2 Các độ đo rủi ro tài chính
2.3 Xây dựng độ đo rủi ro
Để thuận tiện, X là biến ngẫu nhiên miêu tả giá trị tương lai về lợi nhuận hay thua lỗ của một danh mục đầu tư trên trục thời gian cố định
T kể từ hôm nay và α = A% ∈ (0,1) sẽ là phần trăm biểu diễn một mẫu “các trường hợp tồi tệ nhất” cho danh mục đầu tư mà ta muốn phân tích. Đưa ra thơng tin này, VaR của danh mục với các tham số T và A%
đơn giản được cho bởi tổn thất tương ứng với phân vị liên quan x(α) của phân phối.
x(α)(X) = sup{x|P[X ≤ x] > α} (2.21)
V aR(α)(X) = −x(α)(X) (2.22) Thống kê này trả lời cho câu hỏi sau:
Cái nào là tổn thất nhỏ nhất xảy ra trong A% các trường hợp tồi tệ nhất của danh mục đầu tư của ta?
Đây là câu hỏi thường xuyên được hỏi nhất trong quản lý rủi ro tài chính ngày nay. Và vì “tổn thất nhỏ nhất ” đó trong định nghĩa VaR của nó khơng là độ đo cộng tính dưới. Hơn nữa, để đơn giản ngưỡng xác suất
A%tổn thất, VaR không phân biệt độ trầm trọng của tổn thất vượt quá ngưỡng thực tế như thế nào. Hình dung cần phải tạo ra các danh mục đầu tư với VaR như nhau và các mức độ rủi ro khác nhau với cùng A%
mẫu trường hợp tồi tệ nhất.
Ta biến đổi câu hỏi trên thành câu hỏi sau:
Cái nào là kỳ vọng tổn thất xảy ra trong A% trường hợp tồi tệ nhất của danh mục? (4)
Ta muốn chỉ ra đây là ý tưởng tốt bởi ít nhất hai lý do khác nhau. Thứ nhất, vì câu hỏi này rõ ràng là câu hỏi tự nhiên hơn phát sinh khi xem xét các rủi ro của một mẫu cụ thể các trường hợp tồi tệ nhất. Thứ hai, vì nó dẫn dắt tự nhiên tới định nghĩa của một thống kê cộng tính dưới như ta sẽ thấy trong vài bước tiếp theo.
Khơng khó khăn để hiểu rằng nếu hàm phân bố của danh mục đầu tư liên tục thì thống kê trả lời câu hỏi trên đơn giản được cho bởi giá trị kỳ vọng điều kiện dưới phân vị hay “kỳ vọng điều kiện đuôi”.
T CE(α)(X) = −E{X|X ≤ x(α)}. (2.23) Tuy nhiên với các phân phối tổng quát hơn, thống kê này không thỏa mãn câu hỏi (4) vì biến cố X ≤ x(α) có thể xảy ra với xác suất lớn hơn
Thật vậy, T CE là độ đo rủi ro chỉ khi được giới hạn trên các hàm phân phối liên tục trong khi có thể khơng thỏa mãn tính cộng tính dưới với phân phối tổng quát.
Để hiểu thống kê nào thực sự ẩn trong câu hỏi (4), ta xét một số lớn
n các thể hiện {Xi}{i=1,···,n} của biến ngẫu nhiên X. Ta đơn giản phải sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần và lấy trung bình A%giá trị đầu tiên. Để làm điều này, định nghĩa thống kê thứ tự X1:n ≤ · · · ≤ Xn:n là các giá trị đã được sắp xếp của bộ n thành phần (X1,· · · , Xn) và xấp xỉ số
A% phần tử trong mẫu bởi ω = [nα] = max{m|m > nα, m ∈ N}, phần nguyên của nA%, lựa chọn sao cho n lớn có thể thay đổi với làm trịn nguyên khác bất kỳ hay cắt bỏ gần với nα. Do đó tập A% trường hợp tồi tệ nhất được biểu diễn bởi ít nhất ω kết quả {X1:n,· · · , Xω:n}.
Bỏ qua bàn luận chi tiết của ước lượng phân vị ta có thể định nghĩa ước lượng tự nhiên cho phân vị mức α, x(α) sau đây
x(α)n (X) = Xω:n.
Ước lượng tự nhiên cho kỳ vọng tổn thất trong A% trường hợp tồi tệ nhất đơn giản được cho bởi:
ESn(α)(X) = − Pω
i=1Xi:n ω
= −(Trung bình của ít nhất A% kết quả Xi)
ta gọi là rủi ro thua lỗ trung bình A% của mẫu. Chú ý rằng khi đó ước lượng tự nhiên cho T CE
T CEn(α)(X) =− Pn i=1Xi1{Xi≤Xω:n} Pn i=11{Xi≤Xω:n} = −(Trung bình của tất cả Xi ≤ x(α)n )
nói chung là trung bình của nhiều hơn A% các kết quả. Điều này có thể xảy ra khi xác suất của biến cố X = x(α)n là dương (trường hợp hàm phân phối rời rạc) nên có thể có nhiều lần xảy ra giá trị Xi = Xω:n. Dễ thấy ESn(α) cộng tính dưới với n cố định bất kỳ. Xét hai biến X và Y và số n thể hiện đồng thời {(Xi, Yi)}{i=1,···,n}. Ta có thể chứng minh cộng
tính dưới: ESn(α)(X +Y) = − Pω i=1(X +Y)i:n ω (2.24) ≤ − Pω
i=1(Xi:n +Yi:n)
ω
= ESn(α)(X) +ESn(α)(Y)
Kết quả này rất khích lệ. Nếu ta hiểu thống kê ESn(α) là một ước lượng với số n lớn, ta muốn kết thúc với độ đo cộng tính dưới. Chú ý, chứng minh tương tự (2.24) có thể sai với T CEn(α). Bây giờ, ta có thể mở rộng định nghĩa của ESn(α) ESn(α)(X) = − Pω i=1Xi:n ω = − Pn
i=1Xi:n1{i≤ω}
ω = −1 ω n X i=1 Xi:n1{Xi:n≤Xω:n} − n X i=1
Xi:n(1{Xi:n≤Xω:n})−1{i≤ω})
= −1 ω n X i=1 Xi1{Xi≤Xω:n} −Xω:n n X i=1 (1{Xi:n≤Xω:n})−1{i≤ω}) = −n ω 1 n n X i=1 Xi1{Xi≤Xω:n} −Xω:n(1 n n X i=1 1{Xi:n≤Xω:n} − ω n) . (2.25) Nếu bây giờ ta có
lim
n→∞Xω:n = x(α), (2.26) với xác suất 1, dễ dàng kết luận rằng với xác suất 1 ta cũng có
lim
n→∞ESn(α)(X) =−1
α(E[X1{X≤x(α)}]−x(α)(P[X ≤ x(α)]−α)). (2.27) Nhưng đây là sự tinh tế trong việc ước lượng phân vị ta đã đề cập. Phương trình (2.26) nói chung khơng thỏa mãn. Tuy nhiên có thể được chỉ ra rằng (2.27) mạnh hơn và thực tế thỏa mãn trong trường hợp tổng quát. Ta có thể đưa ra định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1. Cho X là lợi nhuận-tổn thất của một danh mục đầu tư trên trục thời gian T và cho α = A% ∈ (0,1) là mức xác suất danh nghĩa. Rủi ro thua lỗ trung bình (Expected Shortfall) A% của danh mục được định nghĩa là
ESn(α)(X) = −1
α(E[X1{X≤x(α)}]−x(α)(P[X ≤ x(α)]−α)). (2.28) Định nghĩa này đưa ra một độ đo rủi ro thỏa mãn tất cả các tiên đề của định nghĩa độ đo rủi ro liên kết. Biểu thức (2.28) ban đầu trơng có thể thấy phức tạp. Để rõ ràng hơn, phần x(α)(P[X ≤ x(α)]−α) phải được hiểu là phần vượt quá được trừ từ giá trị kỳ vọng E[X1{X≤x(α)}]khi
X ≤ x(α) có xác suất lớn hơn α = A%. Trường hợp P[X ≤ x(α)] = α, khi
phân phối xác suất là liên tục, thành phần này bị triệt tiêu và dễ thấy rằng (2.28) rút gọn thành (2.23) hay, nói cách khác, ES(α) = T CE(α).
Mệnh đề 2.3.2. Cho X là biến ngẫu nhiên khả tích thực trên khơng gian xác suất (Ω,A, P) và cố định α ∈ (0,1). Khi đó:
ESα(X) =−α−1(E[X1{X≤s}] +s(α −P[X ≤s])), s ∈ [x(α), x(α)].
Trong mục tiếp theo trình bày một định nghĩa độ đo rủi ro thua lỗ trung bình có biểu diễn khác với định nghĩa đã nêu ở trên. Tuy nhiên, Mệnh đề 2.3.2 chỉ ra rằng hai biểu diễn này thực chất là một.