3.5 .H Schră oder và đặc tính của chuẩn
3.5.1. Đặc tính của các chuẩn
Xét không gian lp gồm các dãy số thực hoặc phức khả tổng bậc p (p≥1):
lp = ( x= (xn)n∈N :xn ∈K, ∞ X i=1 |xi|p <∞ )
Không gian này cùng với chuẩn:
kxk= ∞ X i=1 |xi|p !1/p
là một không gian Banach. Chúng ta xét ϕ(t) =c.tp thì cơng thức trên trở thành:
kxkϕ =ϕ−1 ∞ X ϕ(|xi|) ! (3.42)
Một câu hỏi đặt ra là tồn tại hay khơng hàm ϕtăng nghiêm ngặt từR+ vào chính nó, ϕ(0) = 0, ϕkhông phải hàm lũy thừa sao cho (3.42) xác định một chuẩn trong không gian lp bao gồm các dãy thực hoặc phức x mà ϕ- khả tổng, tức là:
∞ X
i=1
ϕ(|xi|)<∞
Chúng ta chỉ ra rằng câu trả lời là khơng. Sử dụng tính chất tuyến tính của chuẩn cho (3.42) chúng ta sẽ quy bài tốn về việc tìm nghiệm chung tăng nghiêm ngặt của hai phương trỡnh Schrăoder. Chỳng ta tin hành như sau:
Lấy dãy đầu tiên là x = (1, 1, 0, 0, . . . ) và tiếp theo x = (1, 1, 1, 0, 0, . . . ) trong cả hai trường hợp xi = 0, ∀i ≥4. Từ ktxkϕ =tkxkϕ với t > 0 chúng ta thu được từ (3.42):
ϕ−1(2ϕ(t)) =tα ϕ−1(3ϕ(t)) = tβ
Ở đó α=ϕ−1(2ϕ(1)), β =ϕ−1(3ϕ(1)), vì vậyϕ−1 phải thỏa mãn hệ phng trỡnh Schrăoder đồng thời trên (0,∞).
ϕ−1(2t) =αϕ−1(t)
ϕ−1(3t) =βϕ−1(t) )
(3.43)
Chúng ta sẽ thấy rằng hệ (3.43) chỉ có nghiệm là các hàm lũy thừa như trong câu hỏi. Theo cách này chúng ta sẽ thu được đặc tính của chuẩn trên lp.
3.5.2. Hệ các phương trỡnh Schrăoder ng thi
Chúng ta sẽ giải hệ σ(at) =α.σ(t) σ(bt) = β.σ(t) ) t >0 (3.44) Ở đó a, b, α, β là các hằng số thực dương, a6= 1, b6= 1. Định lí 3.5.1.
(a) Cho logb/loga là số vô tỉ. Nếu hàm đơn điệu nghiêm ngặt σ: (0,∞)→R thỏa mãn hệ (3.44) thì có một c∈R\ {0} sao cho
σ(t) = ctp với t > 0 (3.45)
ở đó
hơn nữa
logα
loga =
logβ
logb (3.47)
(b) Nếu (3.47) đúng thì các hàm (3.45) với p đã cho theo (3.46) và bất kỳ c∈ R
sẽ thỏa mãn hệ (3.44) (và đơn điệu nghiêm ngặt khi c6= 0 và p6= 0).
Chứng minh.
Khẳng định (b) là hiển nhiên.
Chúng ta giả sử rằng logb/loga là một số vô tỷ và σ : (0,∞) → R là một nghiệm đơn điệu của phương trình (3.44). Đổi biến nếu cần thiết, khi đó phương trình đầu của hệ (3.44) có thể đưa về dạng (a−1t) =σ−1σ(t) với a > 1 và b > 1.
Nếu chúng ta có σ(t0) = 0 với t0 ∈ (0,∞) thì theo (3.44) ta cũng có σ(at0) = 0 = σ(t0) điều này trái ngược với tính khả nghịch của σ. Vì vậy, nói riêng ta có σ(1) 6= 0 và chúng ta có thể giả sử rằng σ(1) = 1. (trong trường hợp ngược lại ta
sẽ xét nghiệm σ/σ(1) thay cho σ).
Do σ tăng nghiêm ngặt trên (0,∞) nên σ >0 và σ(t)≥ σ(1) = 1 với t≥ 1 và nếu
t0∈(0,1) thì ant0>1 với n đủ lớn vậy theo (3.44) σ(t0) =σ−nσ(ant0)> α−n >0. Theo (3.44) chúng ta thu được α = σ(a) > σ(1) = 1 và β = σ(b) > 1 do a>1 và b>1. Lặp đi lặp lại (3.44) và hợp các phương trình kết quả chúng ta được:
σ(anbmt) =αnβmσ(t), t >0, m, n∈Z
khi thay t = 1 ta được:
σ(anbm) =σ(a)nσ(b)m, m, n∈Z (3.48) Thương logb/loga là số vơ tỉ. Vì vậy, tập hợp:
D={x∈(0,∞) :x=anbm, n, m∈Z}
trù mật trong (0,∞)(nhận xét rằng anbm = exp (nloga+mlogb)và áp dụng tính chất 3.4.2). Với p cho bởi (3.46) ta có:
α=σ(a) = ap (3.49)
Chứng minh sẽ được hoàn thiện nếu chúng ta chỉ ra rằng σ(b) =bp. Từ (3.48) sẽ cho ta σ(t) =tp trên D và tính trù mật của D trong (0,∞) cùng với tính đơn điệu của σ sẽ ngụ ý (3.45) với c = 1. Để thu được kết quả, ta lấy hai dãy các số hữu tỷ xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới của logb/loga:
lim n→∞ pn qn = limn→∞ rn sn = logb loga (3.50)
và
apn/qn < b < arn/sn, n∈N (3.51) Ở đó pn, qn, rn, sn là các số nguyên dương (vì a, b > 1). Bất đẳng thức sau thu được từ (3.49), (3.48), (3.51) và tính đơn điệu của σ:
(ap)pn =σ(a)pn =σ(apn)< σ(bqn) =σ(b)qn tương tự ta có (ap)rn > σ(b)sn. Do đó: (ap)pn/qn < σ(b)<(ap)rn/sn, n∈N điều này và (3.50) ngụ ý rằng: σ(b) = (ap)logab =bp Từ α=ap và β =bp thì (3.47) đúng.
Trong trường hợp σ giảm nghiêm ngặt thì lập luận hồn tồn tương tự. Cuối cùng, (3.45) được kéo theo từ tính thuần nhất của các phương trình (3.44).
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng chứng minh định lý chính: Định lí 3.5.2.
Giả sử rằng ϕ: R+ →R+ là hàm tăng nghiêm ngặt và ϕ(0) = 0. Để lϕ,k . kϕ
là một không gian định chuẩn (với chuẩn (3.42)) thì điều kiện cần là có c > 0 và
p≥0 sao cho:
ϕ(t) =c.tp với t ≥0. Chứng minh.
Trong mục này đã chỉ ra rằng ϕ−1 phải thoả mãn hệ (3.43) trong R+. Hệ này khơng là gì nhưng cịn với a = 1, b = 3, σ =ϕ−1. Từ log2/log3 là vô tỷ, áp dụng định lý 3.5.1 chúng ta thu được ϕ−1(u) =duq, u∈(0,∞) ở đó d > 0 và q 6= 0. Do ϕ(0) = 0, ϕ(t) =ctp trong R+, c=d−1/q và p= 1q. Do đó (3.42) quy về (với mỗi c) chuẩn thơng thường trong lp, p ≥ 1. Vì vậy cuối cùng ϕ(t) = c.tp trong R+, ở đó
c >0 và p≥1.
3.6. Các chú ý
3.6.1. Nghim ca h tin Schrăoder
Các nghiệm của h tin Schrăoder (3.11) khơng thoả mãn bất kỳ phương trình Schrăoder (3.10) no. Để thấy được điều này ta lấy một tập X, một hàmf :X →X
và một quỹ đạo C ⊂X cái này hoặc là không chứa điểm cố định củaf hoặc chứa một điểm cố định bậc chẵn. Chúng ta định nghĩa hàm σ:X →R
σ(x) = (−1)p−q với x∈C và σ(x) = 1 với x∈X\C
Ở đó p và q là các số nguyên dương nhỏ nhất sao cho fp(x) = fq(x0) với một
x0 ∈C cố định cho trước.
Các phương trình (3.12) và (3.13) được thoả mãn với ω(x) được định nghĩa bằng -1 trên C và bằng 1 trên X\C. Theo định lý 3.2.1, σ là một nghiệm của (3.11). Nhưng nó khơng thoả mãn (3.10) với bất kỳ s nào.
3.6.2. Các tự đẳng cấu tăng
Bài toán sau với các tự đẳng cấu tăng và đã được giải quyết một phần bởi M.Laczkovich – Sz. Révesz [18]. Chof1, ..., fn là các ánh xạ giao hoán từ một tập A bất kỳ vào chính nófi◦fj =fj◦fi. Vớiϕ:A→R, đặt ∆fϕ(x) =ϕ(f(x))−ϕ(x). Quan hệ sau
∆f
1.....∆fnϕ= 0
có ngụ ý rằng tồn tại các hàm ϕi : A → R đẳng cấu với fi sao cho ∆f iϕi = 0 và thoả mãn ϕ=ϕ1+ϕ2+...+ϕn?
Các tác giả đưa ra một câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi này trong các trường hợp sau:
(1) ϕ là hàm bị chặn và fi là các ánh xạ bất kỳ.
(2) ϕ∈Lp, 1≤p <∞ và fi là các ánh xạ đo được với độ đo không dời rạc. (3) ϕ∈L∞ (với không gian độ đoσ-hữu hạn(X, S, µ)) và fi là các ánh xạ đo được và khơng ánh xạ các tập có độ đo dương thành tập có độ đo khơng.
3.6.3. Định lý 3.3.4
Cho u∈ [0,1] và f : [u,1] →[0,1] là hàm tăng nghiêm ngặt sao cho 0 < f(x) < x
trong (u,1), f(1) = 1, f(0) = 0 (nếu u = 0).
Khi u = 0, phương thức mở rộng mà chúng ta đề cập đến trong chứng minh của định lý 3.3.4 đúng với phương trỡnh Schrăoder (3.20)
ϕ(f(x)) = 2ϕ(x) (3.52)
như sau. Lấy một x0 ∈ (0,1) và đặt xk = fk(x0), Xk = [xk+1, xk], k ∈ Z thì (0,1) = ∞ S k=−∞ Xk. Chọn một hàm giảm nghiêm ngặt ϕ0 :X0→ [1,2] bất kỳ và mở rộng nó lên (0,1] bằng định nghĩa ϕ(x) = 2kϕ0 f−k(x), x∈Xk, k ∈Z, ϕ(1) = 0.
Hàm (giảm nghiêm ngặt) ϕ: [0,1]→R+ thỏa mãn (3.52) và là phần tử sinh của một s.A T có chéo là f.
của (3.52) trên [u, 1). Những gì chúng ta cần là lấy x0=u và giả sử rằng [u,1) = ∞
S
n=1
X−n.
(Trong cả hai trường hợp nghiệm thu được phụ thuộc vào một hàm bất kỳ).
3.6.4. Các phương trình vi phân có lệch
Để minh họa cho q trình quy các phương trình vi phân có lệch chúng ta đưa ra ví dụ sau (cái này theo F.Neuman [20]).
Ví dụ 1.
Phương trình vi phân:
y0(x) =ky(xp), x∈(1,∞)
Ở đó k 6= 0, p ∈ (0,1) được biến đổi thành z0(t) = g(t).z(t+ 1) với phép đổi biến
t = α(x), y(x) = z(t) = (z◦α) (x), ở đó α(x) = −(log logx)/logp là một nghiệm của phương trình.
α(xp) =α(x) + 1
ở đây g(t) = −k.logp.exp [exp(−tlogp)−tlogp].
3.6.5. Áp dụng định lý 3.4.5
Chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó định lý 3.4.5 được áp dụng (Neuman [21])
Ví dụ 2.
a. Phương trình vi phân:
y0(x) = y(x1/2) +y(x4), x∈X = (1,∞)
Trở thành một phương trình với lệch hằng t – 1, t + 1 bằng phép đổi biến t=α(x).
Theo định lý 3.4.5(a) vớif1(x) = x1/2 vàf2(x) =x4 chúng ta có f1 =g−1 và f2 =g2
ở đó g :X →X, g(x) = x2. Hàm α là nghiệm của phương trình α(x1/2) =α(x) + 1,
thuộc lớp C2 trên X, α0(x)>0. b. Phương trình vi phân:
y0(x) =y(x1/2) +y(x3), x∈X
Cũng có thể đưa về phương trình với lệch hằng t−K1log 2, t+K1log 3, K1 >0. Ở đây tập G = {(x, xa) :a= 2p3q, p, q∈Z, x∈X} trù mật trong X2. Hàm H (xem (3.39)) được cho bởi H(x, y) = H(x, xa) = (xa)0 =a.xa−1 trên G bao gồm một mở
rộng trơn H* lên X2 được xác định bởi H∗(x, y) = (ylogy)/(xlogx) với (x, y)∈X2. Hợp nhất H* với biến đầu tiên chúng ta thu được α(x) =K1log logx+K2, K1 >0, theo định lý 3.4.5(b) đây là phép biến đổi mong muốn.
3.6.6. Định lý 3.5.2
Khẳng định của định lý 3.5.2 cũng đúng cho khơng gian Lϕ gồm các hàm ϕ-khả
tích x: [0,1]→R với chuẩn: kxkϕ=ϕ−1 1 Z 0 ϕ(|x(u)|)du
Vì vậy, khơng gianLϕ thực chất là một khơng gianLp với p– chuẩn thông thường. Hơn nữa, để k . k trong RN; N ≥4 được cho bởi:
kxk=ψ−1 N X i=1 ϕ(|xi|) !
Với ϕ, ψ : R+ → R+, ψ là hàm tăng nghiêm ngặt là một chuẩn điều kiện cần là
ϕ(t) =c1.tp, ψ(t) =c2tp, c1, c2 >0, p > 1
3.6.7. Hệ phương trình Schrăoder
H cỏc phng trỡnh Schrăoder (
ϕ(x+p) = aϕ(x)
ϕ(x+q) = bϕ(x) (3.53)
đã được xem xét bởi W.E.Clark – A.MuKherjea [6]. Các hằng số a, b là các số dương và p/q là số vô tỷ.
Mệnh đề 3.6.1.
Nếu có nghiệm khác khơng ϕ:R→R của hệ (3.53) mà dương tại một điểm, bị chặn trên một khoảng thì ap = bq. Đảo lại, nếu ap = bq thì mọi nghiệm đo được Lebesgue của (3.53) đều tương đương với ϕ(x) =c.ax/p
3.6.8. Phng trỡnh Schrăoder, Abel và phương trình vi phân
Các phng trỡnh Schrăoder v Abel được liên kết với các phương trình vi phân nonautonomous
như đã được chỉ ra bởi PH. Diamond [7].
Trong tiên đề dưới đây chúng ta sẽ dùng dãy các xấp xỉ liên tiếp tổng quát với các số hạng
F0(x) = x, Fn+1(x) =Fn(fn+1(x)), n∈N (3.54) Ở đó fn+1(x) thuộc miền xác định của Fn, đặt Uδ ={x∈C:|x|< δ}, δ > 0. Mệnh đề 3.6.2.
Cho fn : Uδ → C là các hàm giải tích trong Uδ, |fn(x)| < |x|, ∀x ∈ Uδ\ {0} với các khai triển: fn(x) =s(n).x+ ∞ X i=2 ai(n).xi Và 0 < p ≤ |s(n)| ≤ r < 1, n ∈ N, p ≤ r. Giả sử rằng dãy {fn(x)}n∈ N hội tụ đều trên Uδ tới hàm f thì tồn tại giới hạn:
σ(x) = lim n→∞Fn(x) n Y j=1 s(j)−1 (3.55)
là hội tụ đều trên Uη ⊂Uδ và σ l mt nghim gii tớch ca phng trỡnh Schrăoder
σ(f(x)) =s.σ(x) trên Uη ở đó s=f0(0) = lim
n→∞s(n).
3.6.9. Nửa nhóm các xấp xỉ liên tục
Phương trình Schrăoder σ(f(x)) = 12σ(x), f(x) = 21(x+x2), x ∈ X = [0,1] chứa nghiệm chính σ(x) = lim
n→∞2nfn(x), x∈X là tăng nghiêm ngặt trên X. Tương tự, hàm π(y) = lim
n→∞fn 1− 23ny xác định và giảm nghiêm ngặt trên R+ và thỏa mãn phương trình Poincaré π 32y = f(π(y)), y ∈ R+. Cả hai hàm này có thể được dùng để xác định nửa nhóm các xấp xỉ liên tục (xem mục 1.7) chứa nửa nhóm rời rạc {fn, n∈N} tức là F1t = σ−1◦(2−tσ) và F2t = π◦ 32tπ−1
, t∈R+
Điều này gắn với bài toán đã được xem xét trong Karlin – McGregor [17]. Hai nửa nhóm sẽ đồng nhất trong (0, 1) nếu và chỉ nếu hàm
K(y) =ypσ(π(y)), p= log 2/log(3/2) (3.56) là hằng số. Tuy nhiên, mặc dù K(y) = 1.213205784311. . . với mọi y > 0 nhưng giá trị của K(y) sẽ thay đổi với y từ số thập phân thứ 13 trở đi.
Các tính chất của K trong trường hợpf phức tổng quát đã được nghiên cứu triệt để bởi S. Dubuc [8] người đã gọi K là hàm Karlin – McGregor và đã giải thích được hiện tượng thay đổi nhỏ này của hàm (3.56).
3.6.10. Các phương trình Abel đồng thời
M.C.Zdun [29] đã xem xét các phương trình Abel đồng thời (
ϕ(f(x)) = ϕ(x) + 1
ϕ(g(x)) =ϕ(x) +s (3.57)
Với x∈X = (0, a),0< a≤ ∞. Trong trường hợp sau
(i) f và g là các đồng phơi giao hốn từ X vào X và fm(x)6= gn(x) trên X, ở đó (m, n)∈Z2\ {(0,0)}.
Cho L là tập các điểm giới hạn của C(x) = {fm◦gn(x) : m, n∈Z} với x ∈ X.
Trong Zdun [29] đã chứng minh được rằng L không phụ thuộc vào X và hoặc L là tập khơng đâu trù mật hồn tồn hoặc L= [0, a].
Mệnh đề 3.6.3.
Giả sử (i) đúng, khi đó có chỉ một s∈ R sao cho hệ (3.57) có một nghiệm liên tục ϕ:X →R, s này là vơ tỷ thì nghiệm liên tục của (3.57) là duy nhất sai khác một hằng số cộng, là đơn điệu và ánh xạ L∩X vào R. Hơn nữa, nó khả nghịch nếu và chỉ nếu L= [0, a].
Trong luận văn này em đã trình bày những nội dung sau:
Tổng hợp đầy đủ các kiến thức về tính chất nghiệm của phương trình hàm tuyến tính. Từ đó áp dụng vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm ca cỏc phng trỡnh Schrăoder và Abel. Các tính chất chính quy nghiệm của các phương trình Schrăoder v Abel nh tớnh tính lồi (lõm), tính khả vi, tính đơn điệu, tính trơn, tính giải tích, .... của nghiệm đã được thể hiện đầy đủ trong luận văn này.
Trình bày một số áp dng liờn quan ca cỏc phng trỡnh Schrăoder và Abel. Trong luận văn này đã đưa ra hai ví dụ tiêu biểu, một ví dụ áp dụng phương trình và hệ phương trình Abel để tìm phép biến đổi đưa phương trình vi phân với lệch biến về phương trình vi phân với lệch hằng, một ví dụ áp dụng phương trình v h phng trỡnh Schrăoder để chứng minh một đặc tính của chuẩn các dãy số thực hoặc phức trong không gian lp. Mặc dù số lượng ví dụ đưa ra trong luận văn khơng nhiều nhưng nó đã thể hiện được mục tiêu kiến thức mà luận văn đề cập tới, thể hiện được một số vấn đề thiết thực trong tốn học giải tích.
[1] ACZÉL J. (1966), Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, NewYork.
[2] BARNA B. (1960), Uber die Iteration reeller Funktionen. I, II, Math. De- brecen.
[3] BODEWADT U.T. (1944),Zur Iteration reeller Funktionen, Math. Zeitschr. [4] BARVÍNEK E. (1961), On the distribution of zeroes both of solutions to the linear differential equation y00 = Q(t)y and of their derivatives, Acta. Fac. Nat. Univ. Comenian.
[5] CHOCZEWSKI J. (1963), On differentiable solutions of a functional equa- tion, Ann. Polon. Math.
[6] CLARK W.E - MUKHERJEA A. [1] (1980), Comments on a functional equation, Real Anal. Exchange.
[7] DIAMOND PH. (1981), The Schrăoder and Abel functional equation and nonautonomous differential equations, preprint, University of Queensland.
[8] DUBUC S. (1982), Etude théorique et numérique de la fonction de Karlin- McGregor, Journal d’Anal. Math.
[9] DARSOW W.F. - FRANK M.J. (1983), Associative functions and Abel- Schrăoder systems, Publ. Math. Debrecen.
[10] HARTMAN PH. (1960), On local homeomorphims of Euclidean spaces, Bol. Soc. Mat. Mexicana.
[11] HARTMAN PH. (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons. NewYork.
[12] FATOU P. (1919),Mémoire sur les équations fonctionnelles, Bull. Soc. Math. France.
[13] KOENIGS G. (1884), Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup.
[14] KUCZMA M. (1973), Quelques observations à propos de l’équation pré- Schrăoder, Ann. Polon. Math.
[15] KUCZMA M. (1974), Note on linearization, Ann. Polon. Math.
[16] KUCZMA M. (1985), An introduction to the theory of funcional equations and inequalities. Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Polish Scientific Publishers, Warsaw.
[17] KARLIN S. - MCGREGOR J. (1968), Embedding iterates of analytic func- tions with two fixed points into continuous groups, Trans. Amer. Math. Soc.
[18] LACZKOVICH M. - ZÉVESZ SZ. (1986), Decomposition into periodic func- tions belonging to a given Banach space, manuscript, University of Budapest.
[19] MATKOWSKI J. (1983), On a characterization of norms in Lp and func- tional equations, Proceedings of the International Conference on Functional Equations and Inequalities.
[20] NEUMAN F. (1981), On transformations of differential equations and sys- tems with deviating argument, Szechoslovak Math.
[21] NEUMAN F. (1982), Simultaneous solutions of a system of Abel equations and differential equations with several deviations, Szechoslovak Math.
[22] ROTA G. C. (1990), Interative Function Equations, volume 32, Cambridge. NewYork.
[23] SIEGEL C. L. (1956), Vorlesungen uber Himmelsmechanik, Spinger Verlag. Berlin.
[24] SMAJDOR W. (1968), Local analytic solutions of the functional equation
ϕ(z) =h(z, ϕ[f(z)]) in multidimensional spaces, Aequationes Math.
[25] SENETA E. (1969), On Koenigs’ ratios for iterates of real functions, J. Aus- tral. Math. Soc.
[26] STERNBERG S. (1957), Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer. J. Math.
[27] STERNBERG S. (1958), On structure of local homeomorphisms of euclidean n-spaces, Amer. J. Math.
[28] TARGONSKI GY. (1970), P 63, Aequations Math.