3.5 Phổ đồ thị và bài toán của Richard Brualdi
3.5.2 Đối phổ của đồ thị hai phần đầy đủ
Ta cần kết quả sau để chứng minh Định lý 3.5.3.
Định lý 3.5.9 ([5]). Cho G là đồ thị có n đỉnh và H là đồ thị con cảm sinh của G có m đỉnh. Giả sử rằng λ1(G)≥ . . . ≥ λn(G) và λ1(H)≥ . . . ≥ λm(H) là các giá trị riêng của G vàH. Khi đó với mọi i, 1≤ i≤ m, λi(G)≥ λi(H)≥
λn−m+i(G).
Định lý 3.5.10 ([4]). Đồ thị có đúng một giá trị riêng dương khi và chỉ khi các đỉnh khơng cơ lập của nó tạo thành một đồ thị đa phần đầy đủ.
Định lý 3.5.11 ([4]). Cho G là đồ thị có n đỉnh, khơng có đỉnh cơ lập. Khi đó 0< λ2(G) < 1
3 khi và chỉ khi G ∼
= (K1∪K2)∇Kn−3, trong đó λ2(G) là giá trị riêng lớn thứ hai của G.
Hai bổ đề sau là thiết yếu trong chứng minh của Định lý 3.5.3.
Bổ đề 3.5.12. Cho m và n là hai số nguyên dương. Giả sử m+ 2 ≤ n < m− 1 + 2√
m−1. Khi đó giá trị nhỏ nhất của |√rs−√mn| trong những số nguyên dương r và s thỏa mãn r≤ s,(r, s)6= (m, n) và r+s≤ m+n, chỉ đạt
được tại (r, s) = (m+ 1, n−1).
Chứng minh. Ta xét các trường hợp sau:
(1) Cho rs ≥ mn. Vì m+ 2 ≤ n < m−1 + 2√
m−1, m+n−12 2 < mn. Do đó với hai số nguyên dương r và s, nếu r+s ≤ m+n−1, thì
rs ≤ r+s 2 2 ≤ m+n−1 2 2 < mn.
Vậy giá trị nhỏ nhất đạt được tạirvàssao chor+s= m+n.Chor+s =m+n.
Định nghĩa f(r) = r(m+n−r) với mọi số thực r ≥ 1. Cho nên f(r) ≥ mn
khi và chỉ khi m ≤ r ≤ n. Mặt khác f tăng trên khoảng m,m+n2 và giảm trên m+n2 , n. Điều này chỉ ra giá trị nhỏ nhất của f(r) tại các số nguyên của khoảng[m+ 1, m−1] hiển nhiên đạt được tại m+ 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của |√rs−√mn| đạt được tại (r, s) = (m+ 1, n−1).
(2) Cho rs ≤ mn. Tương tự với phần trên ta có thể thấy rằng giá trị nhỏ
Bây giờ vì p
(m+ 1)(n−1)−√mn < √
mn−p(m−1)(n+ 1), điều phải chứng minh.
Nhận xét 3.5.13. Kết luận chính của Bổ đề 3.5.12 là tính duy nhất của cặp (r, s) mà tại đó đạt được giá trị cực tiểu. Điều kiện
m+ 2≤ n < m−1 + 2√
m−1
của các số nguyên dương m và n trong Bổ đề 3.5.12 khơng thể bỏ được: ví dụ nếu m = 4 và n= 53, thì giá trị nhỏ nhất của |√4·53−√rs| đạt tại các cặp điểm (10,21),(5,42),(14,15),(7,30) tất cả đều có cùng tích.
Bổ đề 3.5.14. Chom ≥12 là một số nguyên dương vàf(x) =p(m+ 1)(x−1)− √
mx với mọi số thực x ≥ 1. Khi đó với bất kì m + 1 ≤ n ≤ m − 1 + 2√
m−1, f(x)<
q 1 18.
Chứng minh. Dễ thấy f tăng và không âm trên khoảng [m+ 1,∞). Cho α là một số thực dương. Ta có f(αm) =
q
α(m+ α−12α )2− (α−1)4α 2 −1− √αm2 ≤ q
α(m+ α−12α )2−√αm2. Do đó f(αm) ≤ 2α−1√
α. Điều này chỉ ra nếu α = 1.59, thì f(αm) <
q 1
18. Vì với mọi m ≥ 12, 1.59m > m−1 + 2√
m−1 và f tăng trên đoạn [m+ 1,∞), suy ra điều phải chứng minh.
Phương pháp sử dụng bên dưới để chứng minh Định lý 3.5.3 tương tự như chứng minh của Định lý 1.4 trong [13].
của Định lý 3.5.3. Cho m+ 2 ≤ n < m−1 + 2√
m−1. Vì với mọi số nguyên dương p và q Spec(Kp,q) = {−√pq,0, . . . ,0 | {z } p+q−2 ,√ pq},
suy ra λ(Km,n, Km+1,n−1) = 2(p(m+ 1)(n−1)−√mn)2. Ta có thể kiểm tra rằng với m ≤ 11, λ(Km,n, Km+1,n−1) < 19. Do đó theo Bổ đề 3.5.14, ta kết luận rằng λ(Km,n, Km+1,n−1)< 19.
Giả sử phản chứng tồn tại đồ thịH cóm+nđỉnh sao choH 6∼= Km,n, Km+1,n−1
vàλ(Km,n, H)< λ(Km,n, Km+1,n−1). Giả sửλ1 ≥ · · · ≥λm+n là các giá trị riêng của H. Do λ(Km,n, H)< 1, ta thu được |λ2| < 1. Do với mọi đồ thị ngoại trừ
đồ thị đầy đủ, giá trị riêng lớn thứ hai không âm, ta được 0≤ λ2 < 13. Bây giờ xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. Giả sử λ2 = 0. Do đó theo Định lý 3.5.10, tồn tại số nguyên dương k và n1, . . . , nk và số nguyên t ≥ 0 sao cho G ∼= Kt∪Kn
1,...,nk. Nếu k = 1, thì G ∼=Km+n nên λ(Km,n, H) = 2mn ≥ 2, mâu thuẫn. Nếu k = 2 thìH ∼= K
t∪Kr,s vớir vàs thỏa mãnr+s =m+n−t. Trong trường hợp này ta cóλ(Km,n, H) = 2(√
mn−√rs)2. Mâu thuẫn với Bổ đề 3.5.12. Do đó k ≥ 3. Nếu n1 = · · · = nk = 1, thì G ∼= K
t∪Km+n−t và do đó λ(Km,n, H) > 19, mâu thuẫn. Bây giờ ta giả sửG cóK1,1,2 là đồ thị con cảm sinh. Doλ3(K1,1,2) = −1, từ định lý Interlacing suy ra λ2m+n−1 ≥ 1 nên λ(Km,n, H)≥ 1, mâu thuẫn.
Trường hợp 2. Giả sử 0 < λ2 < 13. Theo Định lý 3.5.11, ta kết luận rằng tồn tại một số nguyên t ≥ 0 sao cho H ∼= Kt ∪ (K1 ∪K2)∇Km+n−t−3. Nếu
m+n−t−3 = 1,thì dễ thấyλ(Km,n, H)> 19, mâu thuẫn. Nếum+n−t−3> 1, thì H có K1,1,2 là đồ thị con cảm sinh và phần lập luận cịn lại tương tự như phần trước.
KẾT LUẬN
Đóng góp chính của luận văn bao gồm:
1. Trình bày lại những khái niệm cơ bản của lí thuyết phổ của đồ thị. 2. Nêu lại tính chất, mối quan hệ giữa phổ của đồ thị và các phép tốn đồ
thị.
3. Trình bày lại các kết quả về áp dụng phổ cho lí thuyết định tính của đồ thị.
Mặc dù đã cố gắng, tuy nhiên luận văn khơng tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] D. Cvetkovic, P. Rowlinson, S. Simic, 2010, "An Introduction to the The- ory of Graph Spectra", Cambridge University Press.
[2] de Abreu N. M. M., Old and new results on algebraic connectivity of graphs, Linear Algebra Appl. 423 (2007), 53-73.
[3] Alon N., Eigenvalues and expanders, Combinatorica 6 (1986), 83-96. [4] J.H. Smith, Symmetry and multiple eigenvalues of graphs, Glas. Mat. Ser.
III 12(1) (1977) 3–8.
[5] C. Godsil, G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, New York, 2001. [6] Alon N., Tools from higher algebra, in Handbook of Combinatoric. (eds. Graham R., Grotchel M., Lovasz L.), North-Holland Elsevier (Amsterdam) 1995, pp. 1749-1783.
[7] Alon N., Milman V. D., Eigenvalues, expanders and superconcentrators, Proc. 25th Annual Symp. on Foundations of Computer Science, Singer Island, Florida, IEEE ( 1984), pp. 320-322.
[8] Aton N., Milman V. D., λ1, isoperimetric inequalities for graphs, and su- perconcentrators, J. Combin. Theory Ser. B 38 (1985), 73-88.
[9] L. A. Vinh, On kaleidoscopic pseudo-randomness of finite Euclidean graphs, Discussiones Mathematicae Graph Theory 32(2) (2012) 279 – 287. [10] L. A. Vinh, Explicit construction of 3-e.c. graphs from quadrances, Aus-
tralasian Journal of Combinatorics 51 (2011), 3 – 6.
[11] D. Stevanivié, Research problems from the Aveiro Workshop on Graph Spectra, Linear Algebra Appl. 423 (2007) 172–181.
[12] A. Abdollahi, S. Janbanz, M. R. Oboudi, Distance between spectra of graphs, Linear Algebra Appl. 466 (2015) 401–408.
[13] A. Abdollahi, M.R. Oboudi, Cospectrality of graphs, Linear Algebra Appl. 451 (2014) 169–181.
[14] I. Jovanovi´c, Z. Stani´c, Spectral distances of graphs, Linear Algebra Appl. 436 (2012) 1425–1435.
[15] A. Abdollahi, Sh. Janbaz, M.R. Oboudi, Cospectrality measures of graphs with at most six vertices, preprint,