4 ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN POISSON VÀ QUÁ TRÌNH LEVY
4.2 Quá trình Levy
4.2.1 Định nghĩa và ví dụ
Một q trình Levy là một quá trình cadlag bắt đầu từ 0 với gia số độc lập dừng. Một hệ Levy là bộ ba (a, b, K), trong đó a = σ2 ∈ [0,∞) là sự khuếch tán, b ∈ R là sự trôi và K là độ đo Levy, là một độ đo Borel trên R với K(0) = 0 và
Z
R
1∧ |y|2K(dy) < ∞
Cho B là một chuyển động Brown và M là một độ đo ngu nhiờn Poisson vi cng à trờn (0,)ìR trong ú µ(dt, dy) =dtK (dy), như trong
mục trước. Đặt Xt = σBt +bt+ Z (0,t]×{|y|≤1} yM˜ (ds, dy) + Z (0,t]×{|y|>1} yM (ds, dy).
Khi đó (Xt)t≥0 là q trình Levy và, với mọi t ≥0,
E eiuXt= etψ(u) trong đó ψ(u) =ibu− 1 2au 2 + Z
Suy ra, với mọi hệ Levy có tương ứng với một q trình Levy. Hơn nữa, với (Xt)t≥0 chúng ta có thể khơi phục M bởi
M ((0, t]×A) = #{s ≤ t: Xs−Xs− ∈ A}
và chúng ta cũng có thể khơi phục bvà σB. Do đó phân phối của q trình Levy (Xt)t≥0 xác định được hệ Levy (a, b, K).
4.2.2 Định lý Levy-Khinchin
Định lý 4.3. (Định lý Levy-Khinchin). Cho X là q trình Levy. Khi đó tồn tại duy nhất hệ Levy (a, b, K) sao cho, với mọi t≥ 0,
E eiuXt= etψ(u) (4.2) trong đó ψ(u) = ibu− 1 2au 2 + Z R
eiuy −1−iuy1|y|≤1K(dy). (4.3)
Chứng minh. Đầu tiên thấy rằng đó là hàm liên tục ψ : R → C với ψ(0) = 0 sao cho (4.2) đúng với mọi u ∈ R và với t = 1/n với mọi n ∈ N. Kí hiệu νn là luật, và φn là hàm đặc trưng, của X1/n. Chú ý rằng φn liên tục vàφn(0) = 1. Kí hiệu In chứa khoảng mở lớn nhất 0 trong đó|φn| > 0.
Có hàm liên tục duy nhất ψn : In →C sao cho ψn(0) = 0 và φn(u) =eψn(u)/n
, u ∈ In
Do X là q trình Levy, ta có (φn)n = φ1, nên In = I và ψn = ψ1 với mọi n. Viết I = I1 và ψ = ψ1. Khi đó φn → 1 trên I khi n → ∞ và φn = 0
trên ∂I với mọi n. Bởi lập lập sử dụng trong Định lý 2.11, (νn : n∈ N)
là chặt nên với mọi dãy con φnk → φ trên R, với hàm đặc trưng φ. Ảnh hưởng ∂I = ∅ nên I = R.
Chúng ta thấy (4.2) đúng với mọi t ∈ Q+. Từ X là cadlag, mở rộng với mọi t∈ R+ sử dụng
Xt = lim
n→∞X2−nd2nte
Còn phải chứng tỏ rằng ψ có thể được viết dưới dạng (4.3). Chú ý rằng cũng có thể tìm một đại diện tương tự trong đó 1|y|≤1 thay bởi χ(y) với một số hàm liên tục χ với
Chúng ta có
Z
R
eiuy −1nνn(dy) =n(φn(u)−1) →ψ(u)
khi n→ ∞, compact đều trong u. Do đó
Z
R
(1−cosuy)nνn(dy) → −Reψ(u)
Bây giờ có một hằng số C < ∞ sao cho y21|y|≤1 ≤ C(1−cosy)
1|y|≤λ ≤ Cλ
Z 1/λ
0
(1−cosuy)du, λ ∈ (0,∞)
Đặt ηn(dy) =n 1∧y2νn(dy). Khi đó, cho n → ∞, ηn(|y| ≤ 1) = Z R y21|y|≤1nνn(dy) ≤ C Z R
(1−cosy)nνn(dy) → −CReψ(1)
và, với λ ≥1, ηn(|y| ≥ λ) = Z R 1|y|≥λnνn(dy) ≤Cλ Z 1/λ 0 Z R
(1−cosuy)nνn(dy)du → −Cλ
Z 1/λ
0
Reψ(u)du
Chú ý rằng, khi ψ(0) = 0, giới hạn cuối cùng có thể nhỏ tùy ý bởi cách
chọn λ đủ lớn. Do đó, dãy (ηn :n ∈ N) bị chặn trong tổng khối lượng lớn và chặt. Bởi định lý Prohorov, có dãy con (nk) và độ đo hữu hạnη trên R sao cho ηnk(θ) → η(θ) với mọi hàm liên tục bị chặn θ trên R. Bây giờ
Z R eiuy −1nνn(dy) = Z R eiuy −1ηn(dy) 1∧y2 = Z R
eiuy −1−iuyχ(y)
1∧y2 ηn(dy) + Z R iuyχ(y) 1∧y2 ηn(dy) = Z R
trong đó
θ(u, y) =
eiuy −1−iuyχ(y) 1∧y2, nếu y 6= 0 −u2 2, nếu y = 0 và bn = Z R yχ(y) 1∧y2ηn(dy)
Bây giờ, với mỗi u, θ(u, .) là hàm bị chặn. Vì vậy, cho k → ∞,
Z R θ(u, y)ηnk (dy) → Z R θ(u, y)η(dy) = Z R
eiuy −1−iuyχ(y)K(dy)− 1
2au
2
trong đó
K(dy) = 1∧y2−11y6=0η(dy), a = η({0})
Khi đó bnk cũng phải hội tụ đến b và ta thu được dạng ψ(u) = ibu− 1
2au
2 + Z
R
Tài liệu tham khảo
[1] Đào Hữu Hồ (1998), Xác suất thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà
nội.
[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2006),Lý thuyết xác suất, NXB Giáo
dục.
[3] Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng (2001), Các mơ hình xác suất và ứng dụng, Phần II: Quá trình dừng và ứng dụng, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội
[4] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mơ hình xác suất và ứng dụng, Phần I: Xích Markov và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
[5] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất và ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà nội.
[6] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Giáo dục.
[7] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia
Hà nội.
[8] L.C.G.Rogers and D.Williams (1994), Diffusions, Markov processes and Martingales Vol.I (2nd edition).
[9] D.Williams (1991), Probability with Martingales, Cambridge Univer-
sity Press.
[10] Morters and Peres (2010), Brownian Motion, Cambridge.