2 Độ đo trên các không gian compact địa phương
2.2 Độ đo trên một không gian compact địa phương
2.2.3 Tích của một độ đo với một hàm liên tục
2.2.3.1. Giả sử µ là một độ đo trên một không gian compact địa phương E, và giả sử g là một hàm thực liên tục trong E. Với mọi hàm f ∈ Cc(E), f g có giá compact, do đó µ(f g) được xác định, và ánh xạ f → µ(f g) là một phiếm hàm tuyến tính trên Cc(E). Ta chứng minh đây là một độ đo. Cho K là một tập compact của E, và aK là một số khơng âm sao cho ta có
|µ(f)| ≤ aK||f||,
với mọi hàm f ∈ Cc(E) mà giá được chứa trong K. Nếu bK = sup
x∈K
|g(x)|, ta có
|µ(f g)| ≤ aKbK||f||.
Phiếm hàm tuyến tính f → µ(f g) là một độ đo trên E, mà ta ký hiệu g ·µ
và gọi là tích của độ đo µ và hàm g, hoặc độ đo với mật độ g đối với µ. Nếu ν =g ·µ thì ta có quan hệ
Z
f(x)dν(x) =
Z
hoặc viết tắt dưới dạng
dν(x) = g(x)dµ(x).
Tập hợp M(E), của các độ đo trên E, trang bị luật hợp thành ngồi
(g, µ)→g·µ
và cấu trúc cộng của nó, là một module trên vành C(E).
2.2.4 Độ đo dương
2.2.4.1. Không gian Cc(E) của các hàm liên tục trong E và có giá compact là một khơng gian Reisz với quan hệ thứ tự f ≤ g. Ta nói rằng một độ đoµ trênE
là dương nếu với mọi hàm thực liên tục f ≥0, có giá compact, ta có µ(f) ≥0.
Tập hợp M(E)của các độ đo trênE trang bị quan hệ thứ tự µ≤ ν ⇔ν−µ≥ 0
tương đương với quan hệ "với mọi hàm f ≥0 thuộc Cc(E), ν(f)≥ µ(f)".
2.2.4.2. Định lý. Mọi phiếm hàm tuyến tính dương trên khơng gian Reisz Cc(E) là một độ đo (dương) trên E. Không gian M(E) của các độ đo trên E trùng với khơng gian của các phiếm hàm tuyến tính bị chặn tương đối trên khơng gian Reisz Cc(E). Do đó
2.2.4.3. Định lý. Khơng gian M(E), các độ đo trên một không gian compact
địa phương E là dàn đầy đủ.
2.2.5 Một phương pháp định nghĩa độ đo 2.2.5.1. Định nghĩa
Cho E là một không gian compact địa phương, ta nói rằng một khơng gian vectơ con V củaCc(E)là giàu (tương ứng giàu dương) nếu, với mọi tập compact K của E, tồn tại một lân cận compact tương đối U của K sao cho mọi hàm số liên tục (tương ứng liên tục và dương) có giá trong K có thể xấp xỉ đều bởi các hàm (tương ứng các hàm dương) thuộc vào V và như thế giá được chứa trong
U.
Khi E là compact, nói rằng V là giàu có nghĩa là nó là trù mật đối với
E. Khi đó nó là giàu dương. Thực vậy, tồn tại trong V một hàm f0 sao cho ||1−f0|| ≥ 1
2, suy raf0 ≥ 1
2; nếuf không âm thuộcC(E), tồn tạig ∈V sao cho ||f −g|| ≤ε; suy ra ||f −(g + 2εf0)|| ≤4ε, và từ giả thiết suy ra g+ 2εf0 ≥0.
Nếu E = R, các hàm thuộc Cc(R), tuyến tính từng đoạn (nói cách khác
là các ngun hàm của hàm bậc thang) hình thành một khơng gian con giàu dương của Cc(E), mà giá được chứa trong I = (a, b), với mọi ε≥ 0, tồn tại một
dãy tăng thực sự (xi), 0≤ i ≤ n của các điểm của I sao cho x0 = a, xn = b và trong mỗi khoảng (xi, xi+1) (với 0 ≤ i ≤ n−1), dao động của f là nhỏ hơn ε.
Bằng cách chọn g(x) = 0 trong phần bù của I, g(xi) = f(xi) với 0 ≤ i≤ n và
g là tuyến tính trong mỗi khoảng (xi, xi+1), ta thấy rằng ta có ||f −g|| ≤ε.
2.2.5.2. Mệnh đề
Cho V là một không gian con giàu của Cc(E), để một phiếm hàm tuyến tính
µ định nghĩa trong V được thác triển thành một độ đo trên E, cần và đủ là với mọi tập compact K của E, hạn chế của µ lên khơng gian con VK của V hình thành bởi các hàm của V mà giá được chứa trong K, liên tục đối với tôpô hội tụ đều. Độ đo nhận được từ thác triển µ là duy nhất.
2.2.5.3. Mệnh đề
Cho V là một không gian con giàu dương của Cc(E) và giả sử µ là một phiếm hàm tuyến tính định nghĩa trong V sao cho µ(f) ≥ 0, với mọi f ≥ 0,
thuộc V. Khi đó µ có thể thác triển một cách duy nhất thành một độ đo trên E, và độ đo này dương
2.2.6 Độ đo bị chặn
2.2.6.1. Giả sửE là một không gian compact địa phương nhưng khơng compact. Nói chung, một độ đo µbất kỳ trên E không liên tục trongCc(E) trang bị tôpô
hội tụ đều. Nói cách khác, nói chung khơng tồn tại một số M ≥ 0, sao cho với
mọi hàm f ∈ Cc(E), ta có
|µ(f)| ≤ M · ||f||. (2.8) 2.2.6.2. Định nghĩa
Ta nói một độ đo µ trên một khơng gian compact địa phương E là bị chặn nếu nó liên tục trong Cc(E) đối với tơpơ hội tụ đều.
Nói rằngµ là một độ đo bị chặn có nghĩa là µthuộc vào đối ngẫu của không gian định chuẩn Cc(E). Ta ký hiệu đối ngẫu này làM1(E). Ta biết rằng ta định
nghĩa chuẩn ||µ||của µnhư là số M ≥ 0nhỏ nhất mà bất đẳng thức (2.6) đúng với mọi hàm f ∈Cc(E). Nói cách khác, ta có
||µ|| = sup
||f||≤1,f∈K(E)
|µ(f)|. (2.9)
Trang bị chuẩn này, ta biết rằng M1(E) là một khơng gian Banach.
Định nghĩa của ||µ|| bởi công thức (2.9) mở rộng cho mọi độ đo trên E. Để
µ bị chặn, cần và đủ là ||µ|| hữu hạn. Nhớ là trên một không gian compact mọi độ đo là bị chặn.
Ghi chú: Khơng gian vectơ Cc(E) nói chung khơng phải là một khơng gian con đóng của khơng gian Banach Cb(E) của các hàm liên tục và bị chặn trong
E, khi E là một không gian compact địa phương nhưng không compact. Ký hiệu E0 là không gian compact nhận được bằng bổ sung vào E một điểm ở vô hạn ω. Ta sẽ thấy rằng bao đóng Cc(E) của Cc(E) trong Cb(E) là không gian các hàm liên tục trongE và dần về0khi xdần đến ω. Thực vậy, nếuf ∈ Cb(E)
là điểm dính của Cc(E)(thuộc bao đóng của Cc(E)), với mọiε > 0, tồn tại một
hàm g liên tục có giá compact K, sao cho
|f(x)−g(x)| ≤ ε với mọi x ∈E;
nên ta có |f(x)| ≤ ε với mọi x ∈ KC, chứng tỏ f dần tới 0 khi x dần tới ω.
|f(x)| ≤ ε, ∀x ∈ KC. Theo Bổ đề 1 tồn tại một ánh xạ liên tục h từ E vào
[0,1], có giá compact, bằng 1 trong K. Vậy ta có |f(x)h(x)| ≤ ε trong KC. Và
f(x) = f(x)h(x) trong K; vì f h có giá compact và vì |f(x)−f(x)h(x)| ≤ 2ε,
∀x ∈E. Ta có điều phải chứng minh.
Từ các kết quả trên ta có: mọi độ đo bị chặnµ trênE, là liên tục trên Cc(E)
đối với tôpô hội tụ đều, nên thác triển liên tục một cách duy nhất lên Cc(E); ta
vẫn ký hiệu là µ(f), hoặc < f, µ >, hoặc R f dµ giá trị của độ đo thác triển của
µ đối với một hàm f ∈Cc(E). Khơng gian Cc(E) có thể đồng nhất với tập hợp
C0(E) các hàm số liên tục trong compact E0 và triệt tiêu ở điểm ω. Tập này là
một siêu phẳng đóng trong khơng gian Banach C(E0). Suy ra rằng mọi độ đo
bị chặn µ trên E có thể thác triển thành một độ đo µ0 trên E0, giá trị µ0(1) có thể chọn bất kỳ. Vì mỗi hàm f liên tục trong E0 có thể viết một cách duy nhất
f = a+g, trong đó a = f(ω) và g(ω) = 0, ta có µ0(f) = aµ0(1) +µ(g). Ngược
lại hạn chế lên Cc(E) của một độ đo bất kỳ trên E0 là một độ đo bị chặn trên
E. Độ đo thứ hai này có thể đặc trưng như là độ đo trên E có thể thác triển bằng phương pháp trên thành độ đo trên E0.
2.2.7 Tôpô mờ trên không gian các độ đo
2.2.7.1. Không gian M(E) của các độ đo trên một không gian compact địa phương E là một không gian của các phiếm hàm tuyến tính trên khơng gian vectơ Cc(E). Ta có thể xét trên E, tôpô của sự hội tụ đơn giản trong Cc(E),
mà ta gọi là tôpô mờ trên E. Khi E là một không gian compact, tôpô mờ trên M(E) chính là tơpơ yếu trên đối ngẫu của khơng gian Banach C(E).
Tôpô mờ trên M(E) là một tôpô của không gian lồi địa phương tách, định nghĩa bởi các nửa chuẩn µ : µ → sup
1≤i≤n
|µ(fi)|, trong đó (fi)1≤i≤n là một dãy hữu hạn bất kỳ của các hàm thuộc vào Cc(E). Nói rằng một lưới F trên M(E)
hội tụ mờ đến một độ đo µ0 có nghĩa là, với mọi hàm f ∈ Cc(E) ta có
µ0(f) = lim
F µ(f).
Với mỗi hàm f ∈ Cc(E), ánh xạ µ → µ(f) là một phiếm hàm tuyến tính liên tục mờ trên khơng gian M(E).
2.2.7.2. Định lý
Cho E là một không gian compact địa phương, và với mọi x ∈ E, cho εx là độ đo định nghĩa bởi một đơn vị khối lượng đặt tại điểm x. Ánh xạ x → εx là một đồng phôi từ E vào không gian M(E) của các độ đo trên E, trang bị tơpơ mờ. Ngồi ra nếu E không compact và E0 ký hiệu không gian compact nhận được bằng cách thêm vào E một điểm ở vô cùng ω, thì εx dần tới 0 khi x dần tới ω.
2.2.7.3. Mệnh đề
Trong không gian M(E) các độ đo trên một không gian compact địa phương E, tập M+(E) các độ đo dương là đầy đủ đối với cấu trúc đều sinh từ tơpơ mờ (dẫn đến đóng trong M(E) đối với tơpơ này).
Nhớ rằng bản thân khơng gian M(E) nói chung khơng đủ đối với cấu trúc đều mờ (ví dụ, khi E là compact và vô hạn, ta biết rằng đối ngẫu của khơng gian Banach C(E)), có số chiều vơ hạn, khơng đủ đối với tơpơ yếu).
Ta nói rằng một tập con H của không gian M(E) là bị chặn nếu với hàm
f ∈Cc(E), ta có sup
µ∈H
|µ(f)| < +∞. Mọi dãy hội tụ mờ (µn) là bị chặn. 2.2.7.4. Mệnh đề
Cho H là một tập con đóng của M(E); với mọi tập con compact K của E, tồn tại một số MK ≥ 0sao cho với mọi độ đo µ∈ H và với mọi hàm f ∈ Cc(E),
có giá nằm trong K, ta có
Chương 3
Xây dựng độ đo trên đại số toán tử
3.1 Một số kiến thức phụ trợ
3.1.1 Một số điều cần lưu ý về tôpô đại cương
3.1.1.1 Tiên đề chọn (được Zermelo phát biểu vào năm 1904) Với một tập X khác rỗng tồn tại một hàm (chọn)
c : S(X)\ {∅} →X
thỏa mãn c(Y) ∈ Y với mọi Y ∈ S(X)\ {∅} (trong đó S(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X).
3.1.1.2 Mệnh đề
Với một hàm f giữa các không gian tôpô (X, τ) và (Y, σ) và x trong X thì các điều kiện sau đây là tương đương:
(i) f liên tục tại x.
(ii) Với mỗi A trong O(f(x)) tồn tại một B trong O(x) sao cho f(B)⊂ A.
(iii) Với mỗi lưới (xλ)λ∈Λ sao cho xλ →x ta có f(xλ)→f(x).
Trong đó O(x) là ký hiệu họ các lân cận của điểm x.
3.1.1.3 Định lý
Trong một khơng gian tơpơ(X, τ)thì các điều kiện dưới đây là tương đương: (i) Mọi phủ mở của X có một phủ con hữu hạn.
(ii) Nếu ∆ là một hệ các tập con đóng của X, sao cho khơng tồn tại giao của một số phần tử hữu hạn của ∆ là rỗng, thì giao của tất cả các phần tử trong ∆ là khác rỗng.
(iii) Mọi lưới trong X có một điểm tụ.
(iv) Mọi lưới phổ dụng (universal) trong X là hội tụ. (v) Mọi lưới trên X có một lưới con hội tụ.
3.1.1.4 Mệnh đề
Nếu f : X → Y là một hàm liên tục giữa các không gian tôpô X và Y và nếu X là compact thì f(X) là compact.
3.1.1.5 Bổ đề Dini
Cho (fλ)λ∈Λ là một lưới các hàm số thực liên tục trên không gian compact
X. Giả thiết rằng λ ≤µ suy ra fλ(x)≤fµ(x) với mọi x trong X và tồn tại một hàm f liên tục trên X sao cho limfλ(x) = f(x) với mọi x trong X thì (fλ) hội tụ đều đến f tức là:
3.1.1.6 Định nghĩa
Ta nói rằng hàm f trên X có giá compact nếu tập {x ∈ X|f(x) 6= 0} là compact và ta ký hiệu là Cc(X) là tập các hàm có giá trị vô hướng liên tục trên
X với giá compact Cc(X) đủ rộng để tách bất cứ tập compact nào với bất cứ tập đóng rời (nhau) nào.
3.1.2 Một số lưu ý về không gian Banach và không gian Hilbert
3.1.2.1 Mệnh đề
Nếu X và Y là các không gian Banach và X0 là không gian con trù mật của X thì mọi tốn tử T0 trong B(X0,Y)có một mở rộng duy nhất thành một tốn tử T trong B(X,Y) và ||T||= ||T0||.
3.1.2.2 Hệ quả
Mọi toán tử song ánh bị chặn giữa hai khơng gian Banach có nghịch đảo bị chặn.
3.1.2.3 Định nghĩa
Một dạng sesquillinear trên không gian vectơ X trên trường K là một ánh xạ
(·|·) : X×X →F
là tuyến tính trong biến thứ nhất và liên hợp tuyến tính trong biến thứ hai. Với một dạng sesquillinear (·|·) ta định nghĩa dạng liên hợp (·|·)∗ bởi
(x|y) = (y| x), x, y ∈ X.
Ta nói rằng dạng này là tự liên hợp nếu (·|·)∗ = (·|·) (Nếu F = R thì thuật ngữ đối xứng thường được sử dụng) với F =C thì với sự tính tốn đơn giản chỉ
ra rằng 4(x|y) = 3 X k=0 ik(x+iky|x+iky) (*) Trực tiếp từ (*) suy ra rằng dạng (·|·) là tự liên hợp (x|x) ∈ R với mọi x
trong X.
Ta nói rằng một dạng sesquillinear (·|·) là dương nếu (x|x) ≥ 0 với mọi x
trong X. Vì vậy với F = C một dạng sesquillinear dương là tự liên hợp. Trong không gian thực điều này khơng cịn đúng nữa.
Một tích trong trên X là một dạng sesquillinear dương, tự liên hợp sao cho
(x|x) = 0 ⇒x= 0 với mọi x trong X.
3.1.2.4. Với một dạng sesquillinear tự liên hợp, dương (·|·) ta định nghĩa hàm thuần nhất || · ||: X →R+ bởi
||x|| = (x|x)1/2, x ∈X. (*) Từ (*) trong 3.1.2.3 và tính tốn tương tự trong trường hợp thực ta thu được hai đồng nhất thức phân cực. Đồng nhất thức thứ nhất là với F =C, thứ hai với F = R: 4(x|y) = 3 X k=0 ik||x+iky||2 (**)
4(x|y) =||x+y||2− ||x−y||2. (***) 3.1.2.5. Với (·|·) như trong 3.1.2.4 và α trong F. Công thức:
|α|2||x||2 + 2Re α(x|y) +||y||2 =||αx+y||2 ≥ 0 (*) với x và y trong X. Ngay lập tức dẫn đến bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
|(x|y)| ≤ ||x|| · ||y||. (**)
3.1.2.6. Định lý
Với một không gian con đóng X của một khơng gian Hilbert H đặt X⊥ = {x⊥ ∈H|x⊥ ⊥ X}
thì mỗi vectơ y trong H có một sự khai triển duy nhất y =x+x⊥ với x trong X và x⊥ trong X⊥. Phần tử x (tương ứng x⊥) là điểm gần nhất trong X (tương ứng X⊥) tới y. Hơn nữa H =X⊕X⊥ và (X⊥)⊥ =X.
3.1.2.7. Hệ quả
Với mọi tập con X ⊂ H, khơng gian con đóng nhỏ nhất của H chứa X là
(X⊥)⊥. Đặc biệt nếu X là khơng gian con của H thì X= = (X⊥)⊥ (= chỉ bao đóng theo tơpơ chuẩn).
3.1.2.8. Mệnh đề
Ánh xạ φđược cho bởi φ(x) = (·|x)là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp của H vào H∗ (H∗ là không gian đối ngẫu của H).
3.1.2.9. Ta định nghĩa tôpô yếu trên một không gian Hilbert H là tôpô yếu nhất trên H sao cho mọi phiếm hàm thuộc các phiếm hàm x → (x|y) liên tục với y thay đổi trên H. Hình cầu đơn vị trong H là compact yếu.
Mọi toán tử T trong B(H) là liên tục như một hàm T : H →H khi cả hai bản sao của H đều được trang bị tơpơ yếu. Ta nói rằng T là liên tục yếu-yếu. Ngược lại, nếu T là toán tử liên tục yếu-yếu trên H, từ định lý ánh xạ đóng
ta kết luận là T ∈ B(H). (Nếu T : X → Y là một tốn tử giữa các khơng gian Banach X và Y sao cho
C(T) = {(x, y)∈ X×Y|T x =y}
là đóng trên X×Y thì T bị chặn).
Thực vậy nếu xn → x và T xn → y (hội tụ theo chuẩn) thì xn → x và
T xn →y yếu bởi vì tơpơ chuẩn mạnh hơn tơpơ yếu. Theo giả thiết T xn →T x
Lý luận tương tự chỉ ra rằng mọi toán tử liên tục chuẩn-yếu trên H là bị chặn. Một tốn tử là liên tục chuẩn-yếu phải có hạng hữu hạn, đây là một yêu cầu đặc biệt.
Một sự biến đổi nhỏ theo những hướng này, tuy nhiên đưa ra một sự đặc trưng của các toán tử compact.
3.1.2.10. Mệnh đề
Mọi tập trực chuẩn trong một không gian Hilbert H có thể được mở rộng thành một cơ sở trực chuẩn của H.
3.1.2.11. Mệnh đề
Nếu H và R là các không gian Hilbert với cơ sở trực chuẩn {ei|i ∈ I} và {fj|j ∈ J} và nếuI và J có cùng bản số (tức là tồn tại một song ánhγ : I →J) thì tồn tại một tốn tử đẳng cự U của H vào R sao cho
(U x|U y) = (x|y) với mọi x và y trong H.
3.1.2.12. Mọi phép đẳng cự U trong (B(H)) là một điểm cực biên trong hình cầu đơn vị đóng của B(H).
3.2 Tốn tử compact
3.2.1. Ta ký hiệu H là một không gian Hilbert phức, B(H) là khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn trên H.
Một tốn tử T trên một khơng gian Hilbert H vơ hạn chiều có hạng hữu hạn nếu T(H) là không gian con hữu hạn chiều của H (do đó đóng). Tập hợp
Bf(H) của các tốn tử trong B(H) có hạng hữu hạn là một khơng gian con. Ta dễ kiểm tra được rằng Bf(H) khơng chỉ là một đại số con mà cịn là một