1.2. Quy tắc Feynman và các giản đồ phân kỳ bậc thấp trong QED
1.2.3. Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét sự phân kỳ của các giản đồ về mặt toán học, từ đó xác định loại phân kỳ và bậc phân kỳ của chúng. Khi tính tốn các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lƣợng), theo qui tắc chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đƣờng xung lƣợng trong của giản đồ. Tất cả các tích phân này đều có dạng :
4 n 2 4 1 4 n 2 1,p ,...,p )d pd p ...d p p ( F J (1.59) trong đó: F(p1,p2,...,pn) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đƣờng
xung lƣợng trong. Tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của fermion- electron ta có hàm truyền S ~
p
1, tƣơng ứng với mỗi đƣờng xung lƣợng trong của photon ta có hàm truyền D ~ 2
p 1
.
Ta gọi : Fe : số đƣờng xung lƣợng trong của electron. Ne: số đƣờng xung lƣợng ngoài của electron. Fp : số đƣờng xung lƣợng trong của photon. Np: số đƣờng xung lƣợng ngoài của photon. v : số đỉnh .
Trong mỗi vịng kín (loop) các đƣờng xung lƣợng trong, số các đƣờng trong bằng số đỉnh: nv, đồng thời lƣu ý hai điểm sau :
+ Mỗi đỉnh tƣơng ứng với 1 đƣờng photon, nhƣ vậy số đỉnh bằng tổng số đƣờng photon, cũng phải chú ý rằng số đƣờng trong phải đƣợc tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh:
v2Fp Np (1.60) + Mỗi đỉnh tƣơng ứng với hai đƣờng xung lƣợng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đƣờng xung lƣợng electron :
2v2FeNe (1.61) Từ (1.60) và (1.61) ta thu đƣợc : p Np 2 1 v 2 1 F (1.62) e Ne 2 1 v F (1.63) Số biến lấy tích phân là n, nhƣng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lƣợng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lƣợng. Định luật này đƣợc thể hiện ở dạng của hàm delta. Theo tính chất của hàm delta : f(p)(p0)d4pf(p0)
thì số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống. Nếu có n đƣờng trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đƣờng trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi. Tổng số đƣờng trong là (FeFp). Vậy số các biến độc lập sẽ là :
K1 (FeFp)(n1) (1.64) Do S ~ p 1 và D ~ 2 p 1
, bậc luỹ thừa của mẫu sẽ là :
Thay (1.62) và (1.63) vào (1.64) và (1.65) ta thu đƣợc : N 1 2 1 N 2 1 v 2 1 K1 p e (1.66) 2 p Ne 2 1 N v 2 K (1.67) Với K1 là số biến độc lập, K2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính :
2 1 K K 4 ) p ( ) p d ( J (1.68) Đƣa vào tham số mới:
KK2 4K1 (1.69) Thay (1.66) và (1.67) vào biểu thức của (1.68) ta thu đƣợc :
N N 4
2 3
K e p (1.70) Từ tham số này ta có thể đƣa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.68):
+Nếu K 0: tích phân này hội tụ . + NếuK 0: tích phân này phân kỳ .
- K0: phân kỳ lôgarit - K1: phân kỳ tuyến tính - K2: phân kỳ bậc hai - K3: phân kỳ bậc ba …
đồ Feynman tiêu biểu chứa phân kỳ có dạng cho dƣới đây:
Tính tốn bậc phân kỳ của các giản đồ trên :
Hình 1.5: Số đƣờng photon ngoài bằng 0, số đƣờng electron ngoài là 2, bậc
phân kỳ là: K1 Phân kỳ tuyến tính .
Hình 1.6: Số đƣờng photon ngoài bằng 2, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là:K 2 Phân kỳ bậc hai .
Hình 1.7: Số đƣờng photon ngồi bằng 1, số đƣờng electron ngoài bằng 2, bậc
phân kỳ là: K 0 Phân kỳ loga .
Hình 1.8: Số đƣờng photon ngoài bằng 4, số đƣờng electron ngoài bằng 0, bậc
phân kỳ là :K 0 Phân kỳ loga. Yếu tố ma trận tƣơng ứng với giản đồ
Hình 1.7. Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1.5. Giản đồ năng lượng Hình 1.5. Giản đồ năng lượng
riêng của electron
Hình 1.8.. Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng ánh sáng – ánh sáng Hình 1.6. Giản đồ năng lượng
Feynman trên hình 1.8 là: 4 4 1 2 3 4 4 4 1 1 , , , ˆ ˆ ˆ 2 ie Q k k k k d pSp p m p k m 4 3 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p k k m p k m (1.71)
Sẽ phân kỳ loga ở vùng p song nhờ bất biến chuẩn, thực tế là nó hữu hạn. Các giản đồ này diễn tả sự tƣơng tác của các hạt với chân không.
Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tƣơng tác của electron với các dao động không (các thăng giáng ) của các phơtơn, hay nói một cách khác là sự tƣơng tác với chân không của trƣờng điện từ. Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lƣợng riêng trƣờng điện từ của electron ( hiệu ứng tự tƣơng tác).
Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của
trƣờng electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lƣợng riêng của phơtơn. Giản đồ Hình 1.7 đƣợc gọi là giản đồ đỉnh và khi tính tốn giản đồ này ta cũng thu đƣợc biểu thức phân kỳ.
Giản đồ Hình 1.8 diễn tả sự tƣơng tác của phôtôn với chân không của
trƣờng electron - positron - hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này. Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lƣợng tử chúng tôi khơng xem xét ở đây. Nghiên cứu q trình này chúng ta sẽ tính đƣợc những bổ chính phi tuyến cho phƣơng trình Maxwell. Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng ánh sáng khơng tồn tại vì sự tuyến tính của phƣơng trình Maxwell.
Bảng 2: Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED Số đƣờng xung lƣợng ngoài của photon. Np Số đƣờng xung lƣợng ngồi của electron. Ne Ví dụ Nhận xét 0 0
Giản đồ chân khơng có thể khơng xét
0 2
Giản đồ năng lƣợng riêng của electron. Sơ bộ , nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ loga
2 0
Giản đồ năng lƣợng riêng của photon
Sơ bộ nó phân kỳ bình phƣơng. Thực tế từ bất biến chuẩn nó phân kỳ loga
1 2
Giản đồ đỉnh. Phân kỳ loga
3 0
Nó bị trƣợt tiêu với giản đồ cùng với hƣớng ngƣợc lại của electron (Định lý Furry) . Nó có thể khơng xét
4 0
Gồm 4 giản đồ khác nhau bằng việc hốn vị của các ngồi. Thực tế, nó hội tụ bất biến chuẩn
Tóm lại, trong các giản đồ phân kỳ bậc thấp, rút gọn lại, ta chỉ cần quan tâm đến các giản đồ thứ 2, 3 và 4.
Nhƣ vậy, trong chƣơng này chúng ta đã xây dựng đƣợc các biểu thức của S – ma trận dựa trên các điều kiện của nó, chỉ ra rằng mọi tính tốn trong lý thuyết sẽ chỉ chính xác đến một tốn tử giả định sứ, và vì thế các phân kỳ xuất hiện trong lý thuyết khi khơng xem xét đến điều kiện đó là dễ hiểu. Một ý tƣởng sẽ nảy sinh ở đây là ta có thể sử dụng các tốn tử giả định sứ này để khử đi các phân kỳ, đây cũng chính là mục đích chính của luận văn. Song song với đó, chúng ta cũng đƣa ra lý thuyết thông thƣờng khi không xem xét đến điều kiện nhân quả. Chúng ta đã đƣa ra cách xây dựng các giản đồ Feynman, qui tắc Feynman , xác định hệ số đối xứng cũng nhƣ bậc hội tụ cho các giản đồ trong QED. Trong chƣơng 2, ta sẽ sử dụng phép làm đều Bogoliubov để tách phần phân kỳ của các giản đồ đó.
CHƢƠNG 2
TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG
Trong chƣơng 1, ta đã chỉ ra ba giản đồ đơn giản chứa các phân kỳ trong QED. Trong chƣơng này, chúng ta xem xét việc sử dụng phƣơng pháp Bogoliubov để tách các tích phân khơng hội tụ thành hai phần ( phần phân kỳ và phần hữu hạn) của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của QED. Ta sẽ xem xét lần lƣợt các giản đồ: giản đồ năng lƣợng riêng của electron; giản đồ phân cực photon và giản đồ một vòng bậc ba. Phƣơng pháp Bogoliubov tƣơng tự nhƣ phƣơng pháp của Pauli- Villars đã đƣợc trình bầy trong [3]. Chúng ta sẽ đƣa vào một tham số vơ cùng lớn M , sau đó sẽ chuyển các tích phân phân kỳ thành một tích phân tƣơng ứng. Sử dụng biểu diễn , sau đó áp dụng các tích phân Gauss và các kỹ thuật tính tốn cuối cùng chúng ta sẽ thu đƣợc các phân kỳ trong tích phân ban đầu sẽ chuyển sang số hạng chứa M .