3 Nhị phân mũ đều
3.2 Mối liên hệ giữa nhị phân mũ rời rạc và nhị phân mũ đều
Bổ đề 3.2.1.
Nếu tốn tử Y(t, s) có bậc tăng bị chặn bởi (C1, µ1)và với mỗi t0, dãy{Y(nl+t0,
(n−1)l+t0)}∞
n=−∞ có một nhị phân mũ rời rạc loại(θ1, γ1, K10) thì Y(t, s)có một nhị phân mũ đều loại (α1, β1, K1)trong đó θ1 =e−α1l, γ1 =eβ1l và
K1 =C1K10 maxe(µ1+α1)l, e(µ1+β1)l .
Chứng minh. Giả sử ta cố địnhs ∈Rtùy ý, xét dãy bị chặn
{Y (nl+s,(n−1)l+s)}∞n=−∞={Sn}.
Do đó, dãy được viết tường minh như sau
S1 =Y(l+s, s) S2 =Y(2l+s, l+s) S3 =Y(3l+s,2l+s) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Sn−1 =Y((n−1)l+s,(n−2)l+s) Sn =Y(nl+s,(n−1)l+s).
Theo giả thiết {Sn}∞n=−∞ có một nhị phân rời rạc loại (θ1, γ1, K10). Khi đó, sẽ tồn tại
một họ phép chiếu {Pn}∞n=−∞ sao cho
• sup n |Pn| ≤K10 • SnPn=Pn+1Sn • |S(n,1)P1| ≤K10θ1n−1 ⇔ |Sn−1. . . S1P1| ≤K10θn−11 ⇔ |Y((n−1)l+s, s)P1| ≤K10θ1n−1, n ≥1
• |S(n,1)Q1| ≤K10γ1n−1 ⇔ |Y((n−1)l+s, s)Q1| ≤K10γ1n−1, n <1, Q1 =I−P1. Ta định nghĩa P(t) =Y(t, s)P1Y(s, t). Khi đó P((n−1)l+s) =Y((n−1)l+s, s)P1Y(s,(n−1)l+s) =Sn−1. . . S1P1S1−1. . . Sn−1−1
=Pn (do điều kiện tính bất biến), và từ đó P(s) = P1.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh Y(t, s)có một nhị phân mũ. Thật vậy:
• Y(t, s)P(s) =P(t)Y(t, s), t, s ∈R được thỏa mãn vì
Y(t, s)P(s) =Y(t, s)Y(s, s)P1Y(s, s) = Y(t, s)P1 =Y(t, s)P1Y(s, s) =Y(t, s)P1Y(s, t)Y(t, s)
=P(t)Y(t, s), t, s ∈R.
• Với mỗi t≥s chọn n≥1 sao cho nl+s > t≥(n−1)l+s, ta có
|Y(t, s)P(s)|=|Y(t,(n−1)l+s)Y((n−1)l+s,(n−2)l+s). . . Y(l, s)P(s)| =|Y(t,(n−1)l+s)Sn−1Sn−2. . . S1P1|
≤|Y(t,(n−1)l+s)|K10θ1n−1 (do {Sn} có nhị phân loại(θ1, γ1, K10)) ≤C1eµ1(t−(n−1)l−s)K10e−α1(n−1)l (do Y(t, s) bị chặn trên bởi (C1, µ1)) ≤C1eµ1leα1lK10e−α1nl (do bất ng thc trờn)
C1K10e(à1+1)le1(ts).
ã Vi mi t < s chn n <1sao cho nl+s > t≥(n−1)l+s, ta có
|Y(t, s)Q(s)|=|Y(t, nl+s)Y(nl+s, s)Q(s)|
=|Y(t, nl+s)Y(nl+s, s)Q1|(do Q(s) = Q1)
≤|Y(t, nl+s)|K10γ1n
≤C1eµ1(|t−nl−s|)K10eβ1nl
≤C1eµ1(|−l|)eβ1lK10eβ1(n−1)l
≤C1eµ1leβ1lK10eβ1(n−1)l
Do đóY(t, s)có một nhị phân mũ loại (α1, β1, K1), trong đó
K1 =C1K10 maxe(µ1+α1)l, e(µ1+β1)l .
Vậy bổ đề đã được chứng minh.
Trước khi nghiên cứu định lý chính, chúng ta cùng tìm hiểu bổ đề sau.