3 Mơ hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic
3.2 So sánh với các kết quả khác
Trong phần này, chúng ta sẽ so sánh một cách chi tiết giữa kết quả của chúng ta với các kết quả của [20]. Để tạo điều kiện thuận lợi cho sự so sánh này, trong phần này chúng ta sử dụng các ký hiệu của [20]. Bảng 1 cho sự tương ứng giữa các tham số.
Rudnicki đã nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên 2 chiều có liên quan đến phương trình của chúng ta, nhưng với tiếng ồn Brown W1=W2. Ông đồng thời cũng đưa ra một số khẳng định cho trường hợp W1, W2 là các chuyển động Brown độc lập với nhau. Kết của chính của ơng thu được có liên quan đến một hệ mà có ma trận khuếch tán suy biến. Chúng ta nghiên cứu trường hợp mà ở đó W1, W2 là các chuyển động Brown độc lập. Phương pháp của chúng ta dựa trên ý tưởng [6] và do đó yêu cầu ma trận khuếch tán của hệ là không suy biến. Do đó, chúng ta chỉ so sánh với các phần có liên quan đến [20].
Rudunick [20, bổ đề 2] đã xây dựng nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên như là nghiệm của một tốn tử. Xem phương trình của ơng (19)-(21). Điều này tương đương với việc nhận được nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3), đó là, nghiệm là hàm riêng của chuyển động của Brown W1, W2. Đây là một ý tưởng rất thú vị, nó có thể tiếp tục được khai thác nhiều hơn nữa. Rudnicki [20, bổ đề 5] sau đó đã đưa ra phương pháp chứng minh của phần chính cho Định lí 1 của ơng, dựa trên hàm Khasminskii.
Chúng ta có điều tương tự của [20, Định lí 1 (III)] trong Định lí 3.3 của chúng ta, và [20, Định lí 1(I) ] là điều kiện đủ hơi khác với Định lí 3.2 của chúng ta.
Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng trong ở Bổ đề 3.4, dưới dây, rằng nếuδc1−µc2 = 0thì khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic trong những điều kiện nào đó trên σ và ρ. Do đó, δc1−µc2 > 0 chỉ là điều kiện đủ, khơng phải là điều kiện cần.
Phương pháp chứng minh dựa trên hàm bùng nổ có dạng F(x, y) = A1x−A2lnx+A3x−A4lny+c.
Khi Ai>0 ∀i= 1,2,3,4 ta có thể lấy c=A2 lnA2 A1 −1 +A4 lnA4 A3 −1 .
BẢNG 1 : Hệ số tương ứng giữa kí kiệu của chúng ta và của Rudninki[20]
—————————— Trong bài báo Rudnicki[20] ——————————————– µ α λ β −γ µ α γ β δ −δ ν σ1 σ σ2 ρ ——————————————–
Khi đó phương trình (3) viết thành
dxt =xt(α−βyt−µxt)dt+σxtdW1(t),
dyt =yt(−γ+δxt−νyt)dt+ρytdW2(t).
Vì F(x, y) > 0 ngoại trừ tại điểm (x, y) =
A2 A1, A4 A3 (tại đó F(x, y) = 0) và
F(x, y) → ∞ khi (x, y) tiến đến biên của R2
+. Từ bổ để Itô áp dụng đối với hệ trên, chúng ta thu được
dFt =H(xt, yt)dt+dMt,
ở đây Mt là maritingale trung bình 0 và H(x, y) là hàm bậc hai của x và y.
Định lý 3.4. Giả sử có thể tìm thấy các hằng số dương A1, A2, A3 và A4 của hàm (4) sao cho H(x, y) = 0 là tập con elip của R2+, ở đây H là hàm trượt ở trên. Điều kiện tương đương trên H đó là
(i) H(x, y)>0 ở phần trong của elip, và
(ii) H(x, y)<0 ở phần ngoài của elip, và nó được bảo đảm nếu
H(0,0)<0, H(x,0)<0, H(0, y)<0.
Khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic.
Chứng minh. Chúng ta có thể tiến hành theo cách chứng minh ở Định lí 3.1,
xây dựng giới hạn trên các thời điểm dừng cuả sự trở lại về miền trung tâm, do đó, thu được tính ergodic bằng việc sử dụng phương pháp của [6]. Và do đó ta có điều phải chứng minh.
Rudnicki [20, Định lí 1 (I) ], thu được kết quả của sự ổn định tiệm cận dưới điều kiện đủ c1 >0 và δc1−µc2 >0, ở đây δc1−µc2>0 và c2 =γ+1
2ρ
2. Chọn hằng số A1 = 1, A2 =k1, A3 =A và A4 =Ak2, từ chỗ
F(x, y) = x−k1log(x) +A(y−k2log(y)) +c.
Sau đó
H(x, y) =−µ(x−k1)2−Aν(y−k2)2+ (−β+Aδ)(x−k1)(y−k2)+
+(α−µk1−βk2)(x−k1)−A(γ−δk1+νk2)(y−k2)+1 2(σ
2k1+Aρ2k2). (8)
Sau một vài bước biến đổi đại số chúng ta có được kết quả H(0,0) = −k1(α− 1
2σ
2) +Ak2(γ+ 1 2ρ
2) = −k1c1+Ak2c2.
Hàm H(x, y) cịn viết được dưới dạng
H(x, y) = −µx2+ (Aδ−β)xy−Aνy2+c1x+c2y+d.
Đường đồng mức H(x, y) = 0 là một elip nếu và chỉ nếu
(Aδ−β)2−4Aν <0,
và elip là tập con của R2+ nếu H(x,0) < 0 và H(0, y) < 0. Hàm H(x,0) là hàm bậc hai của x, do đó, H(x,0)<0 với mọi x nếu và chỉ nếu H(x,0) = 0 khơng có nghiệm thực, do hệ số củaxâm. Tương tự,H(0, y)<0nếu và chỉ nếuH(0, y) = 0 khơng có nghiệm thực. Do đó, tập hợp các điều kiện tương đương với điều kiện (ii) ở Định lí 3.4 đó là
4µ(−c1k1+Ac2k2) + (α+µk1−Aδk2)2 <0, 4Aν(−c1k1+Ac2k2) + (−Aγ+βk1+Aνk2)2 <0, (−β+Aδ)2−4Aµν <0.
Cuối cùng, chúng ta lấy k1 = bδ và Ak2 = bµ, với b là hằng số dương. Vậy thì H(0,0) = −b(δc1 − µc2) và điều kiện của Định lí 3.4 được thỏa mãn nếu δc1−µc2 >0, b >0, α2 <4µb(δc1−µc2), và
[b(µν +βδ)−Aγ]2<4Aνb(δc1−µc2).
Do A và b là tùy ý, chúng ta có thể lấy
A=b(µν+βδ) γ ,
sao cho bất đẳng thức trước được giữ nguyên. Như vậy, chúng ta thu được điều tương tự của [20, Định lí 1(I)], đó là, tính ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3).
Điều kiện (δc1−µc2)>0 có thể thay bởi điều kiên (δc1−µc2)≥0. Ta cũng có
thể giả định rằng phương trình vi phân cạnh tranh lồi tất định có nghiệm cố định trong R2+.
Bổ đề 3.4. Giả sử rằng (δc1−µc2) = 0. Khi đó hệ phương trình
α−µk1−βk2= 0,
γ−δk1+νk2 = 0,
có nghiệm dương (k1, k2). Đặt A= β
δ.
Nếu σ > 0 và ρ > 0 thỏa mãn bất đẳng thức sau, khi đó nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên (3) có tính ergodic
1 2(σ
2k1+ρ2Ak2)< µk21, 1
2(σ
2k1+ρ2Ak2)< Aνk2.
Chứng minh. Phương pháp chứng minh sau xuất phát từ phương pháp
chứng minh sử dụng trong Định lí 3.1, một lần nữa chúng ta chọn các hằng số dương k1, k2, và A, trong (8) sao cho elip H(x, y) = 0 là tập con của R2
+. Khi đó chúng ta thu được các thời điểm dừng được xây dựng từ elip, và ta sẽ sử dụng kết quả của Battacharya như chúng ta đã làm ở Định 3.1.
α−µk1−βk2= 0, γ−δk1+νk2 = 0, đó là k1= βγ+αν βδ+µν, k2= αδ−γµ βδ+µν. Rõ ràng k1>0 và k2 >0 nếu và chỉ nếu αδ−γµ >0. Chú ý rằng αδ−γµ=δα− 1 2σ 2+12σ2−µγ+1 2ρ 2− 1 2ρ 2 =δc1−µc2+1 2 δσ 2+µρ2 = 1 2 δσ 2+µρ2
là dương, từ δc1−µc2 = 0. Bây giờ H đơn giản hóa thành
H(x, y) =−µ(x−k1)2−Aν(y−k2)2+ (−β+Aδ)(x−k1)(y−k2)+
+1 2(σ
2k1+Aρ2k2).
Từ A= β
δ, chúng ta có thể thấy rằng H cịn có dạng đơng giản hơn nữa H(x, y) = −µ(x−k1)2−Aν(y−k2)2+1
2 σ
2k1+Aρ2k2.
Chú ý rằng các hằng số k1, k2 và A tất cả đều dương và không phụ thuộc vào hệ số tiếng ồn σ và ρ.
Tiếp theo chúng ta quan tâm đến elip H(x, y) = 0, đó là tập các điểm (x, y)
thỏa mãn
µ(x−k1)2+Aν(y−k2)2= 1 2 σ
2k1+Aρ2k :=` >0,
hoặc, tương đương
(x−k1)2 `/µ +
(y−k2)2 `/Aν = 1. Đây sẽ là tập con củaR2
+ nếu điều kiện
1 2(σ
2k1+ρ2Ak2)< µk21, 1
2(σ
2k1+ρ2Ak2)< Aνk2,