trưng
Đề cập đến một số ứng dụng của Hàm đặc trưng trong khái niệm phân phối phân chia vô hạn, phân phối ổn định, và quan trọng hơn là ứng dụng của hàm đặc trưng trong Luật số lớn và trong Định lý giới hạn trung tâm.
3.1 Phân phối phân chia vô hạn
Trong phần này chúng ta sẽ nói về các dạng của phân phối có thể được mơ tả một cách thuận lợi nhất bằng các phương pháp của hàm đặc trưng của chúng.
Phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên ξ được gọi là phân chia vô hạn
nếu với mọi n=2,3,... tồn tại một phân phối xác suất có tích chập n lần đúng bằng phân phối của ξ. Hiểu theo nghĩa khác: phân phối của ξ là phân chia vô hạn nếu: với mọi n, ξ có thể biểu diễn dưới dạng: ξ =ξ1+...+ξn ở đó ξ1, ..., ξn
là các biến ngẫu nhiên độc lập với cùng phân phối.1
(1: giải thích: Định nghĩa thứ 2 ở đây khơng hồn tồn chính xác, bởi nó khơng chắc chắn rằngξk−s có thực sự được nhận biết trên khoảng xác suất trong câu hỏi. Tuy nhiên, nếu cụm từ : " cho một sự lựa phù hợp của khoảng xác suất" được thêm vào thì định nghĩa này sẽ đúng và tương đương với định nghĩa đầu tiên.)
Gọi ϕ(t) là hàm đặc trưng của ξ. Hiển nhiên, kết luận rằng phân phối ξ là phân chia vô hạn, cũng tương đương với kết luận rằng: với mỗi số nguyên n, hàm [ϕ(t)]n1 lại là một hàm đặc trưng.
Phân phối phân chia vơ hạn có thể được đặc trưng bởi tính chất sau:
Định lí 3.1.1. Hàm ϕ(t) là hàm đặc trưng của một phân phối phân chia vô hạn khi và chỉ khi lnϕ(t) có dạng: lnϕ(t) = iγt− σ 2t2 2 + +∞ Z −∞ eiut−1− iut 1 +u2 1 +u2 u2 dG(u) (3.1.1)
ở đây: γ và σ >0 là các hằng số thực và G(u) là hàm không giảm bị chặn. ( Công thức của Lévy và Khinchin)
Nêu hàm phân phối có một phương sai hữu hạn, (3.1.1) có thể viết dưới dạng
lnϕ(t) = imt+σ2
+∞Z Z
−∞
eiut−1−iutdK(u)
u2 (3.1.2)
ở đây m là một số thực, σ > 0 và K(u) là một hàm phân phối. (Công thức của Kolmogrov)
Trường hợp đặc biệt, nếu:
K(u) = 0 khi u≤0