Mơ hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy

Để đạt được các mơ hình thực tế hơn, các nhà nghiên cứu đã thêm các bước nhảy vào mơ hình Black – Scholes. Merton (1976) đã đề xuất rằng các biến động giá tài sản có thể được mơ hình như là q trình nhảy khuếch tán và quá trình các lợi tức của một tài sản có thể được tách thành ba phần, một phần trượt tuyến tính, một chuyển động Brown biểu diễn các biến động chuẩn, và quá trình Poisson phức hợp sinh ra một thay đổi không chuẩn (nhảy) trong các giá của tài sản theo thông tin. Tầm quan trọng của bước nhảy được xác định bởi sự lấy mẫu từ một biến ngẫu nhiên phân bố độc lập và đồng nhất (iid). Merton đã giả sử rằng các bước nhảy là có phân phối log chuẩn. Trường hợp đặc biệt này làm cho ước lượng và kiểm định giả thiết được dễ dàng và trở thành biểu diễn quan trọng nhất của quá trình nhảy khuếch tán. Hơn nữa, bằng cách thêm các bước nhảy không liên tục vào mơ hình Black – Scholes và chọn các tham số thích hợp của quá trình nhảy, các mơ hình bước nhảy log chuẩn sinh ra biến động nụ cười hay biến động lệch như được nói đến trong phần 2.1.2. Cụ thể, bằng cách đặt trung bình của quá trình bước nhảy là âm, các độ lệch ngắn hạn sẽ dễ dàng được nắm bắt. 3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn

Merton (1976) đã thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động Brown hình học chuẩn để xấp xỉ sự chuyển động của giá cổ phiếu thỉnh thoảng bị không liên tục

t

dS

dt dW kdq

S    (3.16)

trong đó dq là đếm Poisson với cường độ , tức là P dq 1dt và k là một kéo theo từ phân bố chuẩn, đặt ylog k , loga của cỡ bước nhảy có phân bố chuẩn:     2 2 2 1 exp 2 2 y g y              (3.17)

trong đó y là loga của cỡ bước nhảy,  là trung bình của phân phối loga cỡ bước nhảy,  là độ lệch chuẩn của phân phối loga cỡ bước nhảy.