4 ĐỊNH LÝ KWAPIEN
4.2 Tốn tử tuyến tính dương trong độ đo đại số nửa hữu hạn
hữu hạn
Bây giờ ta đi đến một kết quả sâu sắc nhất của phần này liên quan đến tốn tử tuyến tính dương từ L0(A) → L0(B), ở đây B là độ đo đại số. Trước tiên ta sẽ tiếp cận qua một vài bổ đề quan trọng. Sau đây ta có định nghĩa rất hữu ích.
Định nghĩa 4.2.1. Cho A,Blà đại số Bool. Ta nói rằng hàm φ :A→B làδ đồng cấu dưới nếu
φ(a∪a0) =φ(a)∪φ(a0),∀a, a0 ∈A
inf
n∈Nφ(an) = 0
Với (an)n∈
N là dãy không tăng trong A với inf = 0.
Bổ đề 4.2.2. Cho A,B là đại số Boolean và φ :A→B là δ đồng cấu dưới a) φ(0) = 0, φ(a)⊆φ(a0), a⊆a0
b)Nếu µ, ν là độ đo sao cho (A, µ),(B, ν) là độ đo đại số hồn tồn hữu hạn thì ∀ε >0,
có δ >0 sao cho νφ(a)≤ε, µ(a)≤δ.
Chứng minh
a)∀an = 0, theo định nghĩa trên infφ(0) = 0 ⇒φ(0) = 0, hai đẳng thức là hệ quả trực
tiếp của đẳng thức trước.
b) Đối chiếu mệnh đề 1.5.2, giả sử ngược lại. Khi đó, với mọi n ∈ N có an ∈ A sao cho
µan ≤2−n, νφ(an)≥ε.
Tập cn = supi≥nai,∀n thì (cn)n∈
N là dãy khơng tăng và có inf = 0 (từ µcn ≤2−n+1,∀n)
nhưngνφ(cn)≥ε,∀n.
Như vậy, inf
n∈Nφcn6= 0.
Bổ đề 4.2.3. Cho (A, µ),(B, ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn và φ : A → B là δ đồng cấu dưới. Thì ∀b0 ∈B, b0 6= 0 có b⊆ b0, b 6= 0 và m∈ N sao cho b∩ inf
j≤m
φ(aj) = 0
với a0, a1, ....., am ∈A rời nhau.
Chứng minh
Giả sử rằngA là phi nguyên tử và µ1 = 1.
Tậpε= 15νb0 và cho m≥1 sao cho νφ(a)≤ε, µa≤ 1 m. Chúng ta cần biết: 1− 1 m m ≤ 1 2 (vì nếu m≥2: lnm−ln(m−1)≥ 1 m ⇔m.ln(1− 1 m)≤(−1)≤(−ln 2)). ĐặtC = inf j≤mφ(aj) :a0, a1, ...., am ∈Arời nhau . Giả sử rằngb0 ⊆supC. Thì cóc0, c1, ...., ck ∈C sao cho ν b0∩sup i≤k ci ≥4ε.
Mỗii≤k chọn dãy rời nhauai0, ...., aim ∈A sao cho ci = inf
j≤mφ(aij).
Cho D là nguyên tử của đại số con hữu hạn của A sinh bởi {aij :i≤k, j ≤m} thì D là phân hoạch đơn vị hữu hạn trong A, mọi aij là các phần tử rời nhau của D.
Tậpp= # (D) và mỗi d∈D lấy cực đại của tập rời nhauEd⊆ne:e⊆d, µe= pm1 o.
µ(d\supEd)< pm1 . Tập d∗ = sup( S1
d∈D
Ed) = sup
d∈D
(d\supEd).
µd∗ là bội của 1/pm và nhỏ hơn 1/m. Cho E* là độ đo tập các phần tử rời nhau của
1±S
d∗ và lấy E =E∗∪ S
d∈D
∀i≤k, j ≤m K={K :K ⊆E,# (K) = p}, M = # (K) = p!(mp−p)!(mp)! ∀K ∈ K, µ(supK) = m1, νφ(supK)≤ε. Chúng ta có tập v = P K∈K χφ(supK),R v ≤εM. Mặt khác:ν b0∩sup i≤k ci ≥4ε, νφ(d∗)≤ε νb1 ≥3ε với b1 =b0∩supci i≤k \φ(d∗). Tương tự:R v ≤ 1 3M νb1 và b2 =b1∩ v < 12M6= 0. Vìb2 ⊂b1, có i≤k sao cho b2∩ci 6= 0 b2∩ci ⊆ci\φ(d∗) = inf j≤mφ(aij)\φ(d∗)⊆ inf j≤mφ(aij\d∗) Nhưng ∀aij\d∗
là hợp nối các phần tử chứa trong E.
b2 ∩ci ⊆infφ(aij\d∗)⊆infφ(sup{e:e∈E, e⊆aij}) = inf sup{φ(e) :e∈E, e⊆aij}
= sup{infφ(ej) :e0, e1, ...., em ∈E, ej ⊆aij,∀j}
Có e0, e1, ..., em ∈ E sao cho ej ⊆ aij mỗi j và b3 =b2∩ inf
j≤mφ(ej) 6= 0. Vì ai0, ...., aim là rời nhau, e0, ......, em là khác nhau.
ĐặtJ ={e0, ......, em}. Thì bất kỳK ∈ Kvà K∩J 6=∅ , b3 ⊆φ(supK). Vậy chúng ta sẽ tính độ lớn củaK1 ={K :K ∈ K, K∩J 6=∅}. Điều này M − p!(mp−p−m−1)!(mp−m−1)! =M 1− (mp−p)(mp−p−1)...(mp−p−m)mp(mp−1)...(mp−m) ≥M 1−mp−pmp m+1 ≥ 1 2M Nhưng nghĩa là b3 ⊆ v ≥ 1 2M trong khi b3 ⊆ v < 12M. Suy ra mâu thuẫn.
Vậy b0 6⊂supC và chúng ta lấy b=b0\supC.
b)Bây giờ chúng ta chứng minh cho trường hợp tổng quát
Cho A là tập nguyên tử củaA và d= sup1A thì Ad là phi nguyên tử, vậy là có b1 ⊆b0,
b1 6= 0, n∈N sao cho b1∩ inf
j≤nφ(aj) = 0, a0, ...., an ∈Ad là rời nhau. Thật vậy
Nếuµd >0 từ a) chúng ta áp dụng cho φ[Ad] và (µd)−1µ\Ad.
Nếuµd= 0 thì chúng ta có thể chọn b1 =b0, n = 0.
Cho δ >0sao cho νφ(a)< νb1, µa≤δ.
d∗ = sup (A\A1) thì µd∗ ≤δ, b=b1\φ(d∗)6= 0.
Với m=n+r.
Nếua0, ...., am là rời nhau thì có nhiều nhất r thành phần bằng supA1.
Chúng ta có thể giả sử rằnga0, ...., an là rời nhau trong trường hợp aj\d∗ ⊆dmỗij ≤m,
(b∩φ(d∗) = 0).
Nhưng trong trường hợp này:b∩ inf
j≤mφ(aj)⊆b∩inf
j≤nφ(aj) =b∩ inf
j≤nφ(aj∩d) = 0.
Chọn được n vàb1.
Như vậy trong trường hợp tổng quát chúng ta có thể tìm được b và m thích hợp.
Bổ đề 4.2.4. Cho (A, µ),(B, ν) là độ đo đại số hữu hạn hoàn toàn và φ : A → B là δ đồng cấu dưới thì ∀b0 ∈B, b0 6= 0 ,có b⊆b0, b6= 0 và phân hoạch đơn vị hữu hạn C ⊆A
sao cho a7→b∩φ(a∩c) là đồng cấu vành ∀c∈C.
Chứng minh
Từ bổ đề 4.2.3 chúng ta tìm m,b1sao cho06=b1 ⊆b0vàb1∩inf
j≤mφ(aj) = 0vớia0, ....., am ∈
Alà rời nhau.
Nếu m = 0 thìb1∩φ(1) = 0. Như vậy, chúng ta cần lấy b=b1, c ={1}.
Mặt khác, vì m là cực tiểu nên có các c1, ..., cm ∈A rời nhau sao cho
b=b1∩ inf
1≤j≤mφ(cj)6= 0.
Tậpc0 = sup1
1≤j≤m
cj với C ={c0, ..., cm} thì C là phân hoạch đơn vị trongA.
Tậpπj(a) =b∩φ(a∩cj) mỗi a∈A, j ≤m thì chúng ta ln có:
πj(a∪a0) = πj(a)∪πj(a0),∀a, a0 ∈A.
Vìφ là đồng cấu con, ta thấy ∀πj là đồng cấu vành. Chúng ta chỉ cần kiểm tra: πj(a∩a0) = 0, a∩a0 = 0.
Trong trường hợp j=0, chúng ta có π0(a) = 0,∀a vì b∩φ(c0) = b1∩ inf
0≤j≤mφ(cj) = 0.
Chọn được b1 và m.
Khi1≤j ≤m nếu a∩a0 = 0 thì πj(a)∩πj(a0) =b1∩ inf
1≤i≤m,i6=jφ(cj)∩φ(a)∩φ(a0)6= 0
(Vìa, a0, c1, ...., cj−1, cj+1, ..., cm rời nhau). Như vậy chúng ta có cặp b,c thích hợp.
Ta có định lý quan trọng Kwapien.
Thì chúng ta có thể tìm được B và(Ab)b∈B sao cho B là phân hoạch đơn vị trong B, mỗi
Ab là phân hoạch đơn vị hữu hạn trong A và u 7→T (u×χa)×χb là đồng cấu Riesz với mọi b∈B, a∈Ab.
Chứng minh
a) Viết B* cho tập các phần tử tiềm năng (potential members) của B, tức là có b ∈ B
sao cho có phân hoạch đơn vị hữu hạn A⊆Asao cho Tab là đồng cấu Riesz.
∀a∈A:Tab(u) =T (χa)×χb
Nếu ta có thể thấy rằng B* là đóng có thứ tự trongB, điều này sẽ đủ để đáp ứng, vì sau
đó nó sẽ là phân hoạch đơn vị của B ⊆B∗.
b) Chob0 là phần tử khác 0 củaB. Ta đi tìm phần tử khác 0 của B* chứa b0. Tuy nhiên, cób1 ⊂b0, b1 6= 0 với νb1 <∞.
Cho γ >0 sao cho b2 =b1∩[[T (χ1)≤γ]]là khác 0. Định nghĩa
µ: A → [0,∞) cho bởi µa = R
b2
T(χa) với mọi a ∈ A. Thì µ là cộng tính đếm được (vì
χ, T,R
là cộng tính và dãy liên tục có thứ tự (do định lý 4.1.1)).
TậpN ={a :µa= 0}thì N làδ ideal củaAvà(E, µ)là độ đo đại số hữu hạn hồn tồn với E=A/N và àaã =µa,∀a∈A (mệnh đề 1.2.3).
c) Chúng ta có hàmφ:E→Bb2 (ideal chính) được xác định bởi:
φa• =b2∩[[T (χa)>0]],∀a∈A.
Thật vậy
Nếua1, a2 ∈Asao cho a•1 =a•2 trong E, có nghĩa là a1, a2 ∈ N:
[[T (χa1)>0]]M[[T (χa2)>0]]⊆[[|T (χa1)−T (χa2)|>0]]⊆[[T (|χa1−χa2|)>0]] = [[T χ(a1 Ma2)>0]]
Là rời nhau trênb2 (Vì R
b2
T χ(a1 Ma2) = 0).
Tương tự:b2∩[[T(χa1)>0]] =b2∩[[T (χa2)>0]]
Và chúng ta lấy được φ(a•1) = φ(a•2).
d) Bây giờ chúng ta chứng minhφ làδ -đồng cấu dưới. Thật vậy
i) Với a1, a2 ∈ A bất kỳ, chúng ta có [[T χ(a1∪a2)>0]] = [[T χ(a1)>0]]∪[[T χ(a2)>0]]
Như vậy: φ(c1∪c2) = φ(c1)∪φ(c2),∀c1, c2 ∈E
ii) Nếu (cn)n∈
N là dãy không tăng trongE với inf = 0, chọn an∈A sao cho a•n =cn,∀n.
Tập∼an= inf i≤nai\inf i∈Nai,∀n thì ∼ a•n =cn. Như vậy φ(cn) =hhT χ∼a>0ii,∀n. Trong khi ∼ an
n∈N là dãy không tăng và inf
n∈N ∼ an = 0. Giả sử rằngb0 = inf n∈Nφ(cn)6= 0. Tậpε= 12νb0 thì νb2∩hhT χa∼n>0ii≥2ε,∀n ∈N.
Mỗi n, lấyαn >0sao choνb2∩hhT χa∼n> αnii≥ε thìu= sup
n∈N nα−1χa∼n được xác định trongL0(A) (vìsup n∈N hh nα−1χa∼n > kii⊆a∼m nếu k≥max
i≤m iα−1i và inf
k∈Nsup n∈N hh nα−1n χa∼n > kii= 0 ). Nhưng ν(b2∩[[T u > n]])≥νb2∩hhTχa∼n> αnii≥ε,∀n và inf n∈N[[T u > n]]6= 0. Vô lý.
Như vậy, inf
n∈Nφ(cn) = 0 với (cn)n∈
N là tùy ý và φ là δ-đồng cấu dưới.
e) Từ bổ đề 4.2.4, có b ∈ Bb2, b 6= 0, c ∈ E là phân hoạch đơn vị hữu hạn sao cho
d7→b∩φ(d∩c)là đồng cấu vành. ∀C ⊆E có phân hoạch đơn vịA⊆A có độ lớn bằng C sao choC ={a• :a∈A}.
Thật vậy
Cần chứng minh Tab là đồng cấu Riesz với ∀a∈A.
Thật vậy
Ta có Tab là tốn tử tuyến tính dương. Nếuu1, u2 ∈L0(A) vàu1 ∧u2 = 0.
Tậpei = [[ui >0]] mỗi i, như vậye1∩e2 = 0. Để ý rằng ui = sup
n∈N ui∧nχei. Có [[Tabui >0]] = sup n∈N [[Tab(ui∧nχei)>0]] =b∩[[Tχ(ei∩a)>0]],∀i. Nhưng [[Tabu1 >0]]∩[[Tabu2 >0]]⊆b∩[[Tχ(e1∩a)>0]]∩[[Tχ(e2∩a)>0]] =b∩φ(e•1∩a•)∩φ(e•2∩a•) = 0 Vìa• ∈C, d7→φ(d∩a•) là đồng cấu vành. mà e•1∩e•2 = 0 và Tabu1∧Tabu2 = 0 u1,u2 bất kỳ và Tab là đồng cấu vành.
f, Như vậy: b∈B∗ , b0 tùy ý nên B* là trù mật có thứ tự. Ta có hệ quả trực tiếp của định lý trên.
Hệ quả 4.2.6.Cho Alà đại số Bool Dedekindδ đầy đủ và U là không gian Riesz Dedekind đầy đủ sao cho U× phân tách các điểm của U.
NếuT :L0(A)→U là tốn tử tuyến tính dương,khi đó có dãy (Tn)n∈
N của đồng cấu Riesz từ L0(A)→U sao cho T =
∞ P n=0 Tn. Nghĩa là T u= sup n∈N n P 0
Tiu với ∀u≥0 trong L0(A).
Chứng minh
Từ định lý 1.10.6, U được nhúng vào khơng gian con Riesz trù mật có thứ tự củaL0(B)
bởi độ đo đại số(B, ν), mà U là Dedekind đầy đủ nên U là tập cố thể trongL0(B). Lưu
ý rằng T là toán tử từL0(A)đến L0(B), và lấy B,(Ab)b∈B như trong định lý 4.2.5 Chú ý rằng L0(B) được xác định vớiQ
b∈BL0(Bb). Với mỗi b∈B cho fb :Ab →N là đơn ánh. Nếub ∈B và n∈fb[Ab], tập Tnb(u) =χb×T(χa).
Thì Tnb : L0(A) → L0(Bb) là đồng cấu Riesz. Vì Ab là phân hoach hữu hạn nên
∞
P
n=0
Tnbu=χb×T u,∀u∈L0(A).
Điều này có nghĩa là nếu chúng ta có tậpTnu=hTnbuib∈B thì ánh xạ
Tn:L0(A)→Q
b∈BL0(Bb)∼=L0(B)là đồng cấu Riesz với mỗi n. Và T =
∞
P
n=0
Tn.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này đã trình bày được ba định lý quan trọng: Định lý Maharam, đinh lý phép nâng và định lý Kwapien.
Luận văn đã nêu được các tính chất và các kiến thức có liên quan đến ba định lý trên. Mặc dù bản thân đã cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian, trình độ cũng như kinh nghiệm khoa học nên luận văn cịn nhiều thiếu sót. Cũng do khuôn khổ của luận văn mà nhiều vấn đề sâu, ứng dụng của ba định lý trên cịn hạn chế. Tơi hy vọng với sự đóng góp ý kiến quý báu của quý thầy cô giáo và bạn đọc, luận văn sẽ được hoàn thiện và phát triển hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2009) Lý thuyết xác suất, NXB Giáo Dục.
[2] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú ,Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp Hà Nội.
[3] Bellow A. and Kolzow D. (1975) Measure theory oberwolfach.
[4] Bourbaki N. (1968) General topology, Hermann Addison-wesley.
[5] Burke M.R Liftings for Lebesgue measure, in Judah.
[6] Burke M.R (1995) Consistent liftings Prirately, Circulated.
[7] Chacon R.V. and Krenge U. (1964) Linear modulus of a linear operator,
Proc.Amer.Math.Soc.
[8] Fremlin D.H. (1974) Topological Riesz space and measure theory ,Cambridge U. P. [9] Fremlin D.H. (1974) A charaterization of L-space, Indag. Math
[10] Fremlin D.H. (2000),Measure theory, volume 1: The Irreducible Minimum, in Monk.
[11] Fremlin D.H. (2001),Measure theory, volume 2: Broad Foundations, in Monk.
[12] Fremlin D.H. (2002),Measure theory, volume 3: Measure Algebras, in Monk.
[13] Machera N.D and Strauss W. (1996) On products of almost strong liftings,
J.Australian Math Soc.