ∈ A0, ..., Xtn ∈ An} với 0 = t0 < ... < tn = t và Z có dạng Z = m Y i=1 fi(Xsi),
cho s1 ≤ ... ≤sm và hàm fi cho trước không âm, đo được. Trong trường hợp này vế trái bằng Ev n Y j=0 1Aj Xtj m Y i=1 fi(Xt+si). Theo Bổ đề 3.1.4, vế phải bằng Ev n Y j=0 1Aj Xtj Ps1f1Ps2−s1f2...Psm−sm−1fm(Xt).
Sử dụng Bổ đề 3.1.4 lần nữa chúng ta thấy rằng hai biểu thức bằng nhau.