3 Khung Gabor đa cửa sổ
3.4 Khung đối ngẫu
Để có được biểu diễn như ở phương trình (2.5), ta cần tìm khung đối ngẫu. Ở lược đồ một cửa sổ, việc tìm khung đối ngẫu {S−1gm,n} khá đơn giản vì nó được tạo thành từ một hàm cửa sổ đối ngẫu duy nhất và nó có cùng dạng với {gm,n}.
Trường hợp lược đồ đa cửa sổ cũng tương tự như vậy. Gọi {γr,m,n} là khung đối ngẫu của {gr,m,n}. Khi đó, {γr,m,n} được sinh bởi một tập hữu hạn R hàm cửa sổ
{γr}
γr,m,n(x) = γr(x−na)ei2πmbx, 0≤r ≤R−1, với
γr =S−1gr.
Ta chứng minh điều này bằng cách định nghĩa tốn tử Wb,af =MbTaf.
Khi đó
gr,m,n =Wmb,nagr. Wmb,na giao hốn với tốn tử khung, tức là
SWmb,na=Wmb,naS.
Do đó
S−1Wmb,na=Wmb,naS−1, suy ra
Với ab=p/q, p, q ∈N, quan hệ giao hoán SWmb,na =Wmb,naS có thể được chứng minh bằng cách sử dụng biểu diễn ma trận của S trong miền biến đổi Zak từng đoạn. Dựa vào (3.7) ta có
Gr,m,n(x, u) = ei2πmxGr x−np q, u ,
với Gr,m,n(x, u) là biến đổi Zak từng đoạn của gr,m,n(x), và Gr(x, u) là biến đổi Zak từng đoạn của gr(x).
Vì theo (3.6), S(x−p/q, u) = S(x, u), ta thu được S(x, u)Gr,m,n(x, u) = ei2πmxS(x−np
q, u)Gr(x−np q, u). Đây chính là quan hệ giao hốn trong miền biến đổi Zak từng đoạn.
Kết hợp với phương trình (3.5) ta thu được biến đổi Zak từng đoạn của γr Γr(x, u) = S−1(x, u)Gr(x, u), (3.20) Γr(x, u), Gr(x, u)là các hàm giá trị vector trongL2([0,1)×[0,1/p);Cp)vàS−1(x, u) là ma trận nghịch đảo của S(x, u). Với p= 1, dựa vào (3.10) ta có
(Zγr)(x, u) = (Zgr)(x, u) PR−1 r=0 Pq−1 l=0 Zgrx− l q, u 2.
Các hệ số của khai triển có thể thu được bằng cách tính trong miền tín hiệu hoặc miền biến đổi Zak tích trong của tín hiệu với khung đối ngẫu:
cr,m,n =hf, γr,m,ni.