3 NGUỒN ĐỒNG DƯ
3.1.3 Thuật toán xây dựng nguồn đồng dư
Cho m là số nguyên dương tùy ý không nhỏ hơn2, cònk là số nguyên bất kỳ
(0≤k ≤m−1). Cần xác định tập số nguyên dương mà mỗi số này khi chia cho
m có dư là k, tức ta cần xây dựng nguồn Imk. Ta dựa vào thuật toán chia Euclid để xác định đỉnh và cung của nguồn như sau:
1) Đỉnh: Lấy m+ 1 điểm khác nhau trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Thừa nhận một điểm tùy ý trong các điểm đã chọn làm đỉnh vào, ký hiệu bằng chữ v, đồng thời đặt trong khun trịn có mũi tên đi vào.
Các điểm còn lại ghi m số dư khác nhau 0,1,2, . . . , m−2, m−1 nhận được khi chia số tự nhiên cho m.
Đỉnh ghi số dư k được thừa nhận là đỉnh kết và được đặt trong một ô chữ nhật
Các đỉnh còn lại đều được trong khuyên tròn.
2) Cung
*) Cung xuất phát từ đỉnh vào:
- Từ đỉnh vào xuất phát 9 cung với nhãn tương ứng là 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
- Cung có nhãn là a∈ {1,2 ,3 ,4, 5 ,6 ,7 , 8, 9} đi tới đỉnhc⇔a≡c(modm)
*) Cung xuất phát từ đỉnh trong:
Từ đỉnh tùy ý b ∈ {0,1,2, ..., m−1} ta kẻ 10 cung với nhãn tương ứng là
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Chương 3. NGUỒN ĐỒNG DƯ
Nguồn đồng dư Imk được xây dựng trên cơ sở thuật tốn chia có dư Euclid, nên nhãn của mỗi đường xuất phát từ đỉnh vào và đi tới đỉnh kết (k) là một số nguyên dương có số dư k khi chia cho m.
Bởi vậy, nhãn của tất cả các đường xuất phát từ đỉnh vào và đi tới đỉnh kết
(k) là tất cả các số tự nhiên đồng dư vớik theo modul m.
Trường hợp đặc biệt, khi k = 0 ta được tập nguồn Im0 sinh tất cả các số nguyên dương chia hết cho m.
Ví dụ 3.1.
Xây dựng nguồn đồng dư gồm các số nguyên dương không chia hết cho 3. Phân tích:
1) Đỉnh : Lấy 1 điểm làm đỉnh vào, chẳng hạn ký hiệu bằng chữ v.
Một số chia cho 3 có thể dư 0, 1, 2, nên ngồi đỉnh vào v nguồn còn ba đỉnh nữa ký hiệu bằng 0, 1, 2.
Các số không chia hết cho 3 khi chia cho 3 sẽ có số dư là 1 hoặc 2, nên các đỉnh 1, 2 là đỉnh kết. Bởi vậy đặt mỗi đỉnh này vào trong một ô chữ nhật.
2) Cung
*) Tại đỉnh vào v, xuất phát 9 cung với nhãn tương ứng là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9.
- Vì các số 1, 4 và 7 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 1.
- Vì các số 2, 5, 8 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh 2.
- Vì các số 3, 6, 9 đều chia hết cho 3, nên các cung với nhãn 3, 6, 9 đi tới đỉnh 0.
*) Tại đỉnh 0, xuất phát 10 cung với các nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
- Vì các số 1, 4 và 7 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 1.
- Vì các số 2, 5, 8 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 2, 5, 8 đi tới đỉnh 2.
- Vì các số 0, 3, 6, 9 đều chia hết cho 3, nên các cung với nhãn 0, 3, 6, 9 là khuyên tại đỉnh 0.
*) Tại đỉnh 1, xuất phát 10 cung với các nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .
Chương 3. NGUỒN ĐỒNG DƯ
- Vì các số 10, 13, 16 và 19 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung với nhãn 0, 3, 6, 9 là khuyên tại đỉnh 1.
- Vì các số 11, 14 và 17 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung với nhãn 1, 4, 7 đều đi tới đỉnh 2.
*) Tại đỉnh 2 cũng xuất phát với 10 nhãn tương ứng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Vì các số 21, 24 và 27 đều chia hết cho 3, nên các cung nhãn 1, 4, 7 đi tới đỉnh 0.
- Vì các số 22, 25, 28 khi chia cho 3 đều dư 1, nên các cung nhãn 2, 5, 8 đều đi đến đỉnh 1.
- Vì các số 20, 23, 26, 29 khi chia cho 3 đều dư 2, nên các cung nhãn 0, 3, 6, 9 đều là khuyên tại đỉnh 2.
Để cho gọn các cung xuất phát từ một đỉnh và cùng đi tới một đỉnh ta chỉ giữ lại một cung, nhưng trên đó ghi nhãn của tất cả các cung này.
Vậy ta có nguồn I3 dưới dạng sau:
Chương 3. NGUỒN ĐỒNG DƯ