3 Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp
3.2 Thuật toán giải
3.2.1 Mơ tả thuật tốn
Như ta đã biết, khi f là giả đơn điệu trên C, tập nghiệm S(C,f) của bài toán
EP(C,f)là một tập lồi. Do đó (BO)là bài tốn tìm cực tiểu của một hàm chuẩn trên
một tập lồi.
Giả sử tập nghiệmS(C, f)của bài toánEP(C,f)là khác rỗng và f là liên tục yếu, giả đơn điệu trênC. Xét một song hàmL:H ×H →Rthỏa mãn các điều kiện sau
(B1)L(x,x) =0,∃β >0 :L(x,y)≥ β
2kx−yk2, ∀x,y∈C;
(B2)Llà liên tục yếu,L(x, .)là khả vi, lồi mạnh trênH với mọix∈Cvà∇2L(x,x) =0
với mọix∈H . Ta xét bổ đề sau
Bổ đề 3.2.1. Giả sử f thỏa mãn các giả thiết (A1),(A2) và L thỏa mãn giả thiết
Chương 3.Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp
1. x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng;
2. x∗ ∈C: f(x∗,y) + 1 ρL(x∗,y)≥0, ∀y∈C; 3. x∗ =argmin{f(x∗,y) + 1 ρL(x∗,y):y∈C}. Thuật tốn. Chọnρ>0vàη ∈(0,1).
Khởi đầu vớix1:=xg∈C (xg có vai trị như là một nghiệm dự đốn).
Nếu x1 ∈S(C,f), thì x1 là một nghiệm của bài toán tối ưu (BO), ngược lại ta thực
hiện phép lặp đối vớiktheo các bước sau.
Bước 1.Giải các bài tốn quy hoạch lồi mạnh
min{f(xk,y) + 1
ρL(xk,y):y∈C} (CP(xk))
để tìm nghiệm duy nhấtyk.
Nếuyk =xk, chọn uk :=xk và chuyển đến Bước 3. Ngược lại chuyển sang Bước 2
Bước 2.(Qui tắc tìm kiếm theo tia Amijio)
Tìm một số ngun, khơng âm nhỏ nhấtmk ,mlà một số nguyên, thỏa mãn
zk,m := (1−ηm)xk+ηmyk, (3.11) f(zk,m,yk) + 1 ρL(xk,yk)≤0. (3.12) Đặtηk :=ηmk,zk:=zk,mk, tính σk= −ηkf(zk,yk) (1−ηk)kgkk2, uk:=PC(xk−σkgk), (3.13) trong đógk∈∂2f(zk,zk), dưới đạo hàm của hàm lồi f(zk, .)tạizk.
Bước 3.Xây dựng các nửa không gian
Ck :={y∈H :kuk−yk2≤ kxk−yk2};
Dk :={y∈H :hxg−xk,y−xki ≤0}.
Bước 4.ĐặtBk =Ck∩Dk∩C và tínhxk+1:=PBk(xg).
Nếuxk+1 ∈S(C,f), kết luậnxk+1 là nghiệm của bài tốn(BO). Ngược lại, tăngklên 1 và lặp lại q trình.
Chương 3.Hiệu chỉnh dựa trên tối ưu hai cấp
(i) Việc tìm kiếm theo tia trong Bước 2 là hoàn toàn xác định được, vì trái lại với mọi số ngun khơng âmmta có
f(zk,m,yk) + 1
ρL(xk,yk)>0. (3.14) Chom→∞, do tính nửa liên tục trên yếu của f(.,yk), ta có
f(xk,yk) + 1
ρL(xk,yk)≥0,
trong đó f(xk,xk) + 1
ρL(xk,xk) =0,cho thấyxk là một nghiệm của bài toán quy hoạch lồi mạnhCP(xk).
Do đóxk =yk, điều này mâu thuẫn vì việc tìm kiếm theo tia chỉ được thực hiện khixk 6=yk.
Chú ý rằngmk >0. Thật vậy, nếumk =0khi đó ta cózk=yk,do đó
1 ρL(xk,yk) = f(zk,yk) + 1 ρL(xk,yk)≤0, doLkhơng âm,L(xk,yk) =0và từ L(xk,yk)≥ β 2kxk−ykk2, ta cóxk =yk.
(ii) gk 6=0và kích thướcσk các bước ở (3.13) cho thấyxk 6=yk.
Thật vậy, nếugk =0khi đó, dogk∈∂2f(zk,zk)ta có
f(zk,x)≥ hgk,x−zki+ f(zk,zk) =0, ∀x∈C.
Từ (3.12) ta có L(xk,yk)≤0, nhưng do giả thiết(B1) L(xk,yk)≥ β
2kxk−ykk2.
Do đóxk =yk.