2.3 Xác định bậc của mơ hình ARMA bằng ACF và PACF
2.3.2 PACF: Hàm tự tương quan riêng
Trước hết, ta xét mơ hình nhân quả AR(1) Xt =φXt−1+εt Khi đó
γ(2) =cov(Xt, Xt−2) =cov(φXt−1+εt, Xt−2) =cov(φ2Xt−2+φXt−1+εt, Xt−2) =φ2γ(0)
DoXt−2 chỉ liên quan đến εt−2, εt−3, ...và không tương quan vớiεt−1 và εt. Hệ số tương quan giữa Xt và Xt−2 khác 0 do Xt phụ thuộc vào Xt−2 thơng qua Xt−1 Ta có
cov(Xt−φXt−1, Xt−2−φXt−1) =cov(εt, Xt−2−φXt−1) = 0
Để định nghĩa hệ số tương quan riêng (PACF) cho chuỗi thời gian dừng, ta đặt xh−1h là hồi quy của Xh dựa trên Xh−1, ..., X1, nghĩa là
Xhh−1 =β1Xh−1+β2Xh−2+...+βh−1X1 (2.21) Do EXt = 0 nên trong (2.21) khơng có hệ số tự do.
Gọi X0h−1 là hồi quy của X0 dựa trên X1, ..., Xh−1, tức là
X0h−1 =β1X1+β2X2+...+βh−1Xh−1 (2.22) Có thể chứng minh rằng các hệ số β1, ..., βh−1 trong các phương trình (2.21) và (2.22) là như nhau.
Định nghĩa 2.3.1 Hệ số tương quan riêng (PACF) của quá trình dừng Xt ký hiệu là φhh, với h = 1,2, ..., là
φ11=cov(X1, X0) =ρ(1) Và
φhh =cov(Xh−Xhh−1, X0−X0h−1), h≥2
Chú ý rằng cảXh−Xhh−1 và X0−X0h−1 khơng tương quan vớiX1, X2, ..., Xh−1. Do tính dừng ta cóφhh chính là hệ số tương quan giữaXt vàXt−h sau khi loại bỏ phụ thuộc tuyến tính của Xt−1, Xt−2, ..., Xt−(h−1) tức là φhh là hệ số tương quan giữa Xt và Xt−h theo phân bố có điều kiện của (Xt, Xt−h) khi biết Xt−1, ..., Xt−(h−1). Ví dụ: Hệ số tương quan riêng của quá trình nhân quả AR(1)
Xét quá trình AR(1)
với |φ|<1.
Theo định nghĩa φ11 =ρ(1) = φ.
Để tính φ22, ta xét hồi quy của X2 theo X1 tức là
X21 =βX1 Ta chọn β cực tiểu
E(X2−βX1)2 =γ(0)−2βγ(1) +β2γ(0) Lấy đạo hàm theo β cho bằng 0 ta được β = γ(1)
γ(0) =ρ(1) =φ. Do đó X21 =φX1.
Xét hồi quy của X0 theo X1 tức
X01 =βX1 Ta chọn β cực tiểu
E(X0−βX1)2 =γ(0)−2βγ(1) +β2γ(0) Suy ra β=φ và do đó X01=φX1. Theo định nghĩa
φ22=corr(X2−φX1, X0−φX1) =γ(2)−2φγ(1) +φ2γ(0) = 0 Vì γ(h) =γ(0)φh. Do đó φ22= 0.
Ở ví dụ tiếp theo ta sẽ thấy rằng φhh = 0 với mọi h >1.
Ví dụ: Hàm tự tương quan của quá trình tự hồi quy nhân quả AR(p)
Xét quá trình tự hồi quy
Xt= p X
j=1
trong đó các nghiệm của φ(z) nằm ngồi hình trịn đơn vị. Nói riêng ta có Xh = p X j=1 φjXh−j +εh. Khi h > p, hồi quy của Xh theo Xh−1, Xh−2, ..., X1 là
Xhh−1 = p X
j=1
φjXh−j.
Ta thừa nhận kết quả này.
Từ kết quả này ta có khi h > p thì
φhh =corr(Xh−Xhh−1, X0−X0h−1) =corr(εh, X0−Xhh−1) = 0
Do tính nhân quả nên X0−X0h−1 chỉ phụ thuộc vào εh−1, εh−2, ... Khi h≤p thì φhh 6= 0 và φ11, ..., φp−1,p−1 không nhất thiết bằng 0.
Sử dụng các lệnh R sau ta có ACF và PACF của quá trình AR(2) (xem hình 2.1)
> acf =ARM Aacf(ar=c(1.5,−0.75), ma = 0.24)
> pacf =ARM Aacf((ar= 1.5,−0.75), ma= 0.24, pacf =T) > par(mf row =c(1.2))
> plot(acf, type=00h00, Xlab=00lag00) > abline(h= 0)
> plot(pacf, type=00h00, Xlab=00lag00) > abline(h= 0)
Hình 2.1: Đồ thị các hàm ACF và PACF của q trình AR(2)
Ví dụ: Hàm tự tương quan của quá trình M A(q) khả nghịch Với quá trình MA(q) khả nghịch ta có thể viết dưới dạng
Xt =−
∞
X
j=1
πjXt−j+εt.
Hơn nữa, biểu diễn hữu hạn khơng tồn tại, tức là khơng có πj = 0, ∀j ≥M. Do đó có thể thấy rằng hàm tự tương quan riêng PACF φhh không bằng 0 khi h đủ lớn như đối với quá trình AR(p).
Với quá trình M A(1)
Xt =εt+θεt−1 và |θ|<1. Tính tốn tương tự như ví dụ 2.10 ta có φ22 =− θ 2 1 +θ2+θ4 Tổng qt hơn φhh= (−θ) h(1−θ2) 1−θ2(h+1) , h≥1.
Như vậy dáng điệu của hàm tự tương quan riêng (PACF) của quá trình MA giống như hàm ACF của quá trình AR trong khi dáng điệu của hàm PACF của
quá trình AR giống như hàm ACF của quá trình MA.
Vì q trình ARMA khả nghịch có biểu diễn AR vơ hạn nên PACF khơng bằng 0 ở đi.
Ta có thể tổng kết các kết quả theo bảng sau:
Bảng 1: Dáng điệu của hàm ACF và PACF cho các quá trình ARMA khả nghịch, nhân quả
AR(p) MA(q) ARMA(p,q)
ACF Đi nhỏ Bằng 0 sau độ trễ p Đuôi nhỏ PACF Bằng 0 sau độ trễ p Đuôi nhỏ Đuôi nhỏ
Chương 3 Ứng dụng