3 Sự hội tụ yếu trong không gia nC và ứng dụng
3.1.2 Hàm ngẫu nhiên
Cho(Ω,F,P)là một không gian xác suất và X ánh xạ từ Ω vào trong C: X(w) là một phần tử của C với giá trị: Xt(w) = X(t, w) tại t.
Với t cố định, ký hiệu Xt =X(t)là hàm thực trên Ω với giá trị Xt(w) tại w; Xt là hợp của πtX, ở đó πt là phép chiếu tự nhiên trong Ví dụ 2.1.3. Ký hiệu
(Xt1, . . . , Xtk)là ánh xạ biến w thành (Xt1(w), . . . , Xtk(w)) = πt1...tk(X(w))
trong Rk.
Nếu X là một hàm ngẫu nhiên, tức là F/C đo được thì hợp πt1...tkX là
F/Rk đo được nên (Xt1, . . . , Xtk) là một véc tơ ngẫu nhiên. Tuy nhiên, lập luận có thể bị bãi bỏ: tập hữu hạn chiều tổng quát có dạng A = πt−1
1...tkH,
H ∈ Rk và nếu πt1...tkX là F/Rk đo được thì X−1A= (πt1...tkX)−1H ∈ F;
nhưng do lớp các tập hữu hạn chiều Cf sinh ra C nên X là F/C đo được. Do đó, X là một hàm ngẫu nhiên nếu và chỉ nếu mỗi (Xt1, . . . , Xtk) là một véc tơ ngẫu nhiên và dĩ nhiên điều này xảy ra khi và chỉ khi mỗi Xt là một biến ngẫu nhiên.
Cho P = PX−1 là phân phối của X thì P{(Xt1, . . . , Xtk)∈ H} =P π−1t1...tkH
và phân phối hữu hạn chiều của P là phân phối của các véc tơ ngẫu nhiên khác nhau (Xt1, . . . , Xtk).
Giả sử X, X1, X2, . . . là các hàm ngẫu nhiên.
Định lý 3.1.5. Nếu (Xtn 1, . . . , Xtn k)⇒n (Xt1, . . . , Xtk) ∀t1, . . . , tk. (3.13) Và nếu lim δ→0lim sup n→∞ P{w(Xn, δ)≥ }= 0 với mỗi >0. (3.14) thì Xn ⇒n X.
Chứng minh. Gọi P và Pn là các phân phối của X và Xn. Vì (3.13) tương đương với Pnπt−1
1...tk ⇒ P πt−1
sẽ có điều phải chứng minh được suy ra từ Định lý 3.1.1 nếu ta chỉ ra được rằng dãy {Xn} là chặt theo nghĩa {Pn} chặt.
Có X0n ⇒n X0 kéo theo{Pnπ0−1}chặt. Vì (3.14) chuyển thành (3.8) nên điều kiện (ii) của Định lý 3.1.3 đúng hay {Pn} chặt thực sự.
Dựa vào Định lý 2.3.2 ta có thể chứng minh định lý này theo cách khác.
Chứng minh. Với u = 1,2, . . . xác định ánh xạ Mu từ C vào chính nó theo cách: Lấy Muxlà hàm đa giác trongC, bằng vớix tại các điểmi/u,0≤ i≤u
và được xác định bởi phép nội suy tuyến tính giữa các điểm này:
(Mux)(t) = (i−ut)x i−1 u + (ut−(i−1))x i u , i−1 u ≤t ≤ i u.
Vì Mux bằng x tại các điểm cuối của mỗi khoảng [(i−1)/n, i/n] nên ta có
ρ(Mux, x)≤ 2wx(1/u).
Ta xác định ánh xạ Lu :Ru+1 →C bởi: Vớiα= (α0, . . . , αu), lấy(Luα)(t) =
(i−ut)αi−1+(ut−(i−1))αivớit ∈[(i−1)/u, i/u]; đây là một hàm đa giác khác
và giá trị của nó làαitại các điểm góc. Rõ ràng,ρ(Luα, Luβ) = maxi|αi−βi|,
do đó Lu là liên tục; và Mu =Luπt0...tu nếu ti = i/u.
Theo (3.13), πt0...tuXn ⇒n πt0...tuX (với ti = i/u) và do Lu liên tục nên theo nguyên lý ánh xạ thì MuXn ⇒n MuX.
Do ρ(MuX, X)≤ 2w(X,1/u) và X là một phần tử trong C nên ρ(MuX, X)
dần tới 0 h.c.c và do đó dần tới 0 theo xác suất. Từ đó MuX ⇒u X theo hệ quả của Định lý 2.3.1.
Cuối cùng, từ (3.14) và bất đẳng thức ρ(MuXn, Xn)≤ 2w(Xn,1/u)ta được
lim
u lim sup
n
P{ρ(MuXn, Xn)≥ }= 0.
Kết hợp với MuXn ⇒n MuX ⇒u X và áp dụng Định lý 2.3.2 ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh thứ hai của ta khơng địi hỏi khái niệm về tính compact tương đối và tính chặt và khơng sử dụng Định lý Prohorov.
Biến tọa độ
Phép chiếu πt, với giá trị πt(x) = x(t), là một biến ngẫu nhiên trên (C,C).
Ta ký hiệu nó bởi xt: với t cố định, xt có giá trị x(t) tại x. Nếu P là một độ đo xác suất trên (C,C) và t như là tham số chỉ thời gian thì {xt : 0≤ t≤ 1}
trở thành một quá trình ngẫu nhiên và xt được gọi chung là các biến hay các hàm tọa độ. Ta nói phân phối của xt đối với P và thường viết P{xt ∈ H}
thay cho P{x: xt ∈ H} và R xtdP thay cho RCxtP(dx). Cuối cùng, khi t là một biểu thức phức tạp, đôi khi ta quay trở lại x(t).