2 Bài toán Dirichlet biến dạng
2.2 Đối ngẫu của siêu mặt lồi của một hàm lồi
2.2.1 Ánh xạ đặc biệt trên bán cầu
Cho G là một tập lồi mở trên En. Giả sử Ren+1 ={(p1, p2, ..., pn+1)} là một không gian Euclide (n+ 1)-chiều và S−n là bán cầu đơn vị n chiều:
S−n ={p21+p22+...+p2n+1 = 1, pn+1 <0} (2.28) trong Ren+1. Ta xét ánh xạ γ : S−n →En p 7−→x= γ(p) trong đó: p= (p1, p2, ..., pn, pn+1)∈ S−n x= (x1, x2, ..., xn)∈En x1 = p1 |pn+1|, x2 = p2 |pn+1|, ..., xn = pn |pn+1|. (2.29)
Ta cũng có thể xem xét γ như một vi phôi giữa các đa tạp trơn S−n và En với cấu trúc vi phân tự nhiên. Khi đó vi phơi γ−1 : En → S−n biến điểm x = (x1, x2, ..., xn)∈En nào đó thành điểm p= γ−1(x) = x1 q , x2 q , ..., xn q ,−1 q (2.30)
trong đó q = (1 + x21 + x22 + ... + x2n)1/2. Chúng ta ký hiệu γ−1 = γ1. Tập G∗ = γ1(G) là một tập lồi đóng trong S−n, với G là bao đóng của G và
dist(∂S−n, G∗) = δ0 > 0.
2.2.2 Siêu mặt lồi đối ngẫu
Cho u(x) là một hàm liên tục không dương trên G thỏa mãn điều kiện u|∂G = 0. Hàm u(x) xác định một hàm mới u∗(p) trong G∗ bởi công thức
u∗(p) =
q
(1−p21−p22− · · · −p2
n)u(γ(p)) (2.31)
với p = (p1, p2, ..., pn, pn+1) ∈ G∗ ⊂ S−n trong đó x = γ(p). Ngược lại nếu ta định nghĩa u∗(x) = u∗(γ1(x)) (2.32) với p= γ1(x), khi đó u∗(x) = p 1 1 +x2 1+x2 2+...+x2 n u(x). (2.33)
Ta ký hiệu H và H là tập con lồi mở của G và bao đóng của nó và giả sử dist(H, ∂G) = hH > 0. Khi đó H∗ =γ1(H) và bao đóng của nó H∗ = γ1(H) là các tập cầu lồi mở và đóng tương ứng và thực chất khoảng cách hH∗ giữa H∗ và ∂G∗ là dương. Rõ ràng hH∗ chỉ phụ thuộc vào hH.
Bất đẳng thức
(p, z)≤ u∗(p). (2.34)
Ký hiệu nửa khơng gian đóng Up ⊂ Ren+1 là với mỗi véc tơ cố định p ∈ G∗ và véc tơ z ∈ Ren+1 nào đó thỏa mãn bất đẳng thức (2.34). Tập
QH(u) = \ p∈H∗
Up (2.35)
là một thể lồi đóng vơ hạn trong Ren+1. Các tập K(∂G∗) = \
q∈∂G∗
Vq và K(G∗) = \ q∈G∗
là một và như một nón lồi trong Ren+1 với đỉnhO(0,e 0, ...,0), trong đó Vq là nửa khơng gian đóng
(q, z)≤ 0 (2.37)
với q ∈∂G∗ (hoặc G∗) cố định nào đó và véc tơ z ∈Ren+1. Các tập
PH(u) = ∂QH(u) (2.38)
và L(∂G∗) = ∂K(∂G∗) (2.39) là các siêu mặt lồi vơ hạn hồn tồn trong Ren+1 và là một nón lồi n chiều với đỉnh O(0,e 0,0, ...,0).
Định lý 2.2.1. Cho w(x) là một hàm lồi là mở rộng của u(x)∈ C0−(G) từ phía dưới trên tập H. Khi đó
QH(u) = QH(w) và PH(u) = PH(w). (2.40)
Hơn nữa thể lồi QH(u) và siêu mặt lồi PH(u) có một hàm giống như hàm tựa
w∗(p) xác định trên H∗.
Chứng minh. Từ định nghĩa hàm w(x)suy ra w(x)≤u(x)≤ 0, x ∈ H. Khi đó w∗(p) ≤ u∗(p) ≤0, p ∈ H∗. Vậy Wp ⊂ Up, với mọi p ∈ H∗, trong đó Wp và Up tương ứng là nửa khơng gian đóng (p, z)≤ w∗(p) và (p, z)≤ u∗(p) với mọi véc tơ p cố định thuộc H∗ và véc tơ z ∈Ren+1 nào đó. Khi đó
QH(w) = \ p∈H∗
Wp ⊂ \ p∈H∗
Up = QH(u). (2.41)
Từ Định lý về thể lồi ta đã biết rằng nếu M là một thể lồi đóng vơ hạn và ν∗(p)< 0, p ∈H∗ ⊂ S−n, hàm tựa của M là hàm ν(x) = 1 + n X i=1 x2i !1/2 ν∗(γ1(x))
là một hàm lồi âm với x ∈H, trong đó γ1(x) = x1 q , x2 q , ..., xn q ,−1 q ∈H∗ và q = (1 + n P i=1
x2i)1/2. Bây giờ áp dụng phần này cho trường hợp M = QH(u).
Cho ν∗(p) là hàm tựa của thể lồi QH(u) khi đó rõ ràng 0≥ u∗(p) ≥ ν∗(p),
p ∈ H∗. Do đó ta thu được với hàm lồi, âm ν(x) ta có 0 ≥ u(x) ≥ ν(x), x ∈ H. Từ định nghĩa của hàm lồi w(x) mở rộng của u(x) từ dưới trên H suy ra u(x)≥ w(x) ≥ν(x), x ∈ H nào đó. Lập luận tương tự cho các hàm w(x) và ν(x) ta thu được
QH(w)⊃ QH(ν) =QH(u). (2.42) Từ (2.42) suy ra QH(u) = QH(w) và do đó PH(u) = PH(w).
Định lý được chứng minh.
Bây giờ ta nghiên cứu thể lồi mới
QG(w) = \ p∈G∗
Wp (2.43)
với mọi hàm w(x) ∈ WH+(G), trong đó Wp là nửa khơng gian đóng đã định nghĩa ở trên.
Định lý 2.2.2.
QG(w) = QH(w)∩K(∂G∗). (2.44)
Chứng minh. Từ định nghĩa của tập QG(w) và QH(w) ta suy ra:
QG(w) = QH(w)∩QG|H(w) (2.45) trong đó
QG|H(w) = \ p∈G∗|H∗
Wp.
Đầu tiên ta chú ý rằng khối nón tiệm cận KH(w)tới QH(w)có tập H∗ như một ảnh cầu. Nếu đỉnh của KH(w) nằm trong QH(w) thì tồn bộ nón KH(w)
nằm trong QH(w).
Cho LH(w) là biên của KH(w). Ta giả sử rằng đỉnh của KH(w) trùng với điểm lân cận của PH(w) với gốc Oe của Ren+1. Khi đó tập
λ(w) = LH(w)∩L(∂G∗)
là siêu mặt (n−1) chiều đồng phơi (homeomorphic) với (n−1)-cầu. Nhắc lại
rằng L(∂G∗) = ∂K(∂G∗) trong đó K(∂G∗) là một nón lồi. Rõ ràng sup
z∈λ(w)
{dist{O, z}}e có thể ước lượng theo||w(x)||, hH = dist{H, ∂G} và δ0 = dist(∂S−n, G∗).
Nếu
ν(w) = PH(w)∩L(∂G∗) (2.46) thì ν(w) cũng là đồng phơi với (n−1)-cầu và ν(w) nằm giữa λ(w) và gốc của
e
Rn+1. Vậy
sup z∈ν(w)
{dist{O, z}} (2.47)
cũng có thể ước lượng theo ||w(x)||, hH và δ0.
Bây giờ tất cả các siêu phẳng tựa tới đồ thị Sw của hàm lồi w(x) của các điểm (x, w(x)) sẽ là suy biến nếu x chứa trong G|H (xem chứng minh Định lý 1.2.1). Cho a là siêu phẳng tựa: khi đó a ∈ Sw là một thể lồi đóng, bị chặn k-chiều với 0≤k ≤n−1. Chúng ta ký hiệu πa ⊂ G là một thể lồi đóngk-chiều là biểu diễn của tập a∩Sw. Khi đó πa xác định một điểm kỳ dị Y trên PH(w)
với tập k-chiều của các siêu phẳng tựa tới PH(w), bởi vì πa ∩H 6= ∅. Ảnh cầu
của tập này trong các siêu phẳng tựa trùng với γ1(πa) ⊂ S−n (Định nghĩa của ánh xạγ1). Vì ađi qua điểm (x0,0) vớix0 ∈ G, khi đóYa thuộc vào nónL(∂G∗)
hay chính xác hơn Ya ∈ν(w) (xem (2.45)). Rõ ràng ν(w) = S
a
Ya với a chạy qua tập của tất cả các siêu phẳng tựa tới Sw có các tiếp điểm (x, w(x)) với Sw, trong đó x∈ G|H.
Vì vậy từ (2.43), (2.44), (2.45) và các nghiên cứu trước suy ra QG(w) = QH(w)∩K(∂G∗).
Định lý được chứng minh xong. Vậy siêu mặt lồi
PG(w) = ∂QG(w) (2.48)
bao gồm hai phần: Phần thứ nhất SH(w) nằm bên trong khối nón K(∂G∗) và phần thứ hai T∂G(w) nằm trên biên L(∂G∗) của nón K(∂G∗). Cả hai siêu mặt
là một và có cùng biên ν(w) ⊂PG(w). Ta coi ν(w) bao gồm như một phần của SH(w) và T∂G(w) và xem xét cả hai siêu mặt như các siêu mặt đóng với một biên.
Ta gọi SH(w) là siêu mặt lồi đối ngẫu (với chú ý H ⊂ G) của hàm lồi w(x)∈WH+(G). Hàm
w∗(p) = (1−p21−p22−...−p2n)1/2w(γ(p)) (2.49) là hàm tựa cho SH(w) với p∈G∗ nào đó.