2.3 Ứng dụng của ánh xạ giả aphin
2.3.1 Bất đẳng thức biến phân
Trước tiên chúng ta nhắc lại định nghĩa bất đẳng thức biến phân dạng đơn giản (kí hiệu VI ).
Định nghĩa 2.3. Cho một tập khác rỗng, lồi, đóng K là tập con của không gian Euclit n chiều Rn, ánh xạ T : K → Rn. Bất đẳng thức biến phân định nghĩa bởi K và T được kí hiệu V I(K, T) là bài tốn tìm một véc tơ x ∈ K sao cho :
hT (x), y−xi ≥ 0;∀y ∈ K.
Tập nghiệm của bài tốn này được kí hiệu SOL(K, T). Khi K = Rn thì ta gọi V I (Rn, T) là bất đẳng thức biến phân khơng có ràng buộc.
Chú ý 2.2. Véc tơ x là nghiệm của bài toán V I(Rn, T) khi và chỉ khi T(x) = 0.
Chúng ta có thể chứng minh được rằng :
+) Nếu T là giả đơn điệu trên K thì SOL(K, T) là lồi. +) Nếu T là liên tục trên K thì SOL(K, T) là đóng.
Với mỗi ε > 0 chúng ta đặt Tε = T + εI. Ở đây I là ánh xạ đồng nhất trên Rn.
Nếu bài tốn VI (K, Tε) có nghiệm duy nhất kí hiệu x(ε) thì tập
{x(ε), ε > 0} được gọi là quỹ đạo Tikhonov của VI (K, T).
Bây giờ chúng ta sẽ nêu một số điều kiện để giới hạn lim
ε→0+x(ε) tồn tại và nó là nghiệm của bài tốnVI (K, T). Phương pháp tìm nghiệm của bài
tốnVI (K, T)là thông qua chuỗi điểmx(εk), k ∈ N;εk → 0+;k →+∞
của quỹ đạo Tikhonov và dùng giới hạn lim
k→+∞x(εk) được gọi là phương pháp Tikhonov chính quy.
Chúng ta xét hai định lý sau :
Định lý 2.10. Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K → Rn
là liên tục và giả đơn điệu trên K. Khi đó các điều kiện sau là tương đương :
i) SOL(K, Tε) là khác rỗng với mỗi ε > 0 và lim
ε→0+x(ε) tồn tai. Ở đây x(ε) chọn bất kì trong SOL(K, Tε).
ii) SOL(K, Tε) là khác rỗng với mỗi ε > 0và lim
ε→0+supkx(ε)k < ∞.
Ở đây x(ε) chọn bất kì trong SOL(K, Tε). iii) SOL(K, T) là khác rỗng.
Định lý 2.11. Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K → Rn
là liên tục và giả đơn điệu trên K. Nếu SOL(K, T) là khác rỗng thì ta có :
i) Mỗi ε > 0 bất kì, tập SOL(K, Tε) là compact và khác rỗng. ii) lim
ε→0+diamSOL(K, Tε) = 0.
Ở đây diamM := sup{kx−yk : x ∈ M, y ∈ M} là đường kính của
M ⊂ Rn.
Đến đây chúng ta quan tâm đến vấn đề sau : Cho K ⊂ Rn là tập khác rỗng, lồi, đóng. T : K →Rn là liên tục và giả đơn điệu trên K. Bài
tốn V I(K, T) có nghiệm thì có tồn tại ε > 0 sao cho với mọi ε ∈ (0;ε]
để Tε = T + εI là giả đơn điệu và bài toán V I(K, Tε) có nghiệm duy nhất hay khơng?
Phần đầu của câu hỏi ta chỉ cần chỉ ra tồn tại một ánh xạ liên tục khả vi giả đơn điệu T : R2 → R2 sao cho SOL R2, Tε 6= ∅. Nhưng với ε > 0
thì Tε = T +εI khơng giả đơn điệu.
Bây giờ chúng ta sẽ đi giải quyết phần hai của câu hỏi.