2 Ánh xạ đơn điệu suy rộng
2.2 Các đặc trưng của ánh xạ đơn điệu suy rộng
2.2.2 Mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả
trên I.
(ii) F là giả đơn điệu trên I khi và chỉ khi F có tính bảo tồn dấu chặt
trên I.
(iii) F là giả đơn điệu chặt trên I khi và chỉ khi F có tính bảo tồn dấu
chặt trên I và F(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm thưc.
Chứng minh. Hiển nhiên suy ra từ định nghĩa .
Về mặt hình học , định lí trên chỉ ra rằng F là tựa đơn điệu trên I ⊂ R
khi và chỉ khi nó có tính chất, một khi F(x) là dương với một vài giá trị củax, nó khơng thể trở thành âm với bất kì y > x, tương đương nếu F(x) là âm với một vài giá trị của x, nó khơng thể dương với một vài giá trị y < x. Tương tự, F là giả đơn điệu trên I khi và chỉ khi nó có tính chất, nếu F(x) là dương với một giá trị của x nó sẽ vẫn dương với mọi y > x, và nếu F(x) là âm với một vài giá trị của x, thì nó phải là âm với mọi y < x.
2.2.2 Mối liên hệ giữa ánh xạ tựa đơn điệu và ánh xạ giả đơnđiệu điệu
Dễ thấy mọi ánh xạ giả đơn điệu là tựa đơn điệu . Điều ngược lại là không đúng; cụ thể, lấy F(x) = x2, S = R thì F là ánh xạ tựa đơn điệu nhưng không là ánh xạ giả đơn điệu.
Định lí tiếp theo đưa ra điều kiện cần và đủ cho một ánh xạ tựa đơn điệu là giả đơn điệu.
Định lý 2.22. Cho S ⊂ Rn là tập lồi mở, và ánh xạ F : S →Rn liên tục trên S. Khi đó F là ánh xạ giả đơn điệu khi và chỉ khi
i) F là tựa đơn điệu trên S
ii) Với mọi x ∈ Svới F(x) = 0, ở đó tồn tại một lân cận N(x) của x
sao cho
Chứng minh. Điều kiện đủ: Hiển nhiên.
Điều kiện cần: Giả sử rằng (i) và (ii) là thỏa mãn nhưng F không là ánh xạ giả đơn điệu. Khi đó, tồn tại x, y ∈ S sao cho
(y −x)TF(x) ≥ 0 nhưng (y−x)TF(y) < 0 (2.66) Đặt v = y −x. Khi đó hàm ψ : Ix,v → R xác định bởi (2.59) là liên tục trên khoảng Ix,v cái mà bao hàm [0,1]. Hơn nữa ψ(0) ≥ 0 và ψ(1) < 0. Đặt
t = {t|t∈ [0,1], ψ(t) = 0}. Từ ψ là liên tục , t ∈ [0,1). Đặt x = x+tv.
Khi đó
ψ t = vTF (x) = (y−x)TF (x) = 0 Điều này suy ra
(y −x)TF (x) = 0 (2.67)
Mặt khác
ψ(t) = (y −x)TF (x+tv) < 0, với mọi t < t ≤ 1.
Điều này suy ra với mọi lân cận N(x) của x tồn tại z ∈ N (x)∩S sao cho
(y −x)TF (x) = 0 (2.68)
Điều kiện (ii) cùng với (2.68) suy ra F (x) 6= 0 . Tính liên tục của F và (2.66) suy ra tồn tại r > 0 sao cho y +rF (x) ∈ S và
(y +rF (x)−x)TF (y +rF (x)) < 0 (2.69) hoặc
(x−(y +rF (x)))TF (y +rF (x)) > 0 (2.70) Từ F là ánh xạ tựa đơn điệu, (2.70) suy ra
(x−y −rF (x))TF (x) ≥ 0 (2.71) Bây giờ từ (2.67) và (2.71), ta có rkF (x)k ≤ 0 hoặc F (x) = 0 (mâu thuẫn).
Hệ quả 2.23. Cho S ⊂ Rn là tập lồi , mở và F : S → Rn liên tục và là ánh xạ tựa đơn điệu trên S. Nếu F (x) 6= 0 với mọi x ∈ S thì F là ánh xạ giả đơn đơn điệu trên S.