2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số
2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân
vi phân đại số
2.2.1 Phương pháp Euler ẩn
Xét phương trình vi phân đại số tổng quát
0 = F (t, y, y0)
Ý tưởng về một rời rạc trực tiếp rất đơn giản: xấp xỉ y và y0 bởi công thức rời rạc đa bước hoặc Runge- Kutta. Ví dụ áp dụng phương pháp
Euler ẩn cho hệ phương trình vi phân đại số này ta thu được 0 = F tn, yn, yn−yn−1 hn . (2.30)
Nói chung, đây là một hệ m phương trình phi tuyến ẩn yn. Tuy nhiên
phương pháp này không phải lúc nào cũng sử dụng được. Trong trường hợp xấu nhất, có những hệ phương trình vi phân đại số chỉ số cao đơn giản với lời giải xác định bằng phương pháp Euler ẩn, và thật ra tất cả các phương pháp đa bước và Runge - Kutta, là khơng ổn định hoặc thậm chí khơng áp dụng được.
Xét phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1
y0 = f (t, y, z),
0 = g(t, y, z) (2.31)
trong đó gz khơng suy biến.
Dễ thấy rằng phương pháp Euler ẩn vẫn giữ nguyên các tính chất của phương trình vi phân thường (cấp chính xác, miền ổn định, sự hội tụ). Từ định lý hàm ẩn, tồn tại hàm eg sao cho
z = eg(t, y).
Khi đó phương trình vi phân đại số (2.31) tương đương phương trình vi phân thường
y0 = f (t, y,eg(t, y)). (2.32) Xét phương pháp Euler ẩn áp dụng cho (2.31)
yn−yn−1
hn = f (tn, yn, zn), (2.33)
0 = g(tn, yn, zn). (2.34) Giải zn từ (2.34) và thay vào (2.33) ta được
yn−yn−1
hn = f (tn, yn,eg(tn, yn)).
Đây chỉ là rời rạc Euler ẩn của phương trình vi phân thường cơ bản
(2.32). Do đó, phương pháp Euler ẩn có cấp chính xác là 1, ổn định và
hội tụ đối với phương trình vi phân đại số nửa hiển chỉ số 1.
Đối với bài toán phi tuyến dạng (2.30) phép lặp Newtơn cho yn, bắt đầu từ xấp xỉ yn0, dựa trên giả thiết từ các bước trước đó, ta có
ynν+1 = ynν − 1 hn ∂F ∂y0 + ∂F ∂y −1 F tn, ynν,y ν n −yn−1 hn .
2.2.2 Phương pháp BDF
Xét phương trình vi phân đại số tổng quát dạng
0 = F (t, y, y0).
Phương pháp BDF áp dụng cho bài tốn này là
F tn, yn, 1 β0h k X j=0 αjyn−j ! = 0,
trong đó β0 và αj, j = 0, . . . , k là hệ số của phương pháp BDF.
Công thức BDF là ẩn và thường được thực hiện cùng với phương pháp Newton để giải các hệ phi tuyến tại mỗi bước. Giả sử α0 = 1, ta có
bảng các cơng thức BDF k bước với k ≤ 6 (với k = 1 chính là phương pháp Euler ẩn).