- Nếu 1 vế ≤ M, vế còn lại ≥ M suy ra 2 vế bằng nhau tại cùng 1 điểm thì điểm đó là nghiệm.
- Nếu khơng tồn tại điểm như vậy thì phương trình vơ nghiệm.
1.10.1.1 Ví dụ
Ví dụ 51. Giải phương trình:
sin3x+ cos3x= 2−sin4x
Giải
Nhận thấy V T = sin3x+ cos3x≤sin2x+ cos2x= 1, dấu bằng đạt được khi:
sin3x= sin2x cos3x= cos2x ⇔ " cosx= 0,sinx= 1 cosx= 1,sinx= 0
V P = 2−sin4x≥1, dấu bằng đạt được khi sin4x= 1 ⇔sinx=±1
Vậy phương trình đã cho tương đương với: sinx= 1 ⇒x= π
2 + 2kπ, k ∈Z Ví dụ 52. Giải phương trình:
sinxsin 2xsin 3x= 1
Giải
Vì |sinx| ≤1; |sin 2x| ≤1;|sin 3x| ≤1 nên vế trái ≤1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
|sinx|= 1 |sin 2x|= 1 |sin 3x|= 1
Nếu|sinx|= 1 thì cosx= 0 và |sin 2x|=|2 sinxcosx|= 06= 1
Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 53. Giải phương trình:
6 sinπx−x2+ 5x−12,25 = 0
Giải
6 sinπx=x2−5x+ 12,25⇔6 sinπx= x− 5 2 2 + 6
Nhận thấy rằng vế trái = 6 sinπx≤6. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: sinπx= 1⇒πx= π 2 + 2kπ⇒x= 2k+ 1 2, k ∈Z Vế phải= x− 5 2 2
+ 6≥6, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x− 5
2 = 0⇒x= 5
2 ứng với k= 1
Vậy phương trình có nghiệm x= 5
2 là duy nhất.
Ví dụ 54. Tìm các cặp số (a, b) để với mọi x ta đều có:
a(cosx−1) +b2+ 1−cos(ax+b2) = 0
Giải
Điều kiện cần:
Vì phương trình đúng với mọix, nên với x=π vàx= 2π thì ta có:
1−2a+b2 = cos(aπ+b2) (1)
b2 = cos(2πa+b2)−1(2)
Từ (2) suy ra b2 ≤0⇒b= 0. Cũng từ (2) lại có cos(πa) = 1⇒a∈Z
Mặt khác, từ (1) suy ra:
cos(πa) = 1−2a⇒ −1≤1−2a≤1⇒0≤a≤1⇒a = 0 hoặc a= 1
Điều kiện đủ:
Với a= 0, b= 0 và mọi x ta đều có: 1−cos 0 = 1−1 = 0 (đúng) Với a= 1, b= 0 và mọi x ta đều có: cosx−cosx= 0 (đúng) Vậy có 2 cặp (a, b)là (0; 0) và (1; 0)
Ví dụ 55. Với giá trị nào của a thì phương trình:
1 + sin2ax= cosx
có nghiệm duy nhất.
Giải
Vì phương trình đối xứng theo x, nên nếu có nghiệm thì x cũng có nghiệm −x. Vậy
muốn có nghiệm duy nhất thì x=−x⇒x= 0.
Do sinx và cosx là các hàm tuần hoàn, nên nếu a hữu tỷ thì sinax tuần hồn và do đó phương trình có nghiệm khác 0.
Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thìa vơ tỷ.
1.10.1.2 Bài tập
1)sin14x+ cos13x= 1
2)cosxsin 2xcos 5x= 1
3)3 sinπx+x2−3x+ 5,25 = 0
Bài 57. Tìm mọi cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình:
a) cos2x+ 1 cos2x 2 + sin2x+ 1 sin2x 2 = 12 +1 2siny b)cos 3x+√ 2−cos23x= 2(1 + sin22x) c) sin3x 2 + 1 sin3 x 2 + cos3 x 2 + 1 cos3 x 2 = 81 4 cos 24x
Bài 58. Chứng minh rằng: Với a >1 thì phương trình sin4x+ cos4x=a vơ nghiệm. Bài 59. Tìm tất cả các cặp số (a, b) để với mọi x ta đều có:
1)asinx+b= sin(ax+b)
2)aex+b =eax+b, biết e= 2,71828... và (ex)0 =ex
3)alnx+b= ln (ax+b), biết (lnx)0 = 1
x đúng với ∀x >0
Bài 60. Giải phương trình: