2 Phân rã trong quy hoạch tuyến tính
3.1.4 Cập nhật hệ số
Dưới đây có mục đích rõ ràng, những vectơ bộiλvàµđược gọi lại với tên là
θ=cột(λ,µ).
Vectơ cột của ràng buộc khơng khớp nhau (lệch nhau) tại lần lặpυ thiết lập một Gradient dưới của hàm đối ngẫu, tức là
là một vectơ dưới gradient cho hàm đối ngẫu, cái mà được sủ dụng bên dưới. Chi tiết hơn nữa có thể tìm trong chương 1.
Dưới gradient(SG)
Vectơ bội được cập nhật như sau
θ(υ+1) =θ(υ)+k(υ+1)s
(υ+1)
s(υ).
Trong đó lim
υ→∞k(υ)→0và∑∞υ=1k(υ) →∞. Một sự lựa chọn tiêu biểu yêu cầu dưới là k(υ) = a+bυ1 ,
trong đó a và b là các đại lượng vơ hướng không đổi.
Phương pháp Gradient dưới (SG) là đơn giản tới bổ sung (thi hành) và gánh nặng tính tốn của nó là nhỏ. Tuy nhiên, nó tăng chậm đến tối ưu trong một hình dáng dao động. Đây là một hệ quả của tính khơng khả thi của hàm đối ngẫu. Xa hơn nữa, hoạt động dao động làm nó rất khó để đặt một tiêu chuẩn dừng thích hợp. Nó là đặc trưng dừng sau một số phép lặp đặc biệt.
Ví dụ 3.2. (Cập nhật Gradient)
Để làm rõ phương pháp Gradient làm việc như thế nào, ví dụ 3.1 được giải sử dụng quá trình cập nhật hệ số này. Kết quả bài toán là x∗ = y∗ = 2, f(x∗,y∗) = 8. Hệ số liên hợp Lagrange với ràng buộc đầu tiên có một giá
trị tối ưuµ∗=4. Hàm Lagrange là
L(x,y,µ) =x2+y2+µ(−x−y+4).
Các bước giải thuật tốn như ở dưới đây Bước 0: Thiết lập ban đầu. Đặtµ=µ0. Bước 1: Nghiệm của bài tốn gốc giảm dư.
Bài tốn gốc giảm dư phân tích trong hai bài tốn con dưới đây (2µlà số gán bất kì tới mỗi bài tốn con)
min
x x2−µx+2µvớix≥0, min
y y2 −µy+2µvớiy≥0.
Trong đó những nghiệm xác định theo thứ tựxc và yc.
k(µ)= a+bυ1 được sử dụng, do đó
µ←µ+ 1
a+bµ
(−xc −yc +4)
|(−xc −yc +4)|. Bước 3: Kiểm tra sự hội tụ.
Nếu hệ sốµkhơng thay đổi đủ, dừng lại; nghiệm tối ưu là x∗ =xc,y∗=yc
Phương pháp khác tiếp tục trong bước 1.
Xét a = 1, b = 0,1 và một giá trị bội ban đầuµ(0), thuật tốn đi dến như trong bảng ở hình 3.4 bên dưới.
Hình 3.4: Q trình phát triển của thuật tốn giảm dư Lagrange sử dụng sử dụng một phương pháp cập nhật hệ số dưới gradient