Các bước nhảy của quá trình Lévy

3.4 .Quá trình Lévy

3.4.2. Các bước nhảy của quá trình Lévy

Vì một quá trình Lévy là một q trình cadlag, nó chỉ có thể có gián đoạn bước nhảy.

ĐặtXt =lim

s↑t Xs là giới hạn bên trái củaX tạit.

3.4.2.1. Định nghĩa

(a) Bước nhảy4Xt tạit của quá trình Lévy(Xt)được xác định bởi

4Xt =Xt−Xt−

(b) Nếusup| 4Xt |≤C<∞hầu chắc chắn, trong đóC là một hằng số khơng ngẫu nhiên, ta nói rằngX có bước nhảy bị chặn.

Người ta chứng minh được định lý sau đây

Định lí 3.10. ChoX là một quá trình Lévy với bước nhảy bị chặn. Khi đó

E(|Xt |n)<∞với mọi n=1,2, ...

Nhận xét: Định lý trên nói lên rằng một q trình Lévy với bước nhảy bị chặn thì có moment hữu hạn mọi cấp.

3.4.2.2. Phân tích các bước nhảy của một q trình Lévy

ChoΛ là một tập Borel bị chặn bởi 0 (có nghĩa là 0∈/ Λ, trong đó Λlà bao đóng

củaR).

Với một quá trình LévyX, ta định nghĩa các biến ngẫu nhiên sau đây TΛ1 =inf{t >0 :4Xt ∈Λ} TΛ2 =inf n t >TΛ1 :4Xt ∈Λo ........ TΛn+1 =inf{t >TΛn :4Xt ∈ Λ}

VìX có quỹ đạo cadlag và0∈/ Λ, có thể dễ dàng kiểm tra thấy rằng

{TΛn ≥t} ∈Ft+=Ft,

và do đó, mỗiTΛn là một thời điểm dừng.

Hơn nữa, vì 0∈/Λ và các quỹ đạo là cadlag cho nênTΛ1 >0và lim n→∞TΛn=∞ hầu chắc chắn. Ta định nghĩa một quá trình NΛ t ,t >0như sau: NΛ t = ∑ 0≤s≤t 1Λ(4Xs) = ∞ ∑ n=1 1{TΛn≤t} NΛ

t như vậy là một q trình đếm khơng bộc phát.

Có thể kiểm tra trực tiếp để thấy rằng, với0≤s≤t ≤∞ thìNΛ t −NΛ

s đo được vớiσ(Xu−Xv,s ≤v≤u≤t) và do đó NΛ

t −NΛ

s là độc lập đối với Fs, tức là NΛ

là một quá trình với số gia độc lập. Hơn nữa, NΛ

t −NΛ

s có cùng một số bước nhảy trongΛvớiZu =Xs+u−Xs,

phân phối vớiNΛ t−s; do đó NΛ t là một q trình đếm có số gia dừng và độc lập. Vậy NΛ t là một quá trình Poisson. Gọi ν(Λ) =E(NΛ

t ) là một tham số của quá trình Poisson ấy thì ν(Λ)<∞.

Định lí 3.11.

(a) Hàm tập Λ→NΛ

t (ω) xác định độ đo (ngẫu nhiên) σ− hữu hạn trênR\ {0}

với mỗi (t,ω).

(b) Hàm tậpΛ→E NΛ

t (ω)xác định độ đo (tất định)σ−hữu hạn trênR\ {0}.

Chứng minh. (a) Hàm tậpΛ→NΛ t (ω) thực chất là một độ đo đếm µt(Λ) =số nhữngs≤t mà 4Xs(ω)∈Λ do đó nó σ−hữu hạn trênR\ {0}. (b) Hiển nhiên. 3.4.2.3. Độ đo Lévy

Định nghĩa 3.12. Độ đoν xác định bởi

ν(Λ) =E NΛ t =E ∑ 0≤s≤1 1Λ(4Xs) !

được gọi là độ đo Lévy của quá trình LévyX.

Bây giờ ta ký hiệuNt(ω,dx) =νt(ω,dx)là độ đo ngẫu nhiên. Người ta chứng minh được định lý sau đây

Định lí 3.13. Cho Λ là một tập Borel của R, 0∈/ Λ, f là một hàm Borel và hữu hạn trênΛ. Khi đó Z Λ f(x)Nt(ω,dx) = ∑ 0<s≤t f(4Xs)1Λ(4XS).

Vì NΛ

t có số gia độc lập và dừng, ta có

Hệ quả 3.14. Cho Λ là một tập Borel của R, 0∈/ Λ, f là một hàm Borel và hữu hạn trênΛ. Khi đó q trình

Z

Λ

f(x)Nt(.,dx)

là một quá trình Lévy.

3.4.2.4. Quá trình bước nhảy gắn theo một tập Borel

Vẫn giả sử rằng (X) là một quá trình Lévy, Λ là một tập Borel trên R sao cho 0∈/ Λ.

Định nghĩa 3.15. Quá trình ngẫu nhiên JΛ

t xác định sau đây được gọi là một quá trình bước nhảy củaX gắn theo tập Λ:

JtΛ = ∑

0<s≤t

4Xs1Λ(4Xs)

Theo Định lý 3.11và hệ quả của nó, ta kết luận JtΛ= Z Λ xNt(.,dx) vàJΛ t bản thân nó cũng là một q trình Lévy hồn tồn xác định vàJΛ t <∞ hầu chắc chắn với mỗit ≥0. Định lí 3.16. ChoΛ,0∈/Λ, quá trìnhXt−JΛ t là một quá trình Lévy. Chứng minh.

Chỉ cần kiểm tra tính độc lập và tính dừng của số gia. Ta nhận thấy Xt−JtΛ−Xs−JsΛ

=Xt−Xs− ∑

s≤u≤t

rõ ràng là đo được đối với

σ{Xv−Xu;s≤u≤v≤t}

màσ−trường này độc lập vớiFs.

Ngồi ra theo tính dừng của số gia của X, nên(∗) có cùng luật phân phối với Xt−s−Jt−s

3.4.2.5. Tốc độ trung bình để rơi vào một tập đã cho của các bước nhảy của một quá trình Lévy

Người ta chứng minh được định lý sau đây

Định lí 3.17. Giả sử Λlà một tập Borel với0∈/ Λ.

Choν là một độ đo Lévy của X và giả sử rằng f là một hàm Borel sao cho

f1Λ∈ L2d(ν) Khi đó ta có các hệ thức E Z Λ f(x)Nt(.,dx) =t Z Λ f(x)ν(dx) và E   Z Λ f(x)Nt(.,dx)−t Z Λ f(x)ν(dx)   2 =t Z Λ f2(x)ν(dx) Chú ý: Nếu lấy f ≡1thì ENtΛ =tν(Λ) do đó ν(Λ) = EN Λ t t

=số trung bình của những lần mà độ dài bước nhảy∈Λtrong một đơn vị thời gian.

Hệ quả 3.18. cho f :R→R là một hàm giới nội và triệt tiêu trong một lân cận của0. Khi đó E ∑ 0≤s≤t ft(∆Xs)1Λ(∆Xs) =t ∞ Z −∞ f(x)ν(dx).

3.4.2.6. Hai quá trình bước nhảy gắn theo hai tập Borel rời nhau

Định lí 3.19. ChoΛ1,Λ2 là hai tập Borel rời nhau, với 0∈/ Λ1 và0∈/ Λ2. Khi đó hai q trình Jt1 = ∑ 0<s≤t ∆Xs1Λ1(∆Xs) Jt2 = ∑ 0<s≤t ∆Xs1Λ2(∆Xs)

là những quá trình Lévy độc lập với nhau.

3.4.3. Q trình Lévy là một semimartingale Định lí 3.20. ChoX là một q trình Lévy. Khi đó

Xt =Yt+Zt

trong đóY vàZ đều là hai quá trình Lévy mà:

- Y là một martingale với bước nhảy bị chặn vàYt ∈Lp với mọi p≥1.

- Z là một quá trình quĩ đạo với biến phân bị chặn trên các tập compact.

Chứng minh.ĐặtJt = ∑

0<s≤t

∆Xs1(|∆Xs|≥1)

VìX có các quỹ đạo cadlag, nên với mỗiω cố định, hàms→Xs(ω)chỉ có một số hữu hạn bước nhảy trên khoảng[0,t]. Do đó J có biến phân bị chặn trên các tập compact.

J cũng là một quá trình Lévy nên theo Định lý 3.16 và hệ quả của nó. Q trìnhW =X−J cũng là một q trình Lévy theo Định Lý 3.18vàW có các bước nhảy bị chặn bởi 1.

Ta biết rằng, với n≥1,E |Wt |n<∞ theo Định lý 3.8 và bởi vìW là một q trình tự đồng dạng nên ta suy ra:

Nếu kí hiệuα =EW1, ta có thể viết EWt =αt(Nhắc lại rằngEW0=0). Bây giờ ta đặt

Yt =Wt−EWt.

Khi đó q trình Y = (Yt) là một quá trình với các số gia độc lập với kỳ vọng EY =0, cho nênY là một martingale.

Đặt Zt =Jt+αt, đó là một q trình Lévy. Ta có kết quả Xt =Wt+Jt = Yt+EWt |{z} αt ! + (Zt−αt) VậyXt =Yt+Zt. Định lí 3.21.

Cho X là một quá trình Lévy với bước nhảy bị chặn bởi α : sup

s

| ∆Xs |≤ α hầu

chắc chắn.

ĐặtZt =Xt−EXt. Khi đóZ là một martingale và

Zt =Ztc+Ztd,

trong đó

• Ztc là martingale với quỹ đạo liên tục

• Ztd là một martingale với

Ztd =

Z

{|x|≤α}

x[Nt(.,dx)−tν(dx)]

• Zc vàZd là hai q trình Lévy độc lập.

Chứng minh.

Với một tập BorelΛcho trước, ta định nghĩa MΛ t = Z Λ  xNt(.,dx)−t Z Λ xν(dx)   = ∑ 0≤s≤t ∆Xt1Λ(∆Xs)−t Z Λ xν(dx).

Trong chứng minh này ta lấyα =1. ĐặtΛk = 1 k+1 <|x|≤ 1 k

Khi đó các MΛk = MΛk,t ≥0 là các q trình Lévy độc lập từng đơi một theo Định lý3.18và là các martingale.

ĐặtMn =

n

∑

k=1

MΛk Khi đó các martingale Z−Mn vàMn là độc lập với nhau với lý do tương tự như trong Định lý3.18. Hơn nữa ta cịn có

Var(Zt) =Var(Zt−Mtn) +Var(Mtn),

trong đó Var(X)là phương sai của X. Do đó

Var(Mn)≤Var(Zt)<∞ với mọi n.

Ta suy ra rằng Mtn hội tụ trong L2 khi n→∞ đến một martingale Ztd, và Zt−Mtn cũng hội tụ đến martingaleZtc. Đùng bất đẳng thức bậc hai tối đại của Doob:

E(sup|Ms |)2 ≤4EM∞2

ta có thể tìm được một dãy con hội tụ hầu chắc chắn và đều theo t trên các tập compact. Điều đó cho phép kết luận rằngZc có quỹ đạo liên tục. VìMn vàZ−Mn là độc lập với mỗi n, nênZd vàZc là độc lập với nhau.

Chú ý:Do sự hội tụ của Mtn tớiZtd trong L2, ta thấy rằng tích phân

Z

[−1,0]∪(0,1]

3.4.4. Biểu thức phân tích một q trình Lévy và cơng thức Lévy-Khintchin

Ta nhắc lại rằng với một tập Borel Λ,0∈/Λthì quá trình NtΛ =

Z

Λ

Nt(.,dx)

là một quá trình Poisson với tham sốν(Λ) vớiν là độ đo Lévy, và như vậy NΛ

t −tν(Λ) là một martingale.

3.4.4.1. Định nghĩa quá trình Poisson đối trọng

ChoN =N(t)là một quá trình Poisson với tham sốλ. Khi đóNt−λt được gọi là một q trình Poisson đối trọng. Đó là một martingale, và cũng thường được gọi là martingale Poisson.

3.4.4.2. Nhận xét về việc phân tích một q trình Lévy

Theo Định lý 3.20 thì nếu X là một quá trình Lévy quy tâm (tức EX =0) với bước nhảy bị chặn thìX có phân tích:

Xt =Xtc+

Z

{|x|≤α}

x[Nt(.,dx)−tν(dx)]

tức làX có thể phân tích thành tổng của một q trình Lévy (và là một martingale liên tục) với một hỗn hợp các quá trình Poisson đối trọng.

Người ta chứng minh được rằng

EeiuXtc =e−tσ2u

2 2

điều đó nghĩa làXc = (Xtc) phải là chuyển động Brown. Từ đó có thể rút ra Định lý phân tích Lévy.

Định lí 3.22. ChoX là q trình Lévy. Khi đóX có phân tích sau đây Xt=σBt+ Z {|x|<1} x[Nt(.,dx)−tν(dx)]+t   EX1− Z {|x|≥1} xN1(.,dx)   + Z {|x|≥1} xNt(.,dx) hay là Xt =σBt+ Z {|x|<1} x[Nt(.,dx)−tν(dx)] +αt+ ∑ |x|≥1 ∆Xs1{|x|≥1}, trong đó: - Blà một chuyển động Brown, - với mọi tậpΛ,0∈/ Λ,NΛ t =R Λ

Nt(.,dx)là một quá trình Poisson độc lập với B; NΛ

t và NΓ

t là độc lập nếu Λ∪Γ= /0;NΛ

t có tham số là ν(Λ) và ν(dx) là một độ đo trênR\ {0}sao choR min 1,x2ν(dx)<∞.

3.4.4.3. Biến đổi Fourer của một quá trình Lévy

Người ta chứng minh được định lý sau đây

Định lí 3.23. Cơng thức Lévy-Khintchin.

ChoX = (Xt) là một q trình Lévy với độ đo Lévyν(dx). Khi đó

E eiuXt=e−tψ(u) trong đó ψ(u) = σ 2 2 u 2−iαu+ Z |x|≥1 1−eiuxν(dx) + Z |x|<1 1−eiux+iuxν(dx).

Hơn nữa, nếu ν,σ và α cho trước thì quá trình Lévy X được xác định duy nhất theo nghĩa phân phối.

Kết luận

Luận văn đã tập trung nghiên cứu một số vấn đề cơ bản của giải tích ngẫu nhiên đối với các q trình có bước nhảy. Trong khn khổ của luận văn, người viết đã xây dựng được cơng thức tích phân ngẫu nhiên đối với các q trình có bước nhảy. Các cơng thức quan trọng khác như cơng thức tích phân ngẫu nhiên Itơ đối với q trình có bước nhảy, định lý Girsanov về biến đổi độ đo,... cũng được tác giả đưa ra và chứng minh. Ngoài ra trong chương 3, người viết cũng nêu ra một số vấn đề liên quan đến giải tích ngẫu nhiên đối với các q trình có bước nhảy. Đó là cơng thức Itơ cho các q trình semimartingale và semimartingale mũ có bước nhảy; các q trình ngẫu nhiên có bước nhảy điển hình Poisson và Lévy.

Luận văn cũng mở ra cho người viết những hướng nghiên cứu tiếp sau này về giải tích ngẫu nhiên đối với các q trình có bước nhảy bởi các bài tốn trong kinh tế, tài chính và điều khiển học,. . . ln gặp các q trình có bước nhảy.