Chương 2 Mơ hình động học rừng với điều kiên biên hỗn hợp
2.3. Nghiệm toàn cục
2.3.4. Hệ động lực
ChoKlà không gian giá trị ban đầu K= u0 v0 w0 ∈X;u0 ≥0,v0≥0,w0 ≥0 .
Theo các đánh giá trong mục nghiệm toàn cục ta thấy với mỗiU0 ∈Ktồn tại duy nhất nghiệm toàn cụcU(t,U0) =t(u(t),v(t),w(t)) của hệ (2.1) và nghiệm này liên tục với điều kiện ban đầu. Khi đó ta có thể định nghĩa nửa nhóm {S(t)}t≥0 xác định như sau:
S(t): [0,∞)×K →X
(t,U0) 7→U(t,U0)
Nửa nhómS(t)là nửa nhóm liên tục vàKđược trang bị chuẩn sinh ra từ không gian pha X. Vì vậy, ta có thể xây dựng hệ động lực(S(t),K,X)cho bài tốn (2.1).
Bây giờ ta đi kiểm tra tính hấp thụ của tập{S(t),K,X}. Thật vậy, lấyR>0và U0 ∈K thỏa mãn kU0k ≤R. Khi đó, từ (2.14) ta thấy tồn tạitR sao chokU(t)k ≤
˜
C+1 ∀t ≥tR,trong đóC˜ là hằng số xuất hiện trong đánh giá tiên nghiệm. Suy ra sup U0∈K kU0k≤R sup t≥tR kS(t)U0k ≤C˜+1. Đặt B={U ∈K;kUk ≤C˜+1}
là một tập hút của hệ(S(t),K,X). VìBlà một tập hút nên tồn tạitB >0sao cho
S(t)B⊂B, ∀t ≥tB.
Xét tập
˜
X=∪0≤t<∞S(t)B=∪0≤t<tBS(t)B.
Rõ ràng,X˜ là một tập bất biến đối vớiS(t). Theo Định lý 2.1 ta có
kAS(t)U0k ≤CX˜t−1, 0<t ≤TX˜, U0∈X˜ với TX˜ đủ nhỏ và hằng sốCX˜ >0. Ta xác định tập con củaX˜
X=S(TX˜)X˜ ⊂X˜.
Ta thấy rõ ràng tập con X cũng là một tập hấp thụ. Hơn nữa X⊂ D(A) với ước lượng
kAUk=kAS(TX˜)U0k ≤CX˜TX−1˜ , U =S(TX˜)U0 ∈X, U0∈X˜.
Định lý 2.3. Hệ động lực(S(t),K,X)xác định từ bài tốn (2.1)có thể thu hẹp lại thành hệ động lực (S(t),X,X)trong đó khơng gian pha X là tập con bị chặn của
KẾT LUẬN
Nội dung của luận văn này là trình bày một số kết quả nghiên cứu mơ hình động học rừng (2.1) mô tả sự phát triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái sinh. Luận văn đã trình bày những nội dung chính sau:
1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về khơng gian hàm có trọng, khơng gian Sobolev, các kết quả cùng một số định lý liên quan tới phương trình phương trình tiến hóa tuyến tính và phương trình tiến hóa nửa tuyến tính .
2. Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục của mơ hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp.
3. Xây dựng tập hút cho hệ động lực sinh bởi (2.1).
Tuy nhiên do thời gian thực hiện luận văn khơng nhiều cịn có những sai sót em rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và bạn đọc.
Tài liệu tham khảo
[1] M. Ya. Antonovsky, M. D. Korzukhin, Mathematical modeling of economic and process ecological-economic, Proc. International Symp. "Intergrated
Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hy- dromet, 1983, 353-358.
[2] D. B. Botkin, J. F. Janak,Some ecological consequences of a computer model of forest growth, J. Ecol. 60 (1972), 849-872.
[3] L. H. Chuan, A. Yagi,Dynamical system for forest kinetic model, Adv. Math.
Sci. Appl. 16 (2006), 393-409.
[4] Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev and A. Aponina, A cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math. Biol. 32 (1994),
219-232.
[5] T. Shirai, L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinematic model under Dirichlet conditions, Sci. Math. Jpn, 66 (2007), 289-301.
[6] A. Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications,
Springer, (2010).
[7] A. Yagi, M. Primicerio, A modified forest kinematic model, Vietnam journal