1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản
1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder
Định lý 1.5.8. Định lý xấp xỉ các toán tử compact
Giả sử X, Y là các không gian Banach, M là một tập con bị chặn của
X. T :X →Y là ánh xạ đã cho. Khi đó T là compact khi và chỉ khi các
điều kiện sau thỏa mãn:
Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn :M → Y sao cho:
sup
x∈M
||T(x)−Pn(x)|| ≤1/n
và
dim(span{Pn(M)}) < ∞
Trước khi chứng minh ta nhớ lại tính chất sau của các tập compact tương đối trong không gian Banach.
Giả sửM ⊂ X, X là một không gian Banach. Tập các điểmx1, x2, . . . , xn ∈ M được gọi là một − lưới cho tập M, nếu với mọi x ∈ M, tìm được xi sao cho ||x−xi|| < . Dễ thấy tập các điểm {xi : i = 1, . . . , n} là một − lưới cho tập M khi và chỉ khi
min
i ||x−xi|| < .với mỗi x ∈ M Tính chất 1.5.9.
M là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu với mỗi > 0 tồn tại một
− lưới cho tập M
Chứng minh.
(⇒) Giả sử T là compact. Khi đó T(M) là tập compact tương đối. Vậy với mỗi n tồn tại các phần tử yi ∈ T(M), i= 1, . . . , N sao cho:
min
i ||T x−yi|| < 1/n,∀x ∈ M (1.16) Ta xây dựng toán tử sau (gọi là tốn tử Schauder):
Pn(x) := N P i=1 ai(x)yi N P ai(x) (1.17)
trong đó ai(x) := max(n−1− ||tx−yi||,0). Khi đó tốn tử này thỏa mãn
các kết luạn của định lý. Thật vậy, do (9.1.2), các hàm liên tục ai không đồng thời triệt tiêu với mỗi x ∈ M, ta có:
||Pn −T x|| = P i ai(x)(yi −T x) P i a(x) ≤ P i ai(x)n−1 P i a(x) ≤n−1,∀x ∈ M
Từ tính bị chặn của T(M) suy ra Pn(M) cũng bị chặn. Vì vậy Pn(M)
nằm trong một không gian hữu hạn chiều nên Pn(M) là tập compact tương đối. Vậy toán tử Pn là compact.
⇐ Giả sử (1.1) đúng. Nhận xét rằng toán tử T là giới hạn đều của các toán tử liên tục Pn, do đó nó cũng liên tục hoặc từ (9.1.1), ta có:
||T x−T y|| ≤ ||T x−Pnx||+Pnx−Pny||+Pny −T y|| ≤ 1/n+||Pnx−Pny||+ 1/n < 3
với n đủ lớn và ||x−y|| < δ(). Hơn nữa, T(M) là compact tương đối, vì từ (1.1) ta suy ra rằng với mỗi n∈ N, tập compact tương đối Pn(M)
có một 1/n- lưới hữu hạn và vì vậy tập T(M) có một 2/n-lưới hữu hạn. Định lý được chứng minh.
Định lý 1.5.10. Schauder, 1930
Giả sử M là tập lồi, compact khác rỗng của một không gian Banach X.
Giả sử T : M →M là ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Chứng minh.
Đặt Mn := conv({y1, . . . , yN}), trong đó yi và Pn được chọn tương tự như trong (9.1.2), (9.1.3). Do M là tập lồi nên
Mn ⊆ conv(T(M)) ⊆ M. Do đó
là ánh xạ liên tục. Hơn nữa, Mn là tập lồi, compact, và Mn ⊆RN. Chú ý rằng ta đã đồng nhất span{y1. . . , yN} với một không gian con của RN. Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại một điểm bất động
xn = Pn(xn),với xn ∈ Mn ⊆ M.
Vi M là compact nên tồn tại một dãy con hội tụ, vẫn kí hiệu là (xn)
(nếu khơng gây nhầm lẫn) sao cho xn → x khi n→ ∞. Điểm x chính là điểm bất động của ánh xạ T vì ||xn −T x|| ≤ ||Pnxn −T xn||+||Tnx−T x|| ≤ 1/n+||T xn −T x|| Cho n → ∞ ta được x = T x Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.5.11.
Giả sửM là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không gian Banach
X. Giả sử T : M → M là tốn tử compac. Khi đó T có điểm bất động.
Chứng minh.
Đặt A := conv(T(M)). Khi đó A ⊆ M và tập A là lồi, compact. Hơn nữa, T(A) ⊆ A. Do đó hạn chế
T : A →A
có điểm bất động (do định lý 9.1) và vì vậy T có điểm bất động Hệ quả được chứng minh.
Chú ý 1.5.12.
Người ta có thể chứng mịnh trực tiếp hệ quả này bằng cách sử dụng định lý xấp xỉ các toán tử compact.
Thật vậy, lấy u0 ∈ M. Nếu cần, thay u bởi u − u0, ta có thể giả sử 0 ∈ M. Từ định lý xấp xỉ các toán tử compact ta suy ra với mỗi n = 1,2, . . . , tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Xn của X và một toán tử liên tục
Pn : M →Xn sao cho
||T u−Pnu|| ≤ 1
Đặt Mn := Xn∩M. Khi đó Mn là tập con lồi, đóng, bị chăn của Xn với
0 ∈ Mn và Pn(M) ⊆ conv(T(M)) ⊆ M, vì M là tập lồi. Theo định lý Brouwer, tốn tử Pn :Mn → Mn có điểm bất động un, nghĩa là:
Pnun = un, un ∈ MN, với mỗi n= 1,2, . . .
Từ bất đẳng thức trên ta có ||T un−un|| ≤ 1
n, với mỗi n= 1,2, . . .
Vì Mn ⊆ M với mỗi n, dãy (un) bị chặn. Từ tính compact của T ta suy ra tồn tại một dãy con, vẫn kí hiệu là (un), sao cho T un → v khin → ∞. Từ bất đẳng thức thứ hai ta có
||v −un|| ≤ ||v−T un||+||T un−un|| → 0, khi n→ ∞.
Do đó, un → v khi n → ∞. Vì T un ∈ M với mỗi n và tập M đóng nên v ∈ M. Cuối cùng, vì tốn tử T : M → M liên tục nên T v = v, v ∈ M.