Chƣơng 3 Một số đề thi có nội dung hình học tổ hợp
3.2. thi học sinh giỏi
Bài 3.11 (Hà Nội 2011 - 2012). Cho 8045 điểm trên một mặt phẳng sao cho cứ ba
điểm bất kì tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng ln có thể có ít nhất 2012 điểm nằm trong tam giác hoặc trên cạnh của tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
Lời giải
Cách 1. Chọn hai điểm có khoảng cách lớn nhất trong 8045 điểm đã cho, giả sử khoảng cách đó là x.
Vì các tam giác có diện tích nhỏ hơn 1 nên các điểm đã cho nằm trong một hình chữ nhật có cạnh là 2.2 4
x x .
Chia hình chữ nhật đó thành bốn phần bởi các đường chéo. Mỗi phần có diện tích
nhỏ hơn 4 . 1 4 x
x . Mà theo nguyên lí Đirichlê, 8045 chia 4 được 2011 dư 1 nên tồn tại một phần chứa ít nhất 2012 điểm đã cho.
Cách 2. Xét tam giác có diện tích lớn nhất, giả sử đó là ABC.
Qua A B C, , kẻ các đường thẳng song song với các cạnh đối diện ta được ba tam giác có diện tích đúng bằng diện tích ABC.
Nếu có điểm nào nằm ngồi bốn tam giác trên thì nối điểm đó với cạnh đối diện thuộc ABC sẽ tạo thành tam giác mới có diện tích lớn hơn diện tích ABC. Điều này vơ lí.
Vậy tất cả 8045 điểm nằm trong bốn tam giác đó. 8045 chia 4 được 2011 dư 1 nên tồn tại một tam giác chứa ít nhất 2012 điểm đã cho.
Bài 3.12 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội, 5/4/2013). Cho 2013 điểm 1, 2,..., 2013
A A A và đường tròn ( ;1)O tùy ý nằm trên mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho MA1MA2 ... MA20132013.
Tƣơng tự
Bài 3.13. Cho 2020 điểm A A1, 2,...,A2020 và đường tròn ( ; 2)O tùy ý nằm trên mặt
phẳng. Chứng minh rằng tồn tại điểm M trên đường tròn sao cho 1 2 ... 2020 4040
MA MA MA .