3 Các mơ hình tín dụng với thơng tin không đầy đủ
3.1.3 Định giá với thông tin không đầy đủ
Có (Tính tốn số lượng) xác suất sống sót điều kiện rủi ro trung tính p(t, s) =Q(τ > s|Ht) từ (24) hoặc (25) bằng cách thay thế µ và r, chúng ta có thể tiếp tục tiến hành thảo luận trước đây về định giá:
Ví dụ, giá tại thời điểm t của một trái phiếu zero với kỳ hạn T và giá trị thu hồi R được cho bởi:
Λ(t, T) = e−r(T−t)p(t, T)−R(T)RtT e−r(u−t)p(t, du)
và nếu chúng ta giả sử thanh toán hàng quý của trái phiếu có coupon, lãi suất ngang bằng theo mệnh giá ( the par coupon rate ) hoặc chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu rủi ro c(T) được cho bởi:
c(T) = 4(1−Λ(0, T))
P4T
i=1Λ(0, i/4)
Cũng vậy, theo (10), giá trị thị trường tại thời điểm t đối với một chênh lệch CDS với mệnh giá A là:
A[R(T)−1]RtT e−r(u−t)dp(t, du) e−r(T−t)p(t, T)−RT
t [u(t) +e(t)]dp(t, du)
Tất nhiên, mơ hình này cũng có thể được khái quát để giải thích cho các tương quan default giữa các đối tượng, nhưng độ phức tạp tính tốn sẽ tăng đáng kể.
3.2 Các mơ hình dạng rút gọn với thơng tin khơng đầy đủ
3.2.1 Q trình xu hướng
Giả sử chỉ số rủi ro ( default indicator ) là Ht = 1τ≤t, khi đó xác suất sống sót (survival probability) tại thời điểm t, điều kiện trên bộ lọc thông tin của nhà đầu tư được cho bởi:
Lt = E(1−Nt|Ht) =P(τ > |Ht)
Do N là một quá trình khơng giảm, q trình L là một martingale trên (supermartingale) trong đó Ls ≥ E(Lt|Fs) với t>s. Định lý khai triển Dood-Meyer nói rằng tồn tại duy nhất q trình K là Ht- tăng khả đốn với K0 = 0 trong đó L+K là một H − martingale. Nếu chúng ta định nghĩa quá trình A -H- khả đốn bởi tích phân Stieljes:
At = R0t dKs
Ls−
trong đó ta coi L0− = 1, khi đó theo Jeulin và Yor (1978), chúng ta có
mệnh đề sau :
Mệnh đề 3.1. Quá trình N −Aτ là một martingale với mối liên quan tới bộ lọc thông tin- Ht của nhà đầu tư.
Chúng ta gọi quá trình A là " xu hướng " (trend) của mơ hình rủi ro
(τ,H). Việc giới thiệu các xu hướng đưa ra một đặc tính chung của các
mơ hình rủi ro dựa trên cường độ.
Định nghĩa 3.1. (Các mơ hình dựa trên cường độ) Một mơ hình rủi ro
(τ,H) gọi là có cường độ (intensity based) theo nghĩa mạnh, nếu tồn tại
Lt = e−R0tλsds
với t>0, trong khi đó theo nghĩa yếu:
At = R0tλsds .
Quá trình λ gọi là cường độ của mơ hình.
Một u cầu hình thức biện minh cho định nghĩa của chúng ta được đưa ra như sau:
Yêu cầu 3.1. Nếu một mơ hình là có cường độ theo nghĩa mạnh, thì nó cũng là có cường độ theo nghĩa yếu; Ngược lại, phần bù của H trong L là
1-L.
Chứng minh : Trong thực hành, dễ thấy điều kiện K=1-L là đủ đối với: At = −logLt
Điều kiện H - phần bù của L là 1-L tầm thường, nếu L là khơng đổi và F
là khả đốn, điều này đúng cho mọi trường hợp. Trong điều kiện kỹ thuật, với t<s: q(t, s) = P(τ ≤ s|Ht) = P(τ > t|Ht)−P(τ > s|Ht) P(τ > t|Ht) = 1− E(Ls|Ht) Lt = 1−E(eAt−As|Ht) (26) Từ đó Lt = e−At
Mệnh đề 3.2. Nếu mơ hình là có cường độ theo nghĩa mạnh với cường độ λ liên tục phải, khi đó cho t<τ:
lim
ε→0+S(t, t+ε) = 1
ε ε→0+lim q(t, t+ ε) = λt
Kết quả này khác với những gì chúng ta có trong mục 2.1.5, ở đó theo thơng tin đầy đủ lim
ε→0+S(t, t+ ε) = 1
ε ε→0+lim q(t, t+ ε) = λt = 0. Nó cũng
chứng tỏ rằng định nghĩa trên cũng có mối liên hệ tự nhiên với các mơ hình cấu trúc với thơng tin đầy đủ.
3.2.2 Mối liên hệ với các mơ hình cấu trúc
Tương tự các tính tốn trong mục 5.1.1 a(x, y, z0, t) =P(τ ∈ dt, Zt ∈ dx|Yt = y) = ψ(z0 −d, x−d, σ√ dt)φU(y −x)φZ(x) φY(y)dt và: f(x, y, z0, t) =P(Zt ∈ dx|Yt = y, τ ∈ dt) = P(τ ∈ dt, Zt ∈ dx|Yt = y) P(τ ∈ dt|Yt = y) = R+∞a(x, y, z0, t) d a(x, y, z0, t)dx
Do đó, tạiωmà0 < t < τ(ω), phân phối có điều kiệnHt của Z được cho bởi f(z, Yt, z0, τ(ω)).Từ đó,ψ(z0,0, k)=0, với mọiz0, k > 0, f(d, Yt, z0, τ(ω)) = 0. Có thể thấy rằng f(z, Yt, z0, τ(ω)) là khả vi, liên tục tại (d,+∞).
Mệnh đề 3.3. Nếu chúng ta định nghĩa quá trình λ bởi λt = 0 với t > τ
và: λt(ω) = 1/2σ2fx(d, Yt, z0, τ(ω))(0 < t ≤ τ) Khi đó: 1 ε lim ε→0+q(t, t+ε) = Rd+∞ 1−π(ε, x−d) ε g(x, Yt, z0, t)dx = λt
trong đó q(t, t+ε) =P(τ ≤ t+ε|Ht). Theo mệnh đề (5.5) λt là Ht cường
Ví dụ 3.1. Giả sử bây giờ chúng ta xét 1 trường hợp khác, ở đó Ht được tạo ra bởi quá trình tài sản σ của đối tượng, nhưng chúng ta không biết về rào cản rủi ro D. Giả sử M là lịch sử của q trình tài sản, khi đó:
Lt = P(τ > t|Ht) =P(Mt > D|Ht) = G(Mt)
Trong đó G là phân phối của D. Từ L là Ht - thích nghi và dự đốn được.
Theo đó At = −log(G(Mt)). Giả sử G(x) =ex, theo (26), ta có:
q(t, s) = 1−E(eAt−As|Ht) = 1−E(eMs−Mt|Ht) = 1− Z −v −∞ ev+xdP(Ms−t ≤ x) = Z −v −∞ ev+xP(Ms−t ≤ x)dx = p(s−t, v)
Trong đó v = Vt −Mt, và theo kết quả trong mục 3.1: P(Mt ≤ x) = Φ log(D/V0)−mt σ√ t + d V0 Φ log(D/V0) +mt σ√ t
Nếu chúng ta giả sử ε = t−s, tính tốn trực tiếp chứng tỏ p(ε, v) bằng:
Φ −v −mε σ√ ε −ev+rεΦ −v−νε σ√ ε +e 1−γv γ Φ mε−v σ√ ε −e v+εβ γ Φ δε−v σ√ ε Trong đóv = m+σ2, γ = (1+2m)/σ2, δ = m−γσ2, β = −mγ+γ2σ2/2. Theo độ đo rủi ro trung tính, chúng ta có thể sử dụng q(t,s) để định giá. Điều đáng tin cậy là:
lim
ε→0+S(t, ε) =
(
0 nếu v > 0
+∞ trường hợp cịn lại
Hình 3.1 cho thấy một số hình dạng khác nhau của xác suất tồn tại và các đường cong chênh lệch tín dụng tương ứng.
3.2.3 Định giá theo thông tin không đầy đủ
Theo định nghĩa của quá trình xu hướng (Trend process), Đó là tự nhiên để xem xét thay thế q trình cường độ λt với dAt, bất cứ khi nào cường độ xuất hiện trong cơng thức tính giá.
Ví dụ, nếu chúng ta giả định lãi suất phi rủi ro không đổi, giá trị thị trường tại thời điểm t của một trái phiếu zero đáo hạn tại thời điểm T với mệnh giá 1 và giá trị thu hồi 0 là:
e−r(T−t)EtQ(e−RtTdAs) = e−r(T−t)EtQ(eAt−AT)
Khi đó chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu được cho bởi: S(t, T) = AT −At
T −t
Với phục hồi phân đoạn ( Fractional recovery )R = lS− tại ngày đáo hạn, ở đó l là 1 hằng số, chúng ta có giá thị trường tại thời điểm t của trái phiếu zero được cho bởi:
e−r(T−t)EtQ(e−RtT(1−l)dAs) = e−r(T−t)EtQ(e(1−l)(At−AT))
Do đó chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu được cho bởi: S(t, T) = (1−l)(AT −At)
T −t
Tất nhiên đề án này cũng có thể được mở rộng để định giá các sản phẩm khác. Tuy nhiên, nó chỉ hấp dẫn về mặt lý thuyết , các tính tốn cần thiết để có được A tương đương với u cầu phải tính tốn các mơ hình dạng rút gọn mà chúng tơi thay vào đó là R λsds
ve 7.jpg
Hình 3.1: Đường xác suất sống sót rủi ro trung tính và chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu zero với mệnh giá 1 và thu hồi 0, theo thông tin không đầy đủ về rào cản rủi ro, và tỷ lệ lãi suất phi rủi ro là 5%.
3.3 Các phương pháp ước lượng
3.3.1 Ước lượng các mơ hình cấu trúc
Trong mơ hình cấu trúc, tham số quan trọng nhất để ước lượng là σ, và vì µ khơng xuất hiện trong cơng thức định giá rủi ro trung tính, nó ít được quan tâm ở đây.
Theo thiết lập đầu tiên, quá trình tài sản-log(log- asset process)vt−log(Vt)
của đối tượng là một chuyển động Brown với độ dịch chuyển m = (µ−1/2σ2) và mức tỷ lệ σ hoặc: vt = v0 +mt+Bt. Trung bình và phương sai của vt+1 với điều kiện vt là:
E(vt+1|vt) = vt +m
V ar(vt+1|vt) =σ2
l(µ, σ2;v) = −1/2PNt=1
log(2π) +log(σ2) + (vt −vt−1 −m)2 σ2
và ước lượng hợp lý cực đại cho m và σ2 là:
ˆ m = vN −v0 N = 1 Nlog VN V0 ˆ σ2 = 1 N PN t=1(vt −vt−1 −m)ˆ 2
trong đó, phương pháp hợp lý cực đại là đáng tin cậy và dễ dàng tính tốn. Một cách khác là sử dụng các tính chất dễ thay đổi từ các sản phẩm giao dịch dựa trên tài sản của đối tượng. Ví dụ, nếu chúng ta quan sát chênh lệch tín dụng cho các trái phiếu phát hành từ các đối tượng, các tham số (µ, σ2) được lựa chọn sao cho giá cả thị trường của các sản phẩm phù hợp với công thức giá cả mở rộng theo mơ hình cấu trúc.
3.3.2 Ước lượng các mơ hình dạng rút gọn
Cho các mơ hình dạng rút gọn theo cường độ dựa trên thiết lập affine, các thơng số quan trọng nhất cần phải ước tính là từ mơ hình affine, mà sẽ được sử dụng như là đầu vào cho các Riccati ODE để tính tốn các hệ số khác nhau α và β đã đề cập trước đó.
Nếu phân phối đồng thời của các biến cơ bản được biết, thì ước lượng hợp lý cực đại nên được xét đến đầu tiên.
Ví dụ 3.2. Cho mơ hình CIR (16), mật độ có điều kiện của Xt+1 đối với
Xt là: f(xt+1|xt;ξ) = 2κ c2(1−e−κ)e −ut−vt+1 vt+1 ut q/2 Iq 2(utvt+1)1/2
trong đó: ut = 2κ.e −κ c2(1−e−κ)xt vt+1 = 2κ c2(1−e−κ)xt+1 q = 2κθ/c2 −1
Và Iq là hàm Bessel bị biến đổi của loại thứ nhất bậc q. Khi đó, phân phối có điều kiện của Xt+1 trên Xt là phân phối χ22q+2(2ut). Hàm log- likehood
có thể viết bởi:
l(ξ;x) =PTt=1log(f(xt+1|xt;ξ))
và ước lượng ξˆgiải điều kiện đầu tiên:
∂l(ξ;x) ∂ξj = 0
Nói chung, chúng ta khơng có sự tiện lợi của việc có sự phân bố đồng thời chính xác dãy cơ bản, đối với mỗi trường hợp chúng ta có thể viết các phân phối chung ra, GMM hoặc Tựa hợp lý (Quasi-likehood) có thể vẫn được áp dụng.
Cho chuỗi affine cơ bản X, vì biến đổi Laplace điều kiện của nó: ft,s(u) = EtQ(eu.Xs
dễ dàng được tính tốn bởi các phương trình Riccati tổng qt, chúng ta có thể tính tốn các moment điều kiện của nó bằng cách đưa ra các dẫn xuất của f trong các điều kiện kỹ thuật. Sau đó nó cũng đủ để phát triển một quy trình ước lượng (tiệm cận) giải quyết những hạn chế moment có điều kiện. Phương pháp này cũng hoạt động theo các thiết lập afin rời rạc. Cụ thể, nếu chúng ta xem xét những giới hạn moment có điều kiện sau đây:
Trong đó ξ là một véc tơ trong các thơng số cần được ước lượng, h là một hàm M chiều. Nếu h(x;θ) = xn, khi đó (27) xác định giới hạn moment điều kiện thứ -n. Như có thể thấy, h có thể là các hàm linh hoạt hơn. Ví dụ 3.3. Cho mơ hình CIR (16), theo cơng thức I-tơ ta có:
EtQ(Xt+s) =Xte−sκ+ θ(1−e−sκ).
V artQ(Xt+s) =Xtcκ2(e−sκ −e−2sκ) +θσ
2
2κ(1−e−sκ)2
Từ (27) EtQ[h(Xt+s;ξ] = 0, chúng ta đưa ra một định nghĩa của phương pháp tổng quát của ước lượng Moments đối với ξ:
Định nghĩa 3.2. Công thức tổng quát của ước lượng các Moment (Gener- alized Method of Moments-GMM) Công thức tổng quát của ước lượng các Moment của ξ với kỳ vọng có điều kiện EQ[h(Xt;ξ)] = 0 được đưa ra bởi
ξ∗ mà:
HT(θ) = 1
T
PT
t=1h(Xt;ξ) = 0
Nếu hàm h là M>1 chiều, chúng ta có thể đưa ra N ×M(N < M ma trận At hạng đầy đủ mà At ∈ Gt. Khi đó EtQ[h(Xt+s;ξ)] = 0 kéo theo:
EtQ[Ath(Xt+s;ξ)] = 0
"The GMM with instrumental matrix" At được cho bởi θ∗ mà nó giải : HT(θ;A) = 1 T PT t=1Ath(Xt+s;ξ) = 0 Trong thực hành, dạng hàm của 1 T PT t=1h(XT;ξ)hoặc 1 T PT t=1Ath(Xt+s;ξ) là chưa biết, vì thế để giải những phương trình khơng tuyến tính, chúng ta cần một hàm giải được (solver function) để tìm kiếm lời giải. Nếu chúng ta đang đối diện với các hàm đa trị thì các phương pháp tối ưu hóa số như thuật tốn di truyền hoặc mơ phỏng An-nealing, trong số những cách
khác nhau, nên được áp dụng.
Một trường hợp đặc biệt của ước lượng GMM là ước lượng" Quasi- Max- imum Likehood " (Tựa hợp lý cực đại), mà tiến hành như sau.
Theo thiết lập affine của X, chúng ta có thể tính tốn trung bình điều kiện mt = EtQ(Xt+1 và phương sai vt2 = V arQt (Xt+1) bằng cách giải trực tiếp ODE hoặc sử dụng điều kiện biến đổi Laplace . Khi đó, chúng ta giả sử rằng phân phối điều kiện Xt+1|Xt là chuẩn, vì thế hàm log- likehood được cho bởi : l(ξ;X) = −1 2 PT−1 t=1 (Xt+1−mt)2 vt2 +log(v 2 t) +const Khi đó, ước lượng Quasi-ML ξ∗∗ giải hệ điều kiện đầu :
∂l(ξ;X)
∂ξj = 0
Nếu dạng l(ξ, X) là đầy đủ, thì một chương trình số để tìm kiếm cực tiểu tồn cục trong khơng gian tham số M chiều là cần thiết. Một lần nữa, công thức tối ưu hóa số sẽ được sử dụng.
Các lý thuyết hiệu quả tiệm cận của ước lượng Quasi-ML có thể được tìm thấy trong Hansen (1982).
Ví dụ 3.4. Đối với cơng thức cho bởi (28), chúng ta tính tốn ước lượng Quasi-ML cho một mơ hình CIR đối với lãi suất Libor 6 tháng sử dụng dữ liệu hàng tuần. Đưa ra giá trị mở đầu là (k0, θ0, σ0) = (0.01,0.01,0.01),
sử dụng hàm MATLAB để tìm thiết lập tối ưu các thơng số để cực tiểu hóa
−l(κ, θ, σ, x). Chương trình hội tụ đếnξˆ= (ˆκ,θ,ˆ c) = (0.0186,ˆ 0.0076,0.0279)
trong đó nói rằng mức độ nghịch đảo trung bình là θˆ= 0.0076. Hơn nữa,
sự biến động trong biến động tham số ˆc được ước lượng bằng 0.0279 là lớn hơn nhiều so với độ lệch chuẩn mẫu 0.0074. Đây cũng tạo nên bằng chứng
của các mẫu có phương sai thực sự phụ thuộc vào một biến ngẫu nhiên khác trong lãi suất Libor 6 tháng. Hơn nữa, tỷ lệ ước lượng của trung bình nghịch đảo κˆ là 0.0186.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu hai mơ hình định lượng chính để phân tích tín dụng: mơ hình dạng cấu trúc và mơ hình dạng rút gọn, cũng như ứng dụng của chúng trong đo lường rủi ro và định giá các phái sinh tín dụng CDS, CDO.
Mơ hình cấu trúc dựa trên mơ hình Merton (1974) (hoặc một trong các phần mở rộng của nó), trong đó, một cơng ty vỡ nợ khi giá trị tài sản của nó xuống dưới một mức nhất định. Các mơ hình cấu trúc thường địi hỏi phải tính tốn phân phối đồng thời của một chuyển động Brown hoặc Cầu Brown với sự vận hành cực đại (" running maximum) hoặc (cực tiểu)( minimum)" của nó. Trong trường hợp các thị trường có sự phụ thuộc phi tuyến với nhau, phương pháp copula trở thành một cơng cụ quan trọng trong các bài tốn nghiên cứu sự tương quan giữa các thị trường, đo lường rủi ro của các danh mục đầu tư và nhiều bài tốn liên quan khác.
Tuy nhiên, phương pháp cấu trúc có hạn chế là chúng khó có thể xác định độ chính xác của các CDS, CDO hoặc dữ liệu các trái phiếu cơng ty, hoặc tính tốn mất rất nhiều thời gian.
Các mơ hình dạng rút gọn có sự tiện lợi của việc kết hợp với các lý thuyết đẹp của q trình Afine, theo đó, xác suất sống sót có thể dễ dàng tính tốn bằng cách giải một tập hợp nghiệm của phương trình Ricati.
Trong điều kiện thơng tin khơng đầy đủ, khi đó việc kết hợp hai phương pháp structural models và Reduced form models sẽ giúp khắc phục những hạn chế và lựa chọn được những đặc tính tốt nhất của hai phương pháp: - Tính kinh tế và sự hấp dẫn trực quan của phương pháp cấu trúc
- Tính dễ sử dụng và phù hợp thực nghiệm của phương pháp dạng rút gọn. Ước tính thực nghiệm của các tham số trong các mơ hình tín dụng của chúng ta cũng rất quan trọng cho các mục đích thực tế. Bất cứ khi nào có thể, ước lượng hợp lý cực đại ln ln là một lựa chọn tốt bởi vì nó có tính chất mẫu lớn. Ví dụ, ước lượng hợp lý cực đại ( ML) là tiệm cận hiệu quả trong điều kiện kỹ thuật thường được thỏa mãn. Trong những điều kiện, nơi mà chúng ta không thể suy ra sự phân bố đồng thời của dãy cơ bản hoặc điều kiện bậc nhất đối với ước lượng ML là khó để thiết lập, chúng tơi sẽ dựa trên ước lượng tham số các moment (GMM) mà Quasi-ML là một trường hợp đặc biệt, mà có thể được chứng minh là hiệu quả trong điều kiện kỹ thuật. Đối với các họ afin của động lực học, Quasi-ML luôn