Chương 3 Trường hợp đẳng hướng và ví dụ minh họa số
3.3. Ví dụ minh họa số các tập nghiệm điểm tiếp xúc S 1, S2 và S3
Để khảo sát số tập nghiệm S1 trong phương trình (2.38) ta chọn các tham số của tấm có giá trị thỏa mãn e1 5 , e2 4 , e3 1.
Hình 2: Các đường cong tán sắc cùng với các điểm tiếp xúcS1.
Hình vẽ 2 biểu diễn các đường contour của phương trình tán sắc (1.23) của tấm với các thông số này. Các đường contour này bao gồm các các mode đối xứng và phản
đối xứng. Bốn đường tròn nhỏ biểu thị cho bốn điểm tiếp xúc đầu tiên thuộc lớp nghiệm S1 được tính tốn từ phương trình (2.38) trong đó ta có
1 1
6.3 3 3 3 ; 1.2 4 8 3 , 3.7 4 5 0 , 6.2 4 1 7 , 8.7 3 8 4 .
a a
x e (3.18)
Để minh họa số tập nghiệm S2 ta chọn các tham số của tấm trong phương trình ràng buộcR2thỏa mãn p q 1. Khi đó từ điều kiện ràng buộc (2.57) ta có
2 3 1 2 2 2 3 3 4 ( 1) 5 . ( 4 )( 1) 9 e e e e e e (3.19)
Có rất nhiều tập các giá trị của e1, e2, e3thỏa mãn đẳng thức trên với điều kiện thêm là
2 2
1, 2, 3 0 , 1 2 3 0 , 1 2 0 .
e e e e e e e e (3.20)
Các điều kiện này xuất phát từ điều kiện năng lượng biến dạng xác định dương của vật liệu và điều kiện
2
0 .
a
x
Giả sử ta chọn e1 2 , e2 1 0 , e3 2 . Khi đó từ cơng thức (2.55) ta có vận tốc truyền sóng tại điểm tiếp xúc là
2 8 / 3 a x và tần số 2 1 5 / 2 6 .0 8 3 7 a . Các
kết quả này được minh họa trong Hình vẽ 3a.
Nếu ta chọn bộ tham số khác có giá trị e1 3 6 / 2 7 , e2 5 , e3 2 . Ta sẽ có 2 8 / 3 a x và 2 1 5 / 8 4.3 0 1 8 a
. Các kết quả này được minh họa trong Hình vẽ 3b.
Trong ví dụ minh họa tiếp theo ta chọn các hệ số p và q trong công thức (2.55) có giá trị p 1, q 2. Khi đó, các tham số vật liệu của tấm phải thỏa mãn điều kiện sau để tồn tại lớp nghiệm điểm tiếp xúc S2
2 3 1 2 2 2 3 3 4 ( 1) 2 1 . ( 4 ) ( 1) 2 5 e e e e e e (3.21)
(a) (b) Hình 3: Các điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm S2 với p q 1
Giả sử ta chọn hai bộ giá trị của các tham số là e1 6 1 1 / 4 4 , e2 1, e3 1 / 2
vàe1 1 4 1 1 / 8 8 , e2 2 , e3 1 / 2. Cả hai bộ giá trị này đều cho vận tốc tại điểm tiếp
xúc bằng (theo công thức (2.55)) 2 1 8 .1 8 1 8 a x . Và bộ số thứ nhất cho tần số (thay 2
q hoặc thay p 1 trong (2.55))
2 2.4 5 5 9 a và bộ số thứ hai cho tần số 2 3.4 7 3 2. a (a) (b)
Hình 4: Các điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm S2 với p 1, q 2.
Một số các kết quả số ở trên chỉ ra rằng các điểm tiếp xúc thuộc tập nghiệm S2
thường xảy ra tại các mode bậc cao. Và nhiều kết quả số cũng chỉ ra rằng chỉ có tập nghiệm S1mới tồn tại điểm tiếp xúc xảy ra tại mode cơ bản (mode 0), mặc dù về
mặt toán học điều này chưa được chứng minh. Kết quả này khá là quan trong trong địa vật lý vì nói chung các thiết bị đo đạc chỉ đo được các tín hiệu của mode cơ bản do nó mang phần lớn năng lượng của sóng mặt Rayleigh.
Kết luận
Luận văn đã khảo sát bài tốn truyền sóng mặt Rayleigh trong tấm trực hướng chịu hai điều kiện biên khác nhau. Phương trình tán sắc của sóng Rayleigh trong từng trường hợp của điều kiện biên đã được nhận bằng phương pháp truyền thống. Các phương trình tán sắc này được sử dụng để khảo sát điểm tiếp xúc của sóng mặt Rayleigh trong từng trường hợp.
Các kết chính đạt được trong luận văn là:
- Nhận được phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng trong hai trường hợp của điều kiện biên: đó là tấm có hai mặt tự do và tấm có một mặt tự do, một mặt ngàm.
- Các công thức xác định điểm tiếp xúc của từng trường hợp được xác định bằng các sử dụng ý tưởng từ phương pháp lý thuyết tia của Tolstoy và Usdin (1953).
- Đã khảo sát được đạo hàm của đường cong phổ vận tốc của sóng mặt Rayleigh tại các điểm tiếp xúc. Kết quả chỉ ra rằng tại các điểm tiếp xúc, các đường cong phổ vận tốc đã mất tính trơn. Đạo hàm của chúng tại các điểm này không liên tục. Tuy nhiên, đạo hàm trái của các đường cong phổ vận tốc tại các điểm tiếp xúc của mode đối xứng bằng với đạo hàm phải tương ứng của mode phản đối xứng. Tương tự như vậy, đạo hàm phải của các đường cong phổ vận tốc tại các điểm tiếp xúc của mode đối xứng bằng với đạo hàm trái tương ứng của mode phản đối xứng.
- Trong trường hợp đẳng hướng, các kết quả nhận được trong luận văn đã đưa được về các kết quả đã nhận được của các tác giả khác.
- Đã khảo sát số được một số trường hợp nghiệm của điểm tiếp xúc. Các kết quả đạt được trên trong luận văn là mới và có ý nghĩa khoa học.
Tài liệu tham khảo
1. Dỗn Thu Hương (2011) , “Sóng Rayleigh Lam truyền trong môi trường thuần
nhất và môi trường không thuần nhất theo phương z”. Khóa luận tốt nghiệp ngành cơ học, Trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên.
2. Achenbach, J. D. "Waves in elastic solids." Nord Holland, Amsterdam (1973).
3. Forbriger, Thomas. "Einige Gedanken zu: Oskulationen von
Dispersionskurven, Entartung und Hybridisierung von Moden." (2006).
4. Kausel, Eduardo, Peter Malischewsky, and João Barbosa. "Osculations of spectral lines in a layered medium." Wave Motion 56 (2015): 22-42.
5. Levshin, A. L. "Surface and channel seismic waves." Nauka, Moscow (1973).
6. Liu, Xue‐Feng, You‐Hua Fan, and Xiao‐Fei Chen. "Research on the Cross of
the Dispersion Curves of Rayleigh Waves and Multi‐ModesCoupling Phenomenon." Chinese Journal of Geophysics 52.5 (2009): 994-1002
7. Sezawa, Katsutada, and Kiyoshi Kanai. "Discontinuity in Dispersion Curves of Rayleigh-Waves." Proceedings of the Imperial Academy 11.1 (1935): 13- 14.
8. Ting.T.C.T. (1996). Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford
Unversity Press NewYork.
9. Tolstoy, Ivan, and Eugene Usdin. "Dispersive properties of stratified elastic and liquid media: A ray theory." Geophysics 18.4 (1953): 844-870.
10. Tran Thanh Tuan. "The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves." PhD diss., 2009.
11. Vinh, Pham Chi, and Nguyen Thi Khanh Linh. "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer." Wave motion 49.7 (2012): 681-689. 12. Vinh, Pham Chi, and R. W. Ogden. "On formulas for the Rayleigh wave
speed."Wave Motion 39.3 (2004): 191-197.
13. Vinh, Pham Chi, and R. W. Ogden. "Formulas for the Rayleigh wave speed in
Các cơng trình khoa học đã cơng bố
Trần Thanh Tuấn, Peter Malischewsky, Doãn Thu Hương (2013). Tính chất của tỷ số H/V tại điểm osculation trong mơ hình một lớp có đáy bị ngàm. Tuyển tập Hội
nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 7-9/11/2013, p.1275-1282.