4 Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale
4.3 Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc
với mỗiA∈F∞, sao cho Z A∩An ∥M∥d P=∥F ∥(A∩An)≤ Z sup n∈N∥Mn∥d P.
Do M là đo được,P(An)↑1vàR
A
∥Mn∥d P < ∞ với mỗi A∈F∞. Suy raM là Bochner khả tích và Mn=E(M|Fn)với mỗin =1, 2, . . .. Do đó, theo định lý 4.2.2,Mn hội tụ hầu chắc chắn khin→ ∞.
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khisupn∈NE∥Mn∥< ∞. Với mỗit>0, định nghĩa thời
điểm dừng
σ=σt:=min{n:∥Mn∥≥t}.
Khi đó Nn:=Mn∧σ là một mactigan thỏa mãn điều kiện Esupn∈N ∥Nn∥< ∞. Hơn nữa,
limn→∞x0(Nn)=x0(Mσ)hầu chắc chắn, với mỗix∈D, trong đó
Mσ=M I{σ=+∞}+ ∞
X
n=1
MnI{σ=n}.
Theo phần đầu tiên của chứng minh này, mactigan N1,N2, . . . hội tụ hầu chắc chắn tới
Mσvà để kết thúc chứng minh chú ý rằng theo bất đẳng thức Doob cực đại của mệnh đề
4.1.1,limt→∞P(σt < ∞)=0.
4.3 Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc
Định nghĩa 4.3.1. Ta nói rằng hai dãy(Fi)- tương thíchX1,X2, . . .vàY1,Y2, . . .của các biến ngẫu nhiên có giá trị trong F là tiếp xúc nếu với mỗii=1, 2, . . .
L(Xi|Fi−1)=L(Yi|Fi−1)
hầu chắc chắn.
Với các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, sự tiếp xúc đơn giản có nghĩa là với mỗic∈R,
4.3. CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC
hầu chắc chắn.
Theo quan điểm về sự tiếp xúc của các dãy được sử dụng trong phần còn lại của luận văn này, phải lưu ý rằng các dãy X1,X2, . . . vàY1,Y2, . . . là tiếp xúc khi và chỉ khi với mỗi dãy bị chặn(Fi)- dự đốn được (tức là(Fi−1)- tương thích)v1,v2, . . . của các biến ngẫu nhiên thực và với mỗi dãy f1,f2, . . . các hàm Borel bị chặn đo được ta có, với mỗii =1, 2, . . .
E vifi(Xi)=E vifi(Yi).
Đặc biệt, do đó với bất kỳ thời điểm dừng bị chặnτ, và bất kỳ các dãy tiếp xúcX1,X2, . . .
vàY1,Y2, . . . E τ X i=1 vifi(Xi)=E τ X i=1 vifi(Yi)
Bởi vì I(τ≥i) là (Fi)- dự đoán được. Nếu các dãy X1,X2, . . . và Y1,Y2, . . . là tiếp xúc thì với bất kỳ dãy (Fi−1)- tương thích v1,v2, . . . các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, các dãy
v1X1,v2X2, . . . vàv1Y1,v2Y2cũng tiếp xúc.
Ví dụ 4.3.2. Cho X1,X2, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong F,
X10,X20, . . . là các bản sao độc lập của nó và cho v1,v2, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên
(Fi)- dự đốn được, trong đó Fi =σ(X1, . . .Xi,X10, . . . ,Xi0) với i =0, 1, 2, . . .. Khi đó các dãy
v1X1,v2X2, . . . vàv1X10,v2X20. . . là tiếp xúc
Ví dụ 4.3.3. Cho X1,X2, . . . là một dãy(Fi)- tương thích và choYi :=Xi◦Ti vớii =1, 2, . . ., trong đó Ti : (Ω,Fi,P)→(Ω,Fi,P) là các phép ánh xạ đo được bảo tồn độ đo sao cho
TiA=Avới bất kỳ A∈Fi−1. Khi đó dãyX1,X2, . . . vàY1,Y2, . . . là tiếp xúc.
Định nghĩa 4.3.4. Một dãyFi- tương thíchX1,X2, . . .của các biến ngẫu nhiên trongF được gọi là thỏa mãn điều kiện(C I)( độc lập có điều kiện) nếu tồn tại mộtσ- trườngG⊂Fsao choL(Xi|Fi−1)=L(Xi|G)hầu chắc chắn vớii=1, 2, . . . và sao choX1,X2, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lậpG- có điều kiện.
4.3. CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC
Các dãy tiếp xúc thỏa mãn điều kiện(C I)làG- có điều kiện độc lập và ý tưởng chính về
ứng dụng của nó là để xây dựng, với một dãy cho trước X1,X2, . . ., một dãy tiếp xúc với tính chất(C I)(hoặc sự tương tự của nó cho các q trình) và khi đó, qua các bất đẳng thức đã đưa ra từ đầu đến giờ, suy ra các kết quả vềX1,X2, . . . từ các kết quả về các biến ngẫu nhiên độc lập.
Định nghĩa 4.3.5. Cho X1,X2, . . . là một dãy(Fi)- tương thích trên một khơng gian xác suất có lọc(Ω,F,P; (Fi)). Với bất kỳ khơng gian có lọc(Ω0,F0; (F0
i))và bất kỳ hàm xác suất chuyểnP0:Ω×F→R+, một dãyXˆ1, ˆX2, . . .của biến ngẫu nhiên xác định trênΩˆ =Ω×Ω0và tương thích với lọc( ˆFi)=Fi⊗F0
i được gọi là dãy tiếp xúc rời nhau tớiX1,X2, . . .nếu
(a) Với mỗi ω ∈Ω, dãy Xˆ1(ω, .), ˆX2(ω, .), . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên
(Ω0,F0,P0(ω, .))và
(b) Các dãy Xˆ1, ˆX2, . . . và X10,X20, . . ., trong đó Xi0(ω,ω0) :=Xi(ω), với(ω,ω0)∈Ω×Ω0, với i =
1, 2, . . . là tiếp xúc trên khơng gian xác suất có lọc ( ˆΩ, ˆF, ˆP; ( ˆFi)). Ở đâyPˆđược định nghĩa bằng cơng thức ˆ P(B) :=P⊗P0(B)= Z A P0(ω,B)P(dω),
trong đó A∈FvàB∈F0. Khi đó, sự mở rộng tầm thườngXi0ở trên củaXi đơn giản là đồng nhất vớiXi mà không gây nên sự hiểu nhầm nào.
Rõ ràng, một dãy tiếp xúc rời nhau thỏa mãn điều kiện(C I)đối vớiσ- trườngG=F( hoặc chính xác hơn đối vớiG=F⊗{Ω,;}).
Với một dãy cho trướcX1,X2, . . .có một phương pháp chính tắc để xây dựng một dãy tiếp xúc tách rời. Cho Ω0=RN, cho F0
i là mộtσ- trường được sinh bởi các tọa đội đầu tiên trongRN và cuối cùng, cho
P0(ω,B)=
³ ∞
O
i=1
L(Xi|Fi−1)(ω)´(B),
Khi đó dãyXˆi(ω, (xj))=xi,i=1, 2, . . . là một dãy tiếp xúc tách rời tớiX1,X2, . . .
Ví dụ 4.3.6. Cho (Ω,F,P)=N∞
i=1(Ωi,Fi,Pi) là một khơng gian tích xác suất vô hạn với ω=(ω1,ω2, . . . ) và choFi làσ- trường chỉ phụ thuộc vào các tọa độ i đầu tiên ω1, . . . ,ωi.