3 Ứng dụng của Jacobian xấp xỉ
3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ
3.2.2 Bài tốn tối ưu có ràng buộc
Xét bài toán
min
x∈Df(x), (CP)
với D là tập ràng buộc
D ={x ∈Rn :g(x)≤ 0, h(x) = 0},
và g : Rn →Rp, h : Rn →Rq là các ánh xạ cho trước. Với ξ ∈ C0, β ∈ Rp và
γ ∈Rq, hàm Lagrange được xác định
L(x, ξ, β, γ) :=hλ, f(x)i+hβ, g(x)i+hγ, h(x)i.
Đặt
D0 :={x∈ Rn : gi(x) = 0nếuβi > 0, gi(x)≤ 0nếuβi = 0vàh(x) = 0}.
Với (ξ, β, γ) cho trước, ta viết L(x) thay cho L(x, ξ, β, γ) và 5L là gradient của L(x, ξ, β, γ) theo biến x.
Ta có điều kiện cần cấp hai sau đây.
Định lý 3.2.4. [6] Giả sử rằng f, g, h là các hàm khả vi liên tục, C là nón đa diện lồi, ∂2L là Hessian xấp xỉ của L, nửa liên tục trên tại x0. Nếu x0
là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của (CP) thì tồn tại vectơ khác khơng
(ξ0, β, γ)∈C0×Rp+ ×Rq+ sao cho
5L(x0, ξ0, β, γ) = 0.
Và với mỗi (u, v)∈ T2(D, x0), tồn tại ξ ∈ Λ sao cho
5L(x0, ξ, β, γ)(u)≥ 0.
Trong trường hợp 5L(x0, ξ, β, γ)(u) = 0, ta có
5L(x0, ξ, β, γ)(v) +M(u, u) ≥0,
với M nào đó thuộc co∂2L(x0, ξ, β, γ) hoặc M∗(u, u) ≥ 0, với M∗ nào đó thuộc (co∂2L(x0, ξ, β, γ))∞\ {0}.
Chứng minh. Ta dễ dàng thấy rằng, với nón C lồi, đóng có intC 6= ∅ và x0
là nghiệm hữu hiệu yếu của bài tốn (CP) thì ln tồn tại (ξ0, β, γ) để
5L(x0, ξ0, β, γ) = 0. Lấy (u, v)∈ T2(D0, x0) và xi =x0+tiv+ 1 2t 2 iv + 0(t2i)∈D0, vớiti > 0khii→ ∞.
Vì x0 là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương của bài toán (CP) nên tồn tại
i0 ≥ 1 sao cho
Hơn nữa, do C là nón đa diện, nên tồn tại ξ ∈Λ sao cho
hξ, f(xi)−f(x0)i ≥ 0, (3.8)
với i đủ lớn. Ta có thể giả thiết điều này đúng với mọi i≥i0. Vì ∂2L là nửa liên tục trên tại x0, với >0 tùy ý cho trước, áp dụng khai triển Taylor cho
L ta tìm được
Mi ∈ co∂2L(x0) + 2B,
sao cho
L(xi)−L(x0) = 5L(x0)(xi−x0) + 1
2Mi(xi−x0, xix0),
với i đủ lớn. Thay biểu thức
xi−x0 = tiu+ 1 2t
2
iv+ 0(t2i)
vào đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức (3.8) ta được
0≤ ti5L(x0)(u) + 1 2t 2 i(5L(x0)(v) +Mi(u, u)) +αi, trong đó αi = 1 2Mi 1 2t 2 iv+ 0(t2i), tiu+ 1 2t 2 iv + 0(t2i) + 1 2Mi tiu, 1 2t 2 iv+ 0(t2i) +5L(x0)(0(t2i)).
Chia bất đẳng thức này choti và lấy giới hạn khiti →0ta được 5L(x0)(u)≥
0.
Khi 5L(x0)(u) = 0, từ bất đẳng thức trên ta có 0≤ 5L(x0)(v) +Mi(u, u) + αi
t2i .
Lập luận tương tự như Định lý 3.2.1, ta chứng minh được các bất đẳng thức cịn lại.
Ta có điều kiện đủ sau cho bài tốn ràng buộc.
Định lý 3.2.5. [6] Giả sử rằng f, g, h là các hàm khả vi liên tục và với mỗi
u ∈T1(D, x0)\ {0}, tồn tại bộ (ξ, β, γ)∈Λ×Rp+×Rq+ sao cho
5L(x0, ξ0, β, γ) = 0,hβ, g(x0)i= 0,
và M(u, u)> 0 với mọi M ∈ co∂2L(x0)∪ (co∂2L(x0)∞\ {0}), với ∂2L là Hessian xấp xỉ của L, nửa liên tục trên tại x0. Khi đó, x0 là nghiệm hữu hiệu địa phương duy nhất của bài toán (CP).
Chứng minh. Nếu x0 không là nghiệm hữu hiệu địa phương duy nhất của bài tốn (CP) thì tồn tại xi ∈ D, xi →0 sao cho f(xi)−f(x0)∈ −C.
Ta có thể giả thiết
xi−x0
||xi−x0|| →u ∈ T1(D, x0).
Từ đó suy ra L(xi)−L(x0)≤ 0,∀i≥1.
Áp dụng khai triển Taylor cho L và tính nửa liên tục trên của ∂2L, ta được L(xi)−L(x0)− 5L(x0)(xi−x0)∈ 1 2co ∂ 2L[x0, xi](xi−x0, xi−x0) ⊆ 1 2 co∂ 2L(x0) +||xi−x0||B (xi−x0, xi−x0), với i đủ lớn. Hệ thức này chứng tỏ Mi(xi−x0, xi−x0)≤ 0,
với Mi ∈co∂2L(x0) +||xi−x0||B với i đủ lớn.
Bằng cách lập luận tương tự như chứng minh Định lý 3.2.1 ta suy ra tồn tại ma trậns
M ∈co∂2L(x0)∪((co∂2L(x0))∞\ {0})
sao cho M(u, u)≤ 0.
Định lý 3.2.6. [6] Giả sử rằng f, g, h là các hàm khả vi liên tục và tồn tại
δ > 0 sao cho với mỗi v ∈ Dδ(x0), tồn tại vectơ (ξ, β, γ)∈Λ×Rp+×Rq+ của
L để
5L(x0, ξ, β, γ) = 0,hβ, g(x0)i= 0,
và M(u, u)≥ 0 với mọi M ∈ ∂2L(x, ξ, β, γ),||xi−x0|| ≤δ.
Khi ấy, x0 là là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán (CP).
Định lý được chứng minh tương tự như Định lý 3.2.2.
Phần cuối của mục này, ta đưa ra ví dụ minh họa cho Định lý 3.2.4 về điều kiện cần của bài tốn tối ưu có ràng buộc.
Xét bài tốn tối ưu hai mục tiêu sau
min
−x2+y4≤0(x, x4/3−y4).
Không gian R2 được sắp thứ tự từng phần bởi nón R2+. Ta thấy rằng, (0,0)
là nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán. Lấy ξ0 = (0,1) và β = 1, hàm
Lagrange của bài toán là
L((x, y), ξ0, β) = x4/3−y4−x2+y4 = x4/3−x2.
Từ đó suy ra
L((0,0), ξ0, β) = (0,0),
và tập D0 được xác định
D0 = {(x, y)∈R2 :x2 = y4}.
Lấy u = (0,1) và v = (−2,0). Hiển nhiên (u, v) ∈ T2(D0,(0,0)). Như vậy,
theo Định lý 3.2.4, tồn tại ξ = (ξ1, ξ2)∈R2
+ với ||ξ||= 1 sao cho
5L((0,0), ξ, β)(u)≥ 0.
Bằng tính tốn ta có
Cho nên
5L((0,0), ξ, β)(u) = 0.
Như vậy, kết luận trên là đúng. Hơn nữa, bất đẳng thức trên xảy ra dấu bằng, nên tồn tại M ∈ co∂2L(0,0) hoặc M∗ ∈ (co∂2L(x0))∞ \ {0} thỏa mãn kết luận còn lại của Định lý 3.2.4. Với ξ như trên, ta chọn ξ2 > 0 và định nghĩa
∂2L(x, y) = 4 9ξ2x−23−2 0 0 12(1−ξ2)y2 , x 6= 0 , và ∂2L(0, y) = 4 9ξ2α−2 0 0 12(1−ξ2)y2− α1 , α ≥ 9 ξ2 .
Khi đó, ánh xạ đa trị (x, y) → ∂2L(x, y) là ánh xạ Hessian xấp xỉ của L và nó là nửa liên tục trên tại (0,0). Hơn nữa, ∀M ∈co∂2L(0,0) ta có
5L(0,0)(v) +M(u, u) = −2ξ1− 1
α < 0.
Như vậy, bất đẳng thức thứ nhất của điều kiện cấp hai của định lý là không đúng, do ∂2L(0,0) = ∂2L(0, y) = 4 9ξ2α−2 0 0 −α1 , α ≥ 9 ξ2 ,
nên nón lùi xa của ∂2L(0,0) xác định bởi
(∂2L(0,0))∞ = α 0 0 0 , α ≥ 0 . Lấy M∗ = 1 0 0 0 ∈ (co∂2L(0,0))∞\ {0}.
KẾT LUẬN
Luận văn trình bày lý thuyết về Jacobian xấp xỉ của hàm liên tục trong không gian hữu hạn chiều dựa trên các kết quả của V. Jeyakumar và D. T. Lục. Đây là một công cụ hữu hiệu được ứng dụng trong bài toán tối ưu. Sử dụng Jacobian xấp xỉ ta đã xây dựng được một số điều kiện cần và đủ cấp hai cho bài toán tối ưu đối với hàm vectơ liên tục trong khơng gian hữu hạn chiều. Ngồi những kết quả đã được đề cập trong luận văn, Jacobian còn được dùng trong một số khía cạnh khác, như dùng Jacobian xấp xỉ có thể đặc trưng cho tính tựa lồi, tính lồi, tính đơn điệu của hàm liên tục. Dựa vào lý thuyết đã trình bày trong luận văn ta có thể mở rộng các khái niệm và kết quả đã có trong khơng gian vơ hạn chiều. . . . Vấn đề này cần được tiếp tục nghiên cứu cho các bài toán tối ưu đa trị.
Tài liệu tham khảo
[1] T. Đ. Long, N. Đ. Sang, H. Q. Tồn (2001), Giáo trình giải tích I, NXB
Đại học Quốc Gia, Hà Nội.
[2] N. V. Mậu, Đ. H. Ruận, N. T. Thanh (2001), Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.
[3] N. V. Khuê, P. N. Thao, L. M. Hải, N. Đ. Sang (1997), Toán cao cấp II,
NXB Giáo Dục, Hà Nội.
[4] N. X. Tấn, N. B. Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại
học Quốc gia, Hà Nội.
[5] F. H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New
York.
[6] V. Jeyakumar and D. T. Luc (2000) , Nonsmooth Vector Functions and Continous Optimization, Springerl, New York.
[7] V. Jeyakumar and D. T. Luc (1998), Approximate Jacobian Matrices for Nonsmooth Continous Maps and C1- Optimization, Springer-Verlag,