3 Các phương pháp hiệu chỉnh liên tục
3.4 Nguyên lý độ lệch
Theo như đã trình bày ở trên, muốn xây dựng qui tắc chọn tham số tiên nghiệm ta cần biết trước µ nhưng thường thì µ > 0 sao cho x† ∈ Xµ lại khơng được biết trước. Do đó, người ta xét tới qui tắc chọn tham số hậu nghiệm. Qui
tắc này dựa trên cơ sở nguyên lý độ lệch.
Cho gα thỏa mãn các giả thiết của Định lí 3.1, rα xác định bởi (3.6) và
τ >sup{|rα(λ)||α >0, λ∈[0;kTk2]}. (3.54)
Tham số hiệu chỉnh được xác định thông qua nguyên lý độ lệch như sau:
α(δ, yδ) = sup{α >0|kT xδα−yδk ≤τ δ}. (3.55)
Ta giả thiết rằng với mỗi λ >0, α−→gα(λ) liên tục trái sao cho phiếm hàm
α7−→ kT xδα−yδk
liên tục trái. Khi đó, cận trên đúng trong (3.55) đạt được và do vậy ta có
kT xδα(δ,yδ)−yδk ≤τ δ. (3.56)
Nếu kT xδ
α−yδk ≤τ δ với mọi α >0 thì α(δ, yδ) = +∞ và xδα(δ,yδ) được hiểu là giới hạn khi α−→+∞. Chú ý rằng với giả thiết (3.52), ta có
xδ∞= lim
α−→∞xδα = 0. (3.57)
Như vậy, tham số hiệu chỉnh được chọn thông qua so sánh giữa độ lệchkT xδ α−yδk
Nhận xét 3.5. Giả sử ta có phương trình T x=y, nhưng thường thì ta khơng
biết trước y mà chỉ biết yδ với ky−yδk ≤δ. Do đó, việc tìm nghiệm gần đúng ∼x
với độ lệch kT ∼x−yδk < δ là khơng có nghĩa, ta nên tìm với độ lệch có cấp của
δ là tốt nhất. Mặt khác, tham số hiệu chỉnh nhỏ hơn thì sự ổn định cũng kém hơn và người ta có thể tìm được tham số hiệu chỉnh lớn nhất có thể mà sinh ra
một độ lệch có cấp của δ. Chú ý rằng từ (3.7) và (3.54) suy ra τ >1.
Tiếp theo, ta nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh (Rα, α)
với Rα được xác định qua (3.5) và qui tắc chọn tham số hậu nghiệm α xác định bởi (3.55). Ta giả thiết
y∈ R(T), (3.58)
nếu không độ lệchkT xα−yδkkhơng bao giờ nhỏ hơnky−Qyk −δdo đó tập trong (3.55) có thể rỗng. Trường hợp (3.58) khơng thỏa mãn, ta xét phương trình
T x=Qy (3.59)
hoặc phương trình chuẩn
T∗T x=T∗y.
Phương trình chuẩn ln giải được nếu y ∈ D(T†). Ngay từ đầu, việc sử dụng
(3.59) khơng được khả thi vì thường thì Q khơng dễ tính tốn. Tuy nhiên, vấn đề này sẽ được giải quyết nếu (3.59) được xấp xỉ một cách thích hợp bằng một phương trình hữu hạn chiều.
Ngồi giả thiết về gα, ta giả thiết rằng Gα xác định bởi (3.14) thỏa mãn (3.52), với
µ0 > 1
2, (3.60)
và ωµ xác định bởi (3.24), ta có
Theo Định lí 3.3, từ (3.61) suy ra với qui tắc chọn tham số tiên nghiệm, phương
pháp hiệu chỉnh (Rα, α) có cấp tối ưu trong Xµ,ρ với µ∈(0;µ0].
Như đã nói ở phần trước, giá trị lớn nhất của µ0 thỏa mãn (3.61) được gọi là ngưỡng của tốn tử hiệu chỉnh {Rα} nếu nó hữu hạn. Từ Hệ quả 3.1 suy ra
toán tử hiệu chỉnh {Rα} cùng với qui tắc chọn tham số tiên nghiệm mà µ tăng tới ngưỡng có thể là một phương pháp hiệu chỉnh có cấp tối ưu trong Xµ,ρ.
Định lí 3.6. ([8] tr 85) Phương pháp hiệu chỉnh (Rα, α) với α được xác định bởi (3.55) hội tụ với mọi y∈ R(T) và có cấp tối ưu trong Xµ,ρ với µ∈0;µ0− 1
2
i
.
Chứng minh. Nếu tồn tại dãy{δn}dần tới0sao cho vớiyδn tương ứng,α(δn, yδn) = +∞, với mọi n thì từ (3.57) ta có kyδnk ≤τ δn −→0. Mặt khác, kyδn−yk ≤δ nên suy ra yδn −→y. Kết hợp hai điều trên cho ta y= 0. Do đó có
x†= 0 =xδnα(δn,yδn)
Vì vậy, ta giả thiết rằng với δ đủ nhỏ, α(δ, yδ) < +∞ với mọi yδ thỏa mãn
kyδ−yk ≤δ.
Với rβ xác định bởi (3.6), β >0 và từ (3.8),(3.26), ta có
kT xβ−yk=kT rβ(T∗T)x†k=krβ(T T∗)T x†k=krβ(T T∗)yk=k(T∗T)12rβ(T∗T)x†k.
(3.62)
Tiếp theo, cho µ∈ 0;µ0− 12 và x† ∈ Xµ,ρ, tức là x† = (T∗T)µw với kwk ≤ ρ,
giả thiết kyδ −yk ≤ δ và đặt α = α(δ, yδ). Khi đó, như trong chứng minh của
Định lí 3.3, ta có
kxα−x†k=k(T∗T)µrα(T∗T)wk. (3.63) Áp dụng Bất đẳng nội suy (1.25) choz =rα(T∗T)w và kết hợp với (3.63) ta được
kxα−x†k ≤ krα(T∗T)wk2µ+11 k(T∗T)12rα(T∗T)(T∗T)µwk2µ+12µ .
Từ định nghĩa của w và (3.62) suy ra
và do đó
kxα−x†k ≤(γρ)2µ+11 kT xα−yk2µ+12µ , (3.64) với γ được xác định bởi
γ = sup{|rα(λ)||α >0, λ∈[0;kTk2}. (3.65)
Vì xα−xδα=gα(T∗T)T∗(y−yδ), ta có
kT(xα−xδα)−(y−yδ)k=k(I−T T∗gα(T T∗))(y−yδ)k=krα(T T∗)(y−yδ)k ≤γδ.
(3.66)
Do đó, từ (3.56) suy ra
kT xα−yk ≤ kT xδα−yδk+γδ ≤(τ+γ)δ.
Kết hợp bất đẳng thức này với (3.64), ta được
kxα−x†k=O(ρ2µ+11 δ2µ+12µ ). (3.67) Khi đó, từ (3.52) và Định lí 3.2, ta có kxα−xδαk ≤cδα−12, (3.68) với c là một hằng số. Từ định nghĩa (3.55) của α và (3.62) ta có kT xδ2α−yδk=kT(x2αδ −yδkkr2α(T T∗)yδk> τ δ.
Áp dụng (3.66) và Bất đẳng thức tam giác, ta được
kT x2α−yk − kT(x2α−xδ2α)−(y−yδ)k ≥ kT xδ2α−yδk −γδ ≥(τ−γ)δ,
với τ − γ > 0 suy ra từ (3.54) và (3.65). Kết hợp bất đẳng thức trên với (3.61),(3.62) và định nghĩa của w ta nhận được
δ≤ckT x2α−yk=ck(T∗T)µ+12r2α(T∗T)wk ≤cωµ+1
Bất đẳng thức này tương đương với
α ≥cρ2µ+1−2 δ2µ+12 . (3.69)
Thay α từ (3.69) vào (3.68), ta được
kxα−xδαk ≤cρ2µ+11 δ2µ+12µ ,
tức là phương pháp hiệu chỉnh(Rα, α) với α được xác định bởi (3.55) có cấp tối ưu trong Xµ,ρ với µ∈0;µ0−1
2
i
.
Tiếp theo, để chứng minh sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh ta áp dụng
Định lí 2.2 với µ = µ0 − 1
2;τ0 = γ. Qui tắc chọn tham số (2.36) tương ứng với
cách chọn (3.55)
Nhận xét 3.6. Từ chứng minh của Định lí 3.6 suy ra nghiệm ln đúng với tham số α=α(δ, yδ) bất kỳ và τ xác định bởi (3.54) thỏa mãn
kT xδα−yδk ≤τ δ ≤ kT xβδ −yδk, với α≤β ≤2α.
Đây là điểm quan trọng trong tính tốn vì nó cho phép xác định α rộng hơn so với (3.55).
Nhận xét 3.7. Trong chứng minh Định lí 3.6, ta đã sử dụng Định lí 2.2 cho trường hợp µ = 0. Lập luận được sử dụng để chứng minh phương pháp hiệu
chỉnh có cấp tối ưu trong Xµ,ρ trong trường hợp µ > 0khi áp dụng cho µ= 0 chỉ cho tính bị chặn của các điều kiện trong (3.67) và (3.68) thay vì sự hội tụ tới
0. Những lập luận tương tự khi sử dụng trong chứng minh Định lí 2.2 cũng có
thể được áp dụng để thay thế O bởi o trong (3.67) và (3.68) với µ bất kỳ thỏa mãn 0 < µ < µ0 − 1
2. Trong phần này, ta nhận được phương pháp (Rα, α) với
α=α(δ, yδ) được xác định thông qua nguyên lý độ lệch (3.55), có ước lượng
kxδα(δ,yδ)−x†k=o(δ2µ+12µ ), (3.70) với x† ∈ Xµ và µ∈h0;µ0− 1
2
.
Nói chung phương pháp (Rα, α) với α = α(δ, yδ) được xác định thông qua nguyên lý độ lệch (3.55) khơng nhất thiết có cấp tối ưu trongXµ,ρ vớiµ > µ0−1
Mệnh đề 3.2. ([8] tr 87) ChoK là toán tử compact,Rα = (K∗K+αI)−1K∗, α(δ, yδ)
xác định bởi (3.55). Nếu với mọi y ∈ R(K) và yδ ∈ Y thỏa mãn kyδ −yk ≤ δ, ta
có
kxδα(δ,yδ)−x†k=o(
√
δ), (3.71)
thì R(K) hữu hạn chiều.
Chứng minh. Cho(σn, vn, un)là hệ kì dị củaK và giả thiếtdimR(K) = +∞.Khi đó, tồn tạiσn tại vơ cùng và lim
n−→∞σn = 0.Với δn −→0, y =u1, yδn =y+δnun, αn =
α(δn, yδn), ta có x† = v1
σ1 và ky−yδnk= δn ≤ kyδnk. Hơn nữa, từ định nghĩa của
Rα, ta có xδnαn−x† = (K∗K+αnI)−1K∗u1+δn(K∗K+αnI)−1K∗un− v1 σ1 = σ1 σ21+αnv1+ σnδn σ2 n+αnvn − v1 σ1. Do đó, nếu chọn δn =σn2 với n ≥2 thì kxδnαn−x†k2≥ δ 3 n (αn+δn)2 = √ δn 1 + αnδn 2 . Từ (3.71) suy ra √ δn 1 + αnδn =o( p δn) và do đó lim n−→∞ αn δn = +∞. (3.72) Từ (3.56) suy ra kyδnk −τ δ ≤ kyδnk − kKxδnαn −yδnk ≤ kKxδnαnk. Mặt khác, ta có Kxδnαn = 1 αnK[αn(K ∗K+αnI)−1K∗yδn] = 1 αnK[(αnI+K ∗K)−K∗K](K∗K+αnI)−1K∗yδn = 1 αnK K∗yδn−K∗Kxδnαn = 1 αnKK ∗ yδn−Kxδnαn
nên kKxδnαnk ≤ kKk 2 αn kKxδnαn−yδnk. Do đó kyδnk −τ δn ≤ kKk 2 αn kKxδnαn−yδnk Kết hợp với (3.56) ta được kyδnk −τ δn ≤ kKk 2 αn τ δn Suy ra αn ≤ kKk 2τ δn kyδnk −τ δn
với n đủ lớn. Điều này mâu thuẫn với (3.72). Vậy điều giả sử không đúng hay
dimR(K) hữu hạn.
Nhận xét 3.8. Ta đã thấy trong Ví dụ 3.3, với Rα cho trong Mệnh đề 3.2, điều
kiện (3.61) thỏa mãn vớiµ0 = 1. Vì vậy, từ Mệnh đề 3.2, với phương pháp(Rα, α)
mà α được chọn theo nguyên lý độ lệch, kxδ
α(δ,yδ)−x†k nói chung khơng hội tụ nhanh hơn O(√
δ) trừ khi R(K) hữu hạn chiều, phương pháp (Rα, α) khơng có cấp tối ưu trongXµ,ρ với µ∈(1/2,1]. Chú ý rằng với các phương pháp trong các
Ví dụ 3.1, 3.2, điều kiện (3.61) thỏa mãn với mọi µ∈(0,+∞), vì vậy theo Định
lí 3.6, ngun lý độ lệch suy ra các phương pháp này có cấp tối ưu trong Xµ,ρ
với mọi µ, ρ > 0.