u−1(r) = o(r−p+14 )khir → 0.
1.4 Tốc độ tăng trưởng của nghiệm kì dị cầu của phươngtrình (0.1) trình (0.1)
Các kết quả tiên nghiệm về tốc độ tăng trưởng của tất cả các nghiệm kì dị cầu của phương trình (0.1) trình bày dưới đây đóng vai trị quan trọng trong tồn bộ chứng minh kết quả chính.
Mệnh đề 1.1. Giả sử u(r)là một nghiệm kì dị cầu của phương trình (0.1), khi đó
ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu0< p≤ 1hoặc N = 3và p∈ [3,+∞)thì
lim sup
r&0
r−p+14 u(r) = +∞.
(ii) Nếu p= 1hoặc N =3và p= 3thì
lim
r&0r−p+14 u(r) = +∞.
(iii) Nếu p> 1thì
lim inf
r&0 r−p+14 u(r) >0.
Vì các khẳng định (i)–(iii) của mệnh đề được suy ra từ các Bổ đề1.3,1.4và
1.6nên ta khơng trình bày chứng minh mệnh đề trên.
1.4.1 Trường hợp 0 < p ≤ 1hoặc N = 3và p ∈ [3,+∞)
Chú ý rằng nếu0< p≤ 1hoặc N =3và p ∈ [3,+∞)thì từ (1.1) ta thấy
Q4(m) = m(m+2)(N−2−m)(N−4−m) ≥0, trong đóm = −4/(p+1). Thật vậy, • Nếu0 < p ≤1thì−4 <m ≤ −2, suy ra m <0, m+2≤0, N−2−m ≥0, N−4−m >0 và do đóQ4(m) ≥ 0. • NếuN =3và p ∈ [3,+∞)thì −1≤ m <0, và do đó Q4(m) = m(m+2)(1−m)(−1−m)≥ 0.
Bổ đề 1.3. Giả sử u(r) là một nghiệm kì dị của phương trình (0.1) với điều kiệnQ4(m) ≥0. Khi đó
lim sup
r&0
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Khi đó tồn tại hằng sốc > 0 đủ lớn sao cho
r−p+14 u(r) <c
khir >0bé. Nói cách khác, tồn tại hằng sốc >0sao cho
v(t) < c
khit <0bé. Từ tính bị chặn trên củavvà (1.7) ta suy ra tồn tạic0 > 0sao cho
v(iv)(t) +a3v000(t) +a2v00(t) +a1v0(t) ≤ −v−p(t)< −c0 (1.12)
khit < 0bé. Lấyt0 < 0bất kì và cố định nó. Tích phân hai vế của (1.12) trên [t,t0]ta được Z t0 t [v(iv)(τ) +a3v000(τ) +a2v00(τ) +a1v0(τ)]dτ <− Z t0 t c0dτ tức là v000(t) +a3v00(t)+a2v0(t) +a1v(t) >−c0(t−t0) +v000(t0) +a3v00(t0) +a2v0(t0) +a1v(t0).
Dovbị chặn khit <0bé nên ta có thể viết
v000(t) +a3v00(t) +a2v0(t) > −c0(t−t0) +O(1)
với mọit < t0 <0. Tiếp tục lấy tích phân trên[t,t0]ta được
Z t0t t v000(τ) +a3v00(τ) +a2v0(τ)dτ >−c0 Z t0 t (τ−t0)dτ+O(1)(t−t0)
với mọit < t0 <0. Vậy
v00(t) +a3v0(t) +a2v(t) <−c0
2(t−t0)
2+O(1)(t−t0) +v00(t0) +a3v0(t0) +a2v(t0)
với mọit < t0 <0. Vậy ta vừa chứng minh được
v00(t) +a3v0(t) < −c0
2(t−t0)
với mọit <t0 <0. Tiếp tục lấy tích phân trên[t,t0]thêm hai lần nữa để được v0(t) >− c0 6(t−t0) 3+O(t2) và v(t) <− c0 24(t−t0) 4+O(t3)
với mọi t < t0 < 0. Do c0 > 0, từ ước lượng trên ta suy ra tồn tại t1 < t0 sao chov(t1) < 0. Đây là điều vơ lý vì v(t) > 0với mọi t ∈ (−∞,t0). Vậy, ta có điều phải chứng minh.