2 Khai triển trên khoảng hữu hạn
2.4 Hàm Green, toán tử compact đối xứng
Định lý 2.3.3. ([4]) Bài toán Sturm-Liouville cho bởi(2.3.13), (2.3.14), (2.3.15)
có một dãy tăng các giá trị riêng λ0 < λ1 < · · · < λn < · · · và λn → ∞ khi
n →∞.Ngoài ra, hàm riêng thứnứng với giá trị riêng λn có đúngnkhơng điểm trong khoảng(a,b).
Chứng minh. Hàm ϕ(x,λ) thỏa mãn điều kiện ban đầu (2.3.16) nên BCa(ϕ(x,λ)) = 0. Ta sẽ xác định được các giá trị riêng λ khi mà BCb(ϕ(x,λ)) =0, điều kiện này tương đương vớiθ(b,λ) = −β+kπ,k∈ Z.
Ta lựa chọn k = [β
π] +1 để δ := −β+kπ ∈ (0,π]. Từ mệnh đề 2.3.1 và
θ(b,λ) là hàm liên tục đơn điệu tăng theo λ ta tìm được duy nhất λ0 thỏa mãn phương trìnhθ(b,λ) =δ.Doθ(a,λ0) =γ ∈ [0,π),θ(b,λ0) =δ ∈ (0,π]
nên ϕ(x,λ0)không triệt tiêu trong(a,b).
Tiếp theo, ta tìm λ1 sao cho θ(b,λ) = δ+π. Do δ+π ≤ 2π hàm riêng
ϕ(x,λ1)có đúng một khơng điểm trong(a,b)ứng vớiθ(x,λ1) = π.Cứ tiếp tục như vậy ta tìmλn sao cho θ(b,λn) = δ+nπ ≤ (n+1)π.Hàm ϕ(x,λn) có đúng n khơng điểm trong (a,b) ứng với θ(b,λ) = π, 2π,· · · ,nπ. Như thế ta thu được một dãy các giá trị riêng tăng ra vơ cùng của tốn tử Sturm- Liouville.
2.4 Hàm Green, toán tử compact đối xứng
Ở các mục trước, ta đã chứng minh sự tồn tại các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville bằng định lý Rouche và định lý so sánh Sturm. Mục này cho ta thêm một cách nhìn khác, ta sẽ chỉ ra rằng có tương ứng một một giữa các giá trị riêng của toán tử Sturm-Liouville và các giá trị riêng của một toán tử đối xứng compact bị chặn.
Nhắc lại, ta xem xét toán tử Sturm-LiouvilleL : D(L) ⊂H0 → H0cho bởi Ly:=−y00 +q(x)y (x∈ [0,π]), (2.4.1) trong đóq(x)là hàm thực liên tục trên[0,π], miền xác định của L
D(L) = {y∈ C2[0,π] : BC0(y) = BCπ(y) =0}, (2.4.2) BC0(y) =y(0)cos(α) +y0(0)sin(α) = 0, (2.4.3) BCπ(y) = y(π)cos(β) +y0(π)sin(β) = 0. (2.4.4)
2.4. Hàm Green, toán tử compact đối xứng 31 Ta cố định một λ ∈ C không phải là giá trị riêng của L, xem xét phương trình
(λ−L)y =y00 + (λ−q(x))y= f(x), (2.4.5) với f(x) 6=0thuộc H0 =C[0,π].
Gọiϕ(x,λ)vàψ(x,λ)là các nghiệm của phương trình thuần nhất
y00 + (λ−q(x))y=0, (2.4.6) lần lượt thỏa mãn các điều kiện ban đầu
ϕ(0,λ) =sin(α),ϕ 0 (0,λ) = −cos(α) (2.4.7) ψ(π,λ) =sin(β),ψ 0 (π,λ) = −cos(β). (2.4.8) Từ mục trước ta đã biếtλlà một giá trị riêng của Lkhi và chỉ khi
W(λ) =W{ϕ,ψ}(λ) =0. (2.4.9) Vì vậy vớiλkhơng phải là giá trị riêngW(λ) 6=0ta xây dựng hàm
G(x,t,λ) = 1 W(λ)ϕ(x,λ)ψ(t,λ) nếux ≤t 1 W(λ)ϕ(t,λ)ψ(x,λ) nếux ≥t. (2.4.10)
HàmG(x,t,λ)được gọi là hàmGreen. Rõ ràngG(x,t,λ)đối xứng theo(x,t) tức là G(x,t,λ) = G(t,x,λ) và là hàm giá trị thực khi λ giá trị thực. Ta sẽ chứng minh rằng phương trình (2.4.5) có nghiệm duy nhất thuộc vào D(L) cho bởi
y(x,λ) =
Z π
0 G(x,t,λ)f(t)dt. (2.4.11) Thật vậy, từ định nghĩa củaG(x,t,λ)ta có
y(x,λ) = ψ(x,λ) W(λ) Z x 0 ϕ(t,λ)f(t)dt+ ϕ(x,λ) W(λ) Z π x ψ(t,λ)f(t)dt. (2.4.12) Đạo hàmy(x,λ)theoxmột, hai lần ta được
y0(x,λ) = ψ 0 (x,λ) W(λ) Z x 0 ϕ(t,λ)f(t)dt+ ϕ 0 (x,λ) W(λ) Z π x ψ(t,λ)f(t)dt (2.4.13) y00(x,λ) = ψ 00 (x,λ) W(λ) Z x 0 ϕ(t,λ)f(t)dt+ ϕ 00 (x,λ) W(λ) Z π x ψ(t,λ)f(t)dt+f(x). (2.4.14)
2.4. Hàm Green, tốn tử compact đối xứng 32 Doϕ(x,λ),ψ(x,λ)thỏa mãn phương trình (2.4.6) nên ta được
y00(x,λ) + (λ−q(x)) = f(x).
Ngoài ra, từ (2.4.12), (2.4.13) và ϕ,ψ thỏa mãn các điều kiện ban đầu (2.4.7), (2.4.8) nêny(x,λ)thỏa mãn các điều kiện biên (2.4.3) và (2.4.4), hay y(x,λ) ∈ D(L). Tính duy nhất của nghiệm y(x,λ) được thấy như sau. Ta giả sử (2.4.5) có hai nghiệm y1(x,λ) và y2(x,λ) nằm trong D(L). Khi đó u(x,λ) :=y1(x,λ)−y2(x,λ)là nghiệm của phương trình thuần nhất (2.4.6) và cũng thuộc D(L). Nhưng ta đã lựa chọn λ không là giá trị riêng của L, vậyu(x,λ)phải đồng nhất bằng0hayy1(x,λ)trùng vớiy2(x,λ).
Như vậy ta đã chứng minh vớiλ khơng là giá trị riêng của tốn tử Sturm- Liouville L, với f(x) không tầm thường thuộc H0 tồn tại duy nhất y(x,λ)
thuộc D(L) thỏa mãn phương trình (λ−L)y(x,λ) = f(x). Nói cách khác, vớiλkhơng phải giá trị riêng củaLta có tốn từRλ : H0 → D(L) ⊂H0xác định bởi
(Rλf)(x) :=y(x,λ) =
Z π
0 G(x,t,λ)f(t)dt, (2.4.15) thỏa mãn(λ−L)Rλf = f với f ∈ H0.
Mặt khác vớiy ∈ D(L)ta có(λ−L)y ∈ H0vì vậy (λ−L)Rλ(λ−L)y= (λ−L)y. Doλkhơng là giá trị riêng củaLnên
Rλ(λ−L)y=y, ∀y∈ D(L).
Do đó, Rλ = (λ−L)−1 được gọi là giải thức của L. Dễ thấy khiλthực thì Rλ cũng đối xứng. Tiếp theo để đơn giản ta giả sửλ =0không phải là giá trị riêng củaL. Ta có thể làm được điều này, bởi vìLsẽ ln có hằng số thực ckhông phải là giá trị riêng củaL, do đó nếu ta xét L1y= Ly−cy,D(L1) = D(L)thì ta có λ = 0không phải là giá trị riêng của L1.Ngồi ra, ta có nếu
λlà một giá trị riêng của L1thìλ+clà một giá trị riêng củaLvà ngược lại. Các hàm riêng của LvàL1là trùng nhau.
Ta ký hiệu hàm GreenG(x,t) = G(x,t, 0). Giải thức R : H0 → D(L) ⊂ H0 cho bởi (R f)(x) = Z π 0 G(x,t)f(t)dt, với f ∈ H0. (2.4.16) Vì0 /∈ σp(L)nên ta có(−L)R f = f, f ∈ H0vàR(−L)y =y,y ∈ D(L).Ta có khẳng định sau đây:
2.4. Hàm Green, tốn tử compact đối xứng 33
Bổ đề 2.4.1. ([4]) Nếu λ 6= 0là một giá trị riêng của L thì −λ−1 là một giá trị riêng củaRvà ngược lại.
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ D(L)là một hàm riêng ứng với giá trị riêng λcủa L.Khi đó Lϕ= λϕ.Từ đó ta được Rϕ =−λ−1ϕ, hay ϕlà hàm riêng củaR ứng với giá trị riêng−λ−1.
Ngược lại, nếu ϕ ∈ H0là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ 6=0của R. Khi đó Rϕ = λϕ.Do Rϕ ∈ D(L)nên ϕ ∈ D(L), ngoài ra Lϕ = −λ−1ϕ. Vậy ϕ
lại là hàm riêng ứng với giá trị riêng−λ−1của L.
Bổ đề trên cho ta quy việc xem xét các giá trị riêng của Lvề việc xem xét các giá trị riêng củaR.Ta đã biếtRcũng là toán tử đối xứng. Bổ đề tiếp theo đây chứng minhRlà một toán tử compact. Ta ký hiệu
||f||= Z π 0 |f(x)|2dx 1 2 , f ∈ H0. (2.4.17) Bổ đề 2.4.2. ([4]) Tập{R f : ||f|| ≤1}là một tập các hàm liên tục đồng bậc và bị chặn đều trong H0.
Chứng minh. Ta cóG(x,t)là hàm liên tục theo hai biếnx,ttrên hình vng [0,π]×[0,π] vì vậyG(x,t)liên tục đều trên đó. Do đó với bất kìe >0cho trước, tồn tạiδ(e) >0sao cho
|G(x1,t)−G(x2,t)| <enếu|x1−x2| <δ.
Từ điều này ta có, nếu f ∈ H0,||f||=1và|x1−x2| <δthì |(R f)(x1)−(R f)(x2)|= Z π 0 (G(x1,t)−G(x2,t))f(t)dt ≤e Z π 0 |f(t)|dt ≤eπ 1 2||f||=eπ 1 2. (2.4.18)
Điều này chứng tỏ{R f}là tập các hàm liên tục đồng bậc. Ta đặt
γ :=sup{|G(x,t)| : 0≤x,t≤π}.
Khi đó với mọix ∈ [0,π]ta có |(R f)(x)|=| Z π 0 G(x,t)f(t)dt| ≤γπ 1 2||f||, (2.4.19) từ đó ta được{R f}bị chặn đều.
2.4. Hàm Green, toán tử compact đối xứng 34 Chuẩn củaRký hiệu bởi||R||được định nghĩa
||R||= sup
||f||=1
||R f||, f ∈ H0. (2.4.20) Từ (2.4.19) và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được
||R f|| ≤γπ||f|| (2.4.21) và do đó||R|| < ∞. Ngồi ra,||R|| >0doLR f = f với mọi f ∈ H0. VậyR là tốn tử tuyến tính khơng tầm thường, đối xứng, compact, bị chặn.
Bổ đề 2.4.3. ([4]) Sử dụng tính đối xứng củaRta có
||R||= sup
||f||=1
|(R f, f)|, f ∈ H0. (2.4.22)
Chứng minh. DoRđối xứng nên(R f, f)là thực. Nếu||f|| =1ta có |(R f, f)| ≤ ||R f|| · ||f|| ≤ ||R||
và do đó đặtη = sup{|(R f, f)| : ||f||= 1}thìη ≤ ||R||. Ta đi chứng minh bất đẳng thức ngược lại. Từ định nghĩaη ta có
(R(f +g), f +g) = (R f, f) + (Rg,g) +2Re(R f,g) ≤η||f +g||2, (R(f −g), f −g) = (R f, f) + (Rg,g)−2Re(R f,g)≥ −η||f −g||2. Trừ hai bất đẳng thức cho nhau ta được
4Re(R f,g)≤2η(||f||2+||g||2).
Với||f|| =1,g =R f/||R f||ta được||R f|| ≤η.
Định lý 2.4.1. ([4])||R||hoặc−||R||là một giá trị riêng củaR.
Chứng minh. Do||R||=sup{|(R f, f)| : ||f||=1}nên ta có
||R||=sup{(R f, f) : ||f|| =1}hoặc − ||R|| =inf{(R f, f) : ||f|| =1}. Giả sử ||R|| = sup{(R f, f) : ||f|| = 1}. Khi đó tồn tại một dãy các hàm
fn ∈ H0,||fn|| =1sao cho
2.4. Hàm Green, toán tử compact đối xứng 35 Choλ0 = ||R||. Do{R fn} là liên tục đồng bậc và bị chặn đều theo định lý Ascoli, {R fn} có một dãy con, ta vẫn ký hiệu là{R fn}, hội tụ đều tới một hàm liên tục ϕ0. Ta sẽ chứng minh ϕ0là hàm riêng ứng với giá trị riêng λ0
củaR.Do max 0≤x≤π|R fn(x)−ϕ0(x)| → 0khin→∞ nên ||R fn−ϕ0|| →0khin→ ∞. (2.4.23) Vì ||R fn|| − ||ϕ0|| ≤ ||R fn−ϕ0|| nên ta cũng có||R fn|| → ||ϕ0||khin→ ∞.Ta có ||R fn −λ0fn||2=||R fn||2+λ20||fn||2−2λ0(R fn, fn). (2.4.24) Vế phải của (2.4.24) tiến tới||ϕ0||2−λ2
0khin →∞.Do đó||ϕ0||2 ≥ λ2 0 >0, vậyϕkhơng đồng nhất bằng khơng trên[0,π].Ta có
||R fn||2≤ ||R||2||fn||2 =λ20, vì vậy từ (2.4.23) ta thu được
0≤ ||R fn−λ0fn||2 ≤2λ20−2λ0(R fn, fn)→0khin →∞. (2.4.25) Ta có
0≤ ||Rϕ0−λ0ϕ0|| ≤ ||Rϕ0−R(R fn)||+||R(R fn)−λ0R fn||+||λ0R fn−λ0ϕ0||, sử dụng (2.4.23) ,(2.4.25) và bất đẳng thức||R f|| ≤ ||R|| · ||f||ta thu được
||Rϕ0−λ0ϕ0||=0.
Điều đó chứng minhRϕ0 =λ0ϕ0.Trường hợp−||R||=inf{(R f, f)}xảy ra được chứng minh tương tự.
Từ định lý trên ta sẽ thấy Rcó một tập vô hạn các giá trị riêng như sau. Từ chứng minh bổ đề 2.4.1 một hàm riêng củaRcũng là một hàm riêng của L. Ta lấy một hàm riêng củaLgiá trị thực là ϕ0(x).Ta chuẩn hóa hàm riêng
ϕ0(x)bởi đặtv0(x) = ϕ0(x)/||ϕ0(x)||.Cho
2.4. Hàm Green, tốn tử compact đối xứng 36 Khi đó G1(x,t) cũng là hàm giá trị thực, đối xứng theo x,t. Ta định nghĩa toán tử (R1f)(x) = Z π 0 G1(x,t)f(t)dt, f ∈ H0. (2.4.26) Khi đó (R1f)(x) = (R f)(x)−λ0(f,v0)v0(x). (2.4.27) Do v0(x) ∈ D(L) và ảnh của R là D(L) vì vậy ảnh của R1 cũng là D(L). Ngồi ra R1 cũng là tốn tử đối xứng, compact giống như R. Do đó nếu||R1||>0, và cho
|λ1| =sup{(R1f, f) : ||f|| =1}
thìλ1là một giá trị riêng củaR1, và có một hàm riêngϕ1tương ứng. Chuẩn hóa ϕ1bởi chov1(x) = ϕ1(x)/||ϕ1(x)||.Sử dụng (2.4.27) với bất kỳ f ∈ H0 ta có
(R1f,v0) = (R f,v0)−λ0(f,v0)(v0,v0) =0. (2.4.28) Với f =v1ta thu đượcv1trực giao vớiv0, vì vậy
Rv1 =R1v1 =λ1v1. (2.4.29) Do đóv1cũng là hàm riêng củaR.Ngồi ra, ta có|λ1| ≤ |λ0|bởi vì
|λ1| =||λ1v1||=||Rv1|| ≤ ||R|| · ||v1||=|λ0|. (2.4.30) Tiếp tục cho G2(x,t) = G1(x,t)−λ1v1(x)v1(t) lặp lại các lập luận trên ta được v2(x) vàλ2 sao cho|λ2| ≤ |λ1|vàv2(x) trực giao vớiv1(x) vàv0(x). Cứ tiếp tục như vậy ta thu được một dãy các hàm riêng trực chuẩnvk(x)với
k =0, 1, 2,· · · củaR.
Q trình trên chỉ có thể dừng lại khi vớin nào đó||Rn|| = 0. Nhưng điều này sẽ khơng xảy ra. Thật vậy, với f ∈ H0ta có
Rnf = R f −
n−1 ∑ i=0
λi(f,vi)vi. Do đó tác động−Lvào hai vế ta được
(−L)Rnf = (−L)R f − n−1 ∑ i=0 λi(f,vi)(−L)vi (−L)Rnf = f − n−1 ∑(f,vi)vi
2.5. Định lý khai triển và đẳng thức Parseval 37Do đó nếu||Rn||=0thì