3 Phương trình ®éng lùc ngÉu nhiªn trªn thang thêi gian
3.2 TÝnh Markov cđa nghiƯm
Trong mục này, giả thiết rằng martingale Mt nhận giá trị trongR, liªn tơc, có gia số độc lập. Các giả thiết trong Mục 3.1 vẫn được thỏa mÃn.
Định nghÜa 3.2.1. Gi¶ sư Y = (Yt)t∈Ta là q trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực, (Ft)phù hợp. Khi đó, q trình Y được gọi là (Ft)−Markov nÕu víi mäis, t ∈ Ta, s 6 t th×
E(Yt|Fs) = E(Yt|Ys).
Mệnh đề 3.2.2. Giả sưY = (Yt)t∈Ta là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực,
(Ft)−phï hợp. Khi đó, q trình Y lµ (Ft)−Markov nÕu vµ chØ nÕu, víi mọi hàm Borel, đo được, bị chặn thì
E(f(Yt)|Fs) = E(f(Yt)|Ys).
B đ 3.2.3. Giả s(Mt)tT l q trỡnh cú gia số độc lập,V(x, ω)lµ mét hµm vơ hướng đối vớix, bị chặn, đo được, độc lËp víiFs khi Ms ®· biết. Lấy là một biến ngẫu nhiênFso c. Khi ú
E(V(, ω)|Fs) = V(ζ), (3.14) trong ®ã V(x) =E(V(x, ω)).
Chøng minh. Tríc hết, giả s rằngV(x, ) có dạng
V(x, ) =
k
X
i=1
ui(x)vi(), (3.15)
trong ®ã, ui(x) là hàm tất định đối với biến x, bị chặn và vi(ω) lµ biến ngẫu nhiên bị chặn, độc lËp víiFs. Ta cã V(x) = k X i=1 ui(x)Evi(ω). Mặt khác, E(V(ζ, ω)|Fs) = E k X i=1 ui(ζ)vi(ω)|Fs= k X i=1 ui(ζ)Evi(ω) = V(ζ).
Điều này có nghĩa (3.14) đúng với V(x, ω) có dạng (3.15). Vì với mỗi hàm ngẫu nhiênV(x, ω) bị chặn, đo được có thể được xấp xỉ bởi các hàm có dạng (3.15), do đó kết quả tổng quát của bổ đề có được thơng qua lấy giới hạn. Định lý 3.2.4. Giả sử X(t) = Xa,xa(t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.1) với điều kiện ban đầuX(a) = xa. Khi ®ã,(X(t))là q trình
Chøng minh. Tõ tÝnh duy nhất nghiệm của phương trình (3.1), suy ra
Xa,xa(t) =Xs,Xa,xa(s)(t) ∀ s ∈ (a, t],
với xác suất 1. Rõ ràng nghiÖmXs,X(s)(t), t > scủa bài tốn Cauchy (3.1) chỉ phơ thc vµo gia sốM(r)M(s) với r > s và X(s). Do đó, nó ®éc lËp víi Fs . Víi bÊt kú hµm Borelg đo đươc, bị chặn, ta cã
Eg(Xa,xa(t))|Fs = Eg(Xs,Xa,xa(s)(t))|Fs = V(Xa,xa(s)), trong ®ã V(η) = Eg(Xs,(t))|Fs = Eg(Xs,(t)). Do đó, Eg(Xa,xa(t))|Fs = Eg(Xa,xa(t))|Xa,xa(s).
kết luận và kiến nghị
I. Kết luận chung
Luận văn đà thu được các kết qu¶ chÝnh sau:
1) HƯ thèng hóa một số kiến thức cơ bản về giải tích tất định trên thang thời gian. 2) Trên cơ sở các kết quả trong tài liệu tham khảo [3] và [4] chúng tơi trình bày chi tiết và có hệ thống các vấn đề sau:
ã Phát biểu và chứng minh được định lý khai triĨn Doob- Meyer ®èi víi sub- martingale trªn thang thêi gian.
ã Xây dựng tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian theo martingale bình phương khả tích, martinagle địa phương bình phương khả tích và mở rộng tích phân theo semimartingale đồng thời chỉ ra các tính chất quen thc cđa chóng.
ã Phát biểu và chứng minh cơng thức Itơ đối với bộ d−semimartingale trªn thang thêi gian, chỉ ra các hệ quả đối với công thức Itô, và ứng dụng.
ã Thiết lập phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích trên thang thời gian, định nghĩa nghiệm và chỉ ra điều kiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên v tớnh Markov ca nghim.
II. Kiến nghị
Thời gian tới chúng tôi mong mn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau: 1) Nghiên cứu các tính chất nghiệm của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian (Toán tử cực vi đối với q trình Markov nghiệm, Cơng thức ước lượng moment...).
2) Nghiên cứu các điều kiện Lipchitz địa phương cho sự tồn tại nghiệm phương trình động lực ngẫu nhiªn trªn thang thêi gian.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Bohner and A. Peterson (2001), Dynamic equations on time scale,
Birkhauser Boston, Massachusetts.
[2] A. Cabada and D. R. Vivero (2006), Expression of the Lebesgue∆-integral on time scale as a usual Lebesgue integral: Application to the calculus of
∆-antiderivatives, Mathematical and Computer Modeling. 43, 194 - 207.
[3] N. H. Du and N. T. Dieu (2011), The first attempt on the stochastic calculus on time scale, Journal of Stochastic Analysis and Application. 29, 1057 -
1080.
[4] N. H. Du and N. T. Dieu (2012), Stochastic dynamic equation on time scale,
accepted in Acta Mathematica Vietnamica.
[5] S. Hilger (1988), Ein Makettenkalkăaul mit Anwendung auf Zentrumsman- nigfaltigkeiten,Ph.D. thesis, Universitaat Wăaurzburg.
[6] N. Ikeda and S. Wantanabe (1981), Stochastic differential equations and diffusion processes,North Holland, Amsterdam.
[7] D. Kannan và B. Zhan (2002), A discrete - time Itô's formula, Stochastic Analysis and Applications. 20, 1133 - 1140.
[8] H. P. McKean. Jr (1969), Stochastic Integrals, Academic Press, New York.
[9] P. E. Protter (2004), Stochastic integration and differential equations, Springer-Verlag Berlin Heidelberg.