Chương 2 Phương pháp tuyến tính hóa
2.1. Tổng quan về quy hoạch phi tuyến
2.1.1. Giới thiệu chung về QHPT
Bài tốn QHPT sẽ nói dưới đây khơng phải là bài tốn QHPT tổng quát, mà ta chỉ xét lớp bài tốn QHPT có hàm mục tiêu là hàm khả vi liên tục (tới bậc tùy ý) trên tập mở bao tập phương án D. Bản thân tập phương án cũng được xác định bởi các hàm số trong các ràng buộc là các hàm khả vi liên tụcnbiến. Cụ thể ta có bài tốn sau f(x) →min(max), gi(x)(≤;=;≥)bivới(i=1,m). (2.1) Trong đóx ∈ Rn,bi ∈ Rvớii =1, ...,m; f(x)vàgi(x)có(i = 1, ..,m) là các hàmn biến độc lập. Ngoài ra, trong các hàm f(x)vàgi(x)với(i=1, ..,m)phải có ít nhất một hàm phi tuyến. Ln giả thiết các hàmgi(x)là các hàm liên tục. Hàm mục tiêu
f(x)khả vi liên tục trên tập mở bao tập phương ánD.
Tuy bài tốn QHPT đã được giới hạn như trên nhưng tính phi tuyến của bài tốn luôn tạo ra nhưng phức tạp đáng kể khi tiệm cận với nó. Với bài tốn QHPT người ta sử dụng phương pháp tiệm cận giống như bài tốn có ràng buộc cổ điển
trong giải tích- tức là tìm bài tốn cực trị có ràng buộc về bài tốn cực trị tự do rồi tìm cách đưa về điều kiện Kunh- Tucker. Với một nhóm điều kiện đủ mạnh thì điều kiện Kunh- Tucker có thể trở thành điều kiện cần và đủ đối với lời giải của(2.1).
2.1.2. Bài tốn QHPT
Bài tốn tổng qt QHPT có dạng như (2.1), tuy nhiên để thuận tiện cho việc giải thích ý nghĩa thực tế ta biểu diễn dưới các dạng cụ thể như sau
• f(x) →max gi(x) ≤bi;i=1,m, xj ≥0;j=1,n. (2.2) • f(x) →min gi(x) ≥bi;i=1,m, xj ≥0;j=1,n. (2.3)
Về mặt hình thức thì cả ba bài tốn(2.1),(2.2)và(2.3)khác nhau, song cũng giống như QHTT ta có thể dùng các phép biến đổi tương đương để đưa bài toán này về bài toán kia. Cụ thể như sau
a. f(x)→max ⇔ f1(x) = −f(x) →min . b. gi(x) ≤bi ⇔ −gi(x) ≥ −bi. c. gi(x) =i ⇔ gi(x) ≥bi, gi(x) ≤bi. d. gi(x) ≤bi ⇔ gi(x) +si =bi, si ≥0. e. gi(x) ≥bi ⇔ gi(x)−si =bi, si ≥0.
2.1.3. Các vấn đề cần giải quyết khi giải bài toán QHPT
Trước khi đi vào chi tiết, ta sẽ đề cập tới bản chất của các thuật tốn giải bài tốn QHPT nói chung.Xét bài tốn tổng qt có dạng
f(x) →min, x ∈ D,D ∈ Rn. (2.4)
với bài tốn(2.4)tùy theo cấu trúc của nó mà người ta đưa ra thuật tốn khác nhau. Cho tới thời điểm này, số phương pháp được đề xuất là rất lớn và đa dạng. Những phương pháp này đều có ý tưởng chung là thuật tốn xiết chặt dần. Tùy theo dãy điểm nằm trong hay nằm ngồi tập Dmà được chia làm hai nhóm phương pháp lớn là phương pháp điểm trong hay điểm ngoài hoặc phối hợp với cả hai phương pháp trên.
Ở đây ta sẽ xét kỹ phương pháp điểm trong. Người ta xuất phát từ một điểm x0 ∈ D, khi đó∇f(x0)là hướng tăng nhanh nhất của f(x)tại x0(hay(∇f(x0)còn được gọi là hướng tăng cục bộ của f(x)tạix0). Ta lại có ở phần trước tậpD(x0)là tập các hướng chấp nhận được tạix0và nếu lấyd∈ D(x0)thì
∂f(x0,d) = ∇f(x0)d,
là đạo hàm theo phươngdcủa hàm f(x)tạix0, nó cho biết mức thay đổi của hàm f(x0)tạix0theo phươngd. Rõ ràng
• Nếud ∈ D(x0)có∇f(x0)d>0thìdđược gọi là hướng chấp nhận được tăng của f(x)tạix0.
• Nếud∈ D(x0)có∇f(x0)d<0thìdđược gọi là hướng chấp nhận được giảm của f(x)tạix0.
• Nếu d ∈ D(x0) có ∇f(x0)d = 0 thì d được gọi là hướng chấp nhận được không đổi của f(x)tạix0.
Phương pháp xiết chặt dần trong dãy điểm trong có thể được mơ tả như sau: Chọn một điểmx0 ∈ Dvà kiểm tra xem tạix0có hướng chấp nhận được giảm của f(x)tại đó hay khơng? Trong trường hợp tại đó có hướng chấp nhận giảm của f(x) ta tìm cách điều chỉnhx0sang x1 ∈ Dsao cho f(x1) ≤ f(x0). Thuật toán cứ vậy tiếp diễn trên một dãy phương án dạngx0,x1, ...,xk, ...hay
xk vớik =0, 1, ...
thỏa mãn
f(x0)≥ f(x1)≥... ≥ f(xk) ≥.... (2.5) Dãy phương án
xk ,k = 0, 1, ... thỏa mãn (2.5) gọi là phương án xiết chặt dần. Như vậy, thuật toán xiết chặt dần nêu trên là sự kết hợp hai khái niệm gradient và hướng chấp nhận được tại một phương án. Có rất nhiều phiên bản thuật toán khác nhau được đưa ra cho các dạng bài toán khác nhau. Ta gọi phương pháp loại này là phương pháp hướng có thể. Khi đó các vấn đề cần giải quyết gồm:
Vấn đề 1. Tìm phương án xuất phátx0như thế nào? Rõ ràng việc tìm phương án xuất phát có liên quan đến vấn đề khảo sát xem tập phương án D = ∅ hay D 6=∅. Đây là bài tốn khó, thậm chí rất khó khi các ràng buộc của bài tốn có tính chất giải tích phức tạp.
Vấn đề 2. Với một điểm xk ∈ D thì bằng các nào xác định được tại đó khơng có hướng chấp nhận được giảm của f(x) và nếu tại xk khơng có hướng chấp nhận giảm của f(x)thì xk có tính chất gì? Liệuxk có phải là lời giải của bài tốn hay khơng? Nếu taixk có hướng chấp nhận giảm của f(x)thì việc điều chỉnhxksangxk+1như thế nào?
Vấn đề 3. Nếu quá trình điều chỉnh trên diễn ra với dãy
xk với k = 0, 1, ...thì liệu dãy
f(xk) vớik = 0, 1, ... có hội tụ khơng? Giả sử tồn tại lim
k→+∞ f(xk) và hữu hạn thì giới hạn này có phải là giá trị tối ưu của f(x)trênD?
Cả ba vấn đề trên là hiện hữu và rất phức tạp. Với các bài toán QHPT người ta đã giải quyết được các vấn đề trên với nhiều lớp bài tốn cụ thể nhưng có thể khẳng
định chung là lược đồ điều chỉnh trên chỉ dẫn đến cực trị địa phương của f(x)trên Dvà có thể khơng hội tụ.
Mặc dù điều kiệnKKTđã chỉ ra điều kiện tồn tại nghiệm của bài tốn qui hoạch lồi nhưng khơng đưa ra nột thuật tốn cụ thể nào để giải một bài tốn. Có rất nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng cho các bài toán qui hoạc lồi với cấu trúc khác nhau. Hai trong các thuật tốn đó là thuật tốn siêu phẳng cắt Kelley và thuật toán Frank- Wolfe.