3 Phương trình cặp tích phân dạng chập và ứng dụng
3.3 Bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình đa điều hịa trong
điều hịa trong nửa mặt phẳng
3.3.1 Phương trình đa điều hịa
Cho D là nửa mặt phẳng (y>0) và u(x,y) là nghiệm đều (regular) của phương trình đa điều hịa
Hàm u(x, y) được gọi là nghiệm đều của phương trình (3.38), nếu nó thỏa mãn phương trình bên trong miền D, tiến đến khơng cùng với các đạo hàm có cấp nhỏ hơn n khi x2+y2 →+∞.
3.3.2 Bài tốn 1
• Điều kiện biên. Định nghĩa trong D hàm u(x,y)triệt tiêu ở vô cực bởi điều kiện n-1 trên R. vk(x,0)≡ ∂ ku ∂yk y=0 =fk(x), k= 0,1, ...., l−1, l+ 1, ...n−1. (3.40) và ngồi ra những điều kiện khơng địa phương dưới đây:
vl(x,0) =vl(x, h1) +mvl(−x, h1) +fl(x), x >0
vl(x,0) =vl(x, h2) +mvl(−x, h2) +fl(x), x <0 (3.41) trong đóh1 6=h2 là những hằng số dương,m2 = 1, l là số không đổi0≤l ≤n−1,
các hàm fk(x) ∈ {0}. Trong trường hợp h1 =h2 rất đơn giản và cách giải được viết một cách dễ dàng.
• Cách giải. Trước tiên, ta cần lời giải của phương trình (3.38) trong D khi trên biên R cho các điều kiện biên (3.39) với k=0,1,...,n-1. Nó có thể được viết dưới dạng: u(x, y) = y n (n−1)! n−1 X k=0 (−1)kCn−1k ∂ k ∂yk P fn−1−k y , (3.42) trong đó P f(x) = y π Z R f(t)dt (t−x)2+y2. (3.43) và đối với u(x,y) triệt tiêu ở vô cực, các hàm fk đã cho cần phải thỏa mãn điều kiện khả tích dưới đây:
Z
R
tlfk(x)dx= 0, l= 0,1, ...,2(m−1), k= 1,2...n−1. (3.44)
trong đó k=2m, hoặc k=2m-1. Những bài tốn ở trên với bất kỳ l có thể được giải quyết bằng những cách giống nhau. Xét trường hợp l=0. Như vậy, fk(x),
(k=1,2,...,n-1,x∈Rlà đã biết, còn u(x,0)=f0(x)là hàm chưa biết. Nếu hàm sau cùng được xác định, lời giải của Bài tốn 1 sẽ được cho bởi cơng thức (3.41).
Từ (3.40) và (3.41) cho hàm chưa biết f0(x)≡ϕ(x), x∈R, có thể dễ dàng nhận được những phương trình cặp (3.12), trong đó
kj(x) = h n j(−1)n−1 (n−1)!π ∂n−1 ∂yn−1 1 x2+y2 y=hj , j = 1,2; x∈R. (3.45) Các hàm kj(x) có biến đổi Foorier
Ft[kj(x)] (t) = h n j(−1)n−1 (n−1)!√ 2π ∂n−1 ∂yn−1 e−|t|y y y=hj , j = 1,2;t∈R.
Vì các hàm trên đây là chẵn theo t, nên các điều kiện (3.34),(3.35) sẽ có dạng đơn giản nhất:
F1+(t) +F2+(t) =F1−(t) +F2−(t) +g(t), t∈R. (3.46) hoặc
F1+(t)−F2+(t) = −(F1−(t)−F2−(t)) +g(t), t∈R. (3.47) Các hàm giải tích từng khúc F1(z) +F2(z) hoặc F1(z)−F2(z) được xác định bởi những điều kiện ở trên , trong trường hợp này được xác định duy nhất và được cho bởi các tích phân đang Cauchy. Do đó hàmϕ(x)cũng sẽ được xác định một cách duy nhất.
3.3.3 Bài tốn 2
• Điều kiện biên. Xác định trong D hàm u(x,y) triệt tiêu ở với cực và thỏa mãn các điều kiện biên trên R sau đây
vk(x,0)≡ ∆kuy=0=fk(x), x ∈R, k= 0,1, ...., l−1, l+ 1, ...n−1. (3.48) Đối với vl(x,0) có điều kiện biên hỗn hợp như (3.40).
• Cách giải. Nghiệm của phương trình (3.38) trong D khi trên biên R cho các điều kiện biên (3.47) đối với k=0,1,...,n-1 có thể được viết dưới dạng:
u(x, y) =P f0+ y π n−1 X k=1 1 4k[(k−1)!]2k Z R fk(t)r2(k−1)lnr2dt, (3.49)
trong đó r2 = (x−t)2+y2 và đối với u(x,y) triệt tiêu ở vô cực, các hàm đưa ra phải thỏa mãn các điều kiện:
Z
R
Như trong (3.47), chúng ta sẽ xét l=0, f0(x)≡ϕ(x) là hàm chưa biết chưa. Cho thỏa mãn điều kiện biên hỗn hợp (3.40), vấn đề sẽ được đưa đến giải phương trình cặp dạng (3.12).
Kết luận
Luận văn này đã trình bày các vấn đề chính sau đây:
1. Tích chập và các tính chất của ích chập, đặc biệt là bất đẳng thức Young, biến đổi tích phân Fourier trong L1(R), L2(R), tích phân Cauchy trên trục thực và bài tốn biên Riemann đối với nửa nặt phẳng. Các kiến thức này là cần thiết và bổ ích khơng chỉ đối với nghiên cứu về phương trình tích phân dạng chập, mà cịn dối với nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn như đối với phương trình tích phân kỳ dị, tán xạ, nhiễu xạ sóng, v.v..
2. Phương trình tích chập loại 1 và loại 2 trên tồn trục, phương trình tích chập trên nửa trục ( phương trình Wiener-Hopf), phương trình cặp tích chập, phương trình cặp tích phân với nhân phụ thuộc vào hiệu và tổng các biến số trên hệ nửa trục, ứng dụng của phương trình cặp trong bài tốn biên hỗn hợp của phương trình đa điều hịa.
3. Luận văn đã đưa ra một số ví dụ về phương trình tích phân dạng chập cho phép tìm nghiệm của chúng dưới dạng tường minh.
Tài liệu tham khảo
[1] F. D. Gakhov, U. I. Cherski, Equations of Convolution Type (in Russian), " Nauka", Moscow, 1978.
[2] Elena Obolashvili, Effective Solutions of Some Dual Integral Equations and Their Applications, Generalizations of Complex Analysis, Banach Center Publications, Volume 37, 251-257, 1996.
[3] E. C. Titchmarsh, Introduction to Theory of Fourier Integrals, Second Edi- tion, Oxford University Press, 1948.